- •Университет имени м.В. Ломоносова
- •Рецензенты
- •Оглавление
- •Глава I. Численные методы линейной алгебры 8
- •§1. Прямые методы решения систем линейных
- •§2. Итерационные методы решения систем линейных
- •§3. Проблема собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . 26
- •2.B. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
- •3. Наилучшее равномерное приближение . . . . . . . . . . . . . 56
- •Глава IV. Численное дифференцирование
- •§1. Численное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
- •§2. Численное интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
- •Глава V. Численные методы решения задачи
- •§1. Методы Рунге-Кутты. Таблицы Бутчера . . . . . . . . . . 75
- •§2. Многошаговые разностные методы . . . . . . . . . . . . . . . 80
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава I численные методы линейной алгебры
- •§1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •1. Метод Гаусса.
- •2. Треугольное разложение матрицы.
- •3. Ленточные матрицы. Метод прогонки.
- •4. Метод квадратного корня.
- •5. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.
- •§2. Итерационные методы решения систем линейных
- •Предварительные сведения. Теорема Самарского.
- •Легко проверить, что
- •2. Метод простой итерации.
- •3. Неявные итерационные методы.
- •§3. Проблема собственных значений
- •1. Степенной метод нахождения наибольшего по модулю
- •2. Нахождение наибольшего и наименьшего собственного значения матрицы.
- •Глава II
- •§1. Метод бисекций (деления отрезка пополам).
- •§2. Метод простой итерации .
- •§3. Метод Ньютона.
Предисловие
Данное учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемых автором в течение ряда лет на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ для студентов отделения бакалавров, обучающихся по направлению “Прикладная математика и информатика”.
Программой курса предусмотрено изучение в соответствующем объеме практически всех основных разделов численных методов: численные методы алгебры, численное интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений. К сожалению, теоретический материал, соответствующий программе курса содержится в различных учебниках и монографиях по численным методам. Поэтому основным мотивом для написания пособия явилось желание собрать в одном издании компактное изложение необходимых фактов. Автор стремился сделать подачу материала в наиболее простой и доступной форме, используя минимум сведений из математического анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений. Каждый раздел снабжен упражнениями, которые способствуют лучшему усвоению материала.
В процессе разработки программы курса и подготовки рукописи большую помощь оказали полезные обсуждения с коллегами по работе на кафедре вычислительных методов факультета ВМиК, в особенности с профессорами В. Б. Андреевым, А. В. Гулиным, Г. Г. Елениным, А. П. Фаворским. Выражаю им искреннюю признательность.
6
Введение
Хорошо известно, что при математической формулировке большинства задач науки и техники возникают уравнения и системы уравнений, получить решения которых в аналитической форме невозможно. Например, нахождение корней многочлена высокой степени. В этом случае приходится прибегать к методам нахождения приближенного решения задачи с некоторой допустимой точностью. Поиск приемлемых алгоритмов, анализ их качества, способность быть устойчивым к неизбежно возникающим в процессе решения задачи погрешностям и представляет собой предмет численных методов.
При решении конкретной задачи с использованием численного метода мы получаем приближенное решение с некоторой погрешностью, происхождение которой обусловлено следующими причинами:
Математическое описание задачи (модель) является неточным, в частности неточно заданы некоторые параметры – неустранимая погрешность.
Применяемый для решения метод вносит свою погрешность, например мы не можем применять итерации бесконечно – погрешность метода.
При вычислениях с помощью компьютера производятся округления из-за конечной разрядной сетки – вычислительная погрешность.
Выбирая тот или иной приближенный метод решения, мы должны учитывать влияние всех факторов на конечный результат и, например, нет особого смысла применять высокоточный метод (как правило - трудоемкий) с погрешностью существенно меньшей, чем величина неустранимой погрешности. В данном курсе лекций мы в основном будем анализировать погрешность метода и искать возможность ее уменьшения. Тем, кого заинтересует анализ ошибок округления можно посоветовать книгу Е. Е. Тыртышникова [6 ].
7