§1. Метод бисекций (деления отрезка пополам).

Предположим, что

,

и на интервале расположен один корень уравнения (1).

Выберем и вычислим . Далее из двух интервалов и выбираем тот, на границах которого функция принимает значения разных знаков и в качестве следующего приближения берем середину выбранного интервала, вычисляем и повторяем указанный процесс.

Так как

,

то говорят, что метод бисекций сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем и

.

§2. Метод простой итерации .

Запишем уравнение (1) в эквивалентной форме

. (2)

Зададим начальное приближение, и будем вычислять итерации по следующему правилу

. (3)

32

Функцию обычно выбирают в виде

, (4)

где функция не меняет знака на интервале, где ищется корень уравнения. Справедлива следующая теорема о сходимости метода простой итерации.

Теорема. Пусть - корень уравнения (2) и функция

удовлетворяет на отрезке условию Липшица

(5)

с константой . Тогда при любом выборе

итерационный процесс (3) сходится к , причем этот корень единственный на .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из условия теоремы следует, что

. (6)

Поэтому . Пусть - решение уравнения (2), отличное от . Тогда

, т. е. .

Замечание. Очевидно, что условие (5) будет выполнено если

. (7)

В частном случае, получаем метод релаксации

, (8)

для которого и процесс (8) сходится если

.

33

Чтобы выбрать оптимальный параметр , предположим, что в некоторой окрестности корня уравнения (1) выполняются условия

.

Тогда

и

.

Оптимальный параметр находим из условия

,

откуда

и

.

Справедлива оценка

. (9)

Заметим, что в методе бисекций , поэтому метод простой итерации имеет преимущество перед методом бисекций в том случае, когда .

§3. Метод Ньютона.

Предположим, что уравнение (1) имеет простой вещественный корень и - дважды непрерывно- дифференцируемая функция в окрестности . Пусть - приближение , k=0,1, 2, ...

Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки .

. (10)

34

Очередное приближение выберем из условия ,

где

.

Тогда

, (11)

и

. (12)

Здесь

,

следовательно

.

Если - простой корень, то , а . Поэтому существует окрестность точки , в которой .

Докажем теорему о сходимости метода Ньютона.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности корня выполнены следующие условия

, (13)

где - начальное приближение. Тогда итерационный метод Ньютона (12) сходится и справедлива оценка:

. (14)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагая в (10) , получаем

. (15)

35