4.3. Теорема о циркуляции

Существует еще одно общее соотношение, которое связывает магнитную индукцию с током. Это соотношение носит название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Пусть магнитное поле создается прямым проводником с током. Рассмотрим произвольный контур Г и зададим на нем направление обхода. Пусть  представляет проекцию вектора  на направлении элемента  (рис. 4.9). Сумма произведений  для замкнутого контура Г называется циркуляцией вектора  по замкнутому контуру Г. Циркуляцию проще рассчитать, когда контур совпадает с одной из силовых линий магнитного поля проводника. В этом случае вектор  в каждой точке параллелен , тогда

.

Из последнего соотношения видно, что циркуляция вектора магнитной индукции не зависит от радиуса контура.

В случае контура произвольной формы , но , где R – радиус окружности с центром на проводнике с током, совпадающей на малом участке с элементом контура . Так как вклад в циркуляцию от элемента окружности любого радиуса одинаков, то

и

.

Таким образом, циркуляция вектора  по произвольному контуру равна произведению m₀ на силу тока I, пронизывающего контур, по которому берется циркуляция. Если контур не охватывает ток, то циркуляция вектора  равна нулю.

Рис. 4.10

Магнитное поле соленоида. Соленоид представляет собой цилиндрическую катушку с плотно прилегающими витками. Опыт показывает, что внутри длинной катушки поле однородно и линии магнитной индукции идут параллельно ее оси (рис. 4.5б). Снаружи поле в случае бесконечно длинной катушки равно нулю. Найдем индукцию магнитного поля внутри соленоида. Для этого воспользуемся теоремой о циркуляции. На рис. 4.10. представлено сечение соленоида плоскостью, проходящей через его ось. Вычислим циркуляцию вектора индукции В по прямоугольному контуру abcd. Стороны bc и ad параллельны линиям индукции; стороны ab и cd перпендикулярны линиям магнитной индукции, и проекции вектора магнитной индукции на эти стороны равны нулю. Поэтому циркуляция вектора будет равна , где  – длина стороны bc.

Пусть число витков соленоида на единицу его длины равно n. Тогда полный ток, который пронизывает контур, равен . Согласно теореме о циркуляции , отсюда для бесконечно длинного соленоида получим:

.

Заметим, что вблизи краев соленоида поле уже не будет однородным, и его нельзя определить по полученной формуле. Кроме того, если соленоид нельзя считать бесконечно длинным, то индукция магнитного поля вне соленоида не равна нулю.

4.4. Сила Ампера

Магнитное поле, независимо от того, создается оно проводником с током или постоянным магнитом, проявляет себя в том, что действует на проводник с током или движущиеся заряды с некоторой силой. Максимальное значение силы, действующей на элемент проводника длиной , равно . Оно достигается в том случае, когда угол a между вектором , направление которого совпадает с направлением тока, и вектором магнитной индукции равен . При других значениях этого угла сила

.

Эта сила называется силой Ампера. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если магнитные силовые линии входят в ладонь, а четыре выпрямленных пальца совпадают с направлением тока, то отогнутый большой палец указывает направление силы.

В качестве примера рассмотрим силу взаимодействия двух бесконечно длинных параллельных проводников, по которым в противоположных направлениях текут токи  и  (рис. 4.11). Найдем силу, с которой проводник 2 действует на элемент тока  проводника 1. Индукция магнитного поля, создаваемого проводником 2 в точках, где находится проводник 1, равна

,

где d – расстояние между проводниками. Линии этого магнитного поля представляют собой концентрические окружности, перпендикулярные проводнику 1, поэтому сила Ампера

.

Если рассмотреть силу, действующую на элемент тока  проводника 2, то получим такое же выражение. Используя правило левой руки, легко показать, что если токи текут в одном направлении, то проводники притягиваются, если в противоположных направлениях – отталкиваются.

Закон взаимодействия токов используется для определения единицы силы тока в системе единиц СИ. По определению единица силы тока в системе единиц СИ – ампер – это сила постоянного тока, который, проходя по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создал бы между ними силу взаимодействия, равную 2 ? 10^–7 Н на каждый метр длины. Отсюда получается значение магнитной постоянной m₀:

.