4.2. Закон Био–Савара

Магнитное поле удовлетворяет принципу суперпозиции: если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником. Точно так же для однородного проводника с током наблюдаемая на опыте индукция  есть векторная сумма элементарных индукций D  полей, создаваемых отдельными элементами проводника с током , где  – вектор, совпадающий по направлению с направлением тока в проводнике, а по модулю равный длине проводника.

На опыте невозможно осуществить отдельный участок тока, поэтому измерить можно только индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Существует закон, который позволяет определить индукцию магнитного поля, созданного отдельным элементом проводника с током. Это закон Био–Савара, согласно которому

,

(4.1)

где j – угол между направлением на точку наблюдения, определяемым радиус-вектором  и направлением элемента тока , которое совпадает с направлением тока в проводнике, r – расстояние от элемента тока до точки наблюдения, причем , m₀ – магнитная постоянная (рис. 4.6). Магнитная постоянная вводится в системе единиц СИ при определении единицы измерения силы тока на основании закона взаимодействия токов. Вектор  перпендикулярен плоскости, в которой лежат элемент тока  и радиус-вектор . Направление вектора  определяется направлением поступательного движения правого винта, если его головку поворачивать от вектора  к вектору  в направлении, соответствующем минимальному значению угла . Используя принцип суперпозиции, можно с помощью закона Био–Савара рассчитать значение результирующей индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током любой формы. Например, для величины индукции магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током получается выражение

,

где R – расстояние от проводника до точки, в которой рассчитывается индукция магнитного поля.

Магнитное поле движущегося заряда. Ток в проводнике представляет собой направленное движение заряженных частиц. Магнитное поле тока, согласно принципу суперпозиции, складывается из магнитных полей отдельных движущихся частиц. Магнитную индукцию поля, создаваемого движущимся зарядом q, можно определить, если воспользоваться законом Био–Савара. Силу тока можно представить как , где n – концентрация заряженных частиц, V – скорость их движения, S – площадь поперечного сечения проводника. Подставим выражение для силы тока в (4.1):

.

Произведение  дает полное число носителей заряда N внутри элемента тока , тогда

.

(4.2)

Поделив полученное выражение на N, получим индукцию магнитного поля, созданного зарядом q, движущимся со скоростью V:

,

з десь r – расстояние от заряда до точки наблюдения, φ – наименьший угол между скоростью заряда и радиус-вектором, определяющим положение точки наблюдения относительно заряда, создающего поле (рис. 4.7).

Магнитное поле кругового проводника. Картина силовых линий кругового проводника с током представлена на рис. 4.4. Рассчитаем магнитную индукцию в центре кругового тока. Пусть ток идет по проводу в виде окружности радиуса R по часовой стрелке. Векторы  от всех элементов тока будут направлены перпендикулярно плоскости чертежа за чертеж (рис. 4.8). Поэтому, чтобы найти значение индукции магнитного поля , созданного круговым витком с током, можно алгебраически сложить модули всех векторов , обусловленных отдельными элементами тока. Для каждого элемента тока угол , поэтому

.