МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Университет имени м.В. Ломоносова

Факультет

вычислительной математики

и кибернетики

С. А. Волошин

ЛЕКЦИИ ПО ЧИСЛЕННОМУ АНАЛИЗУ

Учебное пособие

МОСКВА

--------------------------------------------------------------------------------------

2012

Печатается по решению Редакционно-издательского совета

факультета вычислительной математики и кибернетики

МГУ имени М.В. Ломоносова

Волошин Сергей Александрович

ЛЕКЦИИ ПО ЧИСЛЕННОМУ АНАЛИЗУ

Учебное пособие

Рецензенты

профессор М. М. Потапов,

доцент Д. Ю. Сычугов

Учебное пособие посвящено изложению основных разделов численного анализа: численные метода решения задач линейной алгебры, приемы интерполирования и приближения функций, решение нелинейных уравнений, численное интегрирование, решение дифференциальных уравнений.

Предназначено для студентов 2 и 3 курсов, обучающихся по направлению “Прикладная математика и информатика “, которым читаются курсы лекций по численным методам и численному анализу. В конце каждого раздела предлагается выполнить упражнения, которые помогают усвоению материала.

ISBN 978-5-89407-473-3

Оглавление

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Глава I. Численные методы линейной алгебры 8

§1. Прямые методы решения систем линейных

алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1. Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Треугольное разложение матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Ленточные матрицы. Метод прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Метод квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений 16

§2. Итерационные методы решения систем линейных

алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1. Предварительные сведения. Теорема Самарского . . . . . . . 19

2. Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Неявные итерационные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

§3. Проблема собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . 26

1. Степенной метод нахождения наибольшего по модулю

собственного значения матрицы и соответствующего ему

собственного вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Нахождение наибольшего и наименьшего собственного значения

матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Упражнения для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . 29

Глава II. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . 31

§1. Метод бисекций (деления отрезка пополам) . . . 32

§2. Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

§3. Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3

Глава III. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ

ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

§1. Интерполирование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона . . . . . 38

2. Погрешность интерполирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Интерполяционный полином Эрмита . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Интерполирование сплайнами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

§2. Наилучшее приближение в линейном нормированном

пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1. Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве 52

2.a. Тригонометрический ряд Фурье . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 53