1.4. Относительность перемещений и скоростей

Пусть система отсчета и связанная с ней система координат движутся относительно системы отсчета . В S-системе отсчета начало отсчета -системы характеризуется радиус-вектором , а ее скорость и ускорение – векторами  и . Если положение движущейся точки в S-системе определяется радиус-вектором , а в -системе – радиус-вектором , то  (рис. 1.17). Пусть далее за промежуток времени  точка совершит в S-системе элементарное перемещение . Это перемещение складывается из перемещения  вместе с -системой и перемещения  относительно -системы отсчета, то есть . Поделив данное выражение на  и устремив  к нулю, получим следующую формулу преобразования скорости:

,

где  – скорость материальной точки в системе отсчета S,  – скорость материальной точки в системе отсчета ,  – скорость движения системы отсчета  относительно системы отсчета S.

Взяв производную от обеих частей последнего выражения по времени, найдем формулу преобразования ускорения:

.

Отсюда видно, в частности, что при   , то есть при движении -системы отсчета без ускорения относительно S-системы отсчета ускорения точки в обеих системах отсчета будут одинаковы.

1.5. Кинематика движения точки по окружности

Положение частицы, движущейся по окружности, можно задать углом , который образует радиус-вектор с каким-либо неизменным направлением, например, осью X.

Введем для движения частицы по окружности по аналогии с линейной скоростью  угловую скорость и ускорение. Угловая скорость характеризует быстроту изменения угла поворота радиус-вектора, поэтому угловой скоростью называется производная угла поворота радиус-вектора, определяющего положение материальной точки, по времени. Пусть за время  точка М повернулась на угол  (рис. 1.18), тогда угловая скорость

.

Направление вектора угловой скорости определяется по правилу правого винта. Если рукоятку винта поворачивать по направлению движения точки, то его поступательное движение покажет направление вектора угловой скорости.

При вращении частицы с постоянной по модулю скоростью угловую скорость называют также угловой частотой вращения. Она показывает, на какой угол поворачивается радиус-вектор, определяющий положение материальной точки, за единицу времени. Величина  дает число оборотов в единицу времени и называется частотой. Время, за которое частица совершает полный оборот, называется периодом вращения .

Вектор угловой скорости  может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела, так и за счет поворота оси вращения в пространстве. Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением. Пусть за время  вектор  получает приращение . Тогда угловое ускорение определится как

.

Вектор углового ускорения частицы при неизменной ориентации оси вращения параллелен этой оси и направлен вдоль вектора  или против него в зависимости от того, увеличивается или уменьшается угловая скорость.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости , при этом скорость каждой из точек непрерывно изменяет свое направление. Можно показать, что модуль линейной скорости точки зависит от угловой скорости и от расстояния от этой точки до оси вращения. Пусть за малый промежуток времени  тело повернулось на угол . Точка, находящаяся на расстоянии  от оси вращения, проходит при этом путь . Модуль линейной скорости точки равен

.

Таким образом, модули линейной и угловой скорости связаны соотношением

.