3. Законы сохранения

Зная законы действия сил на систему частиц и состояние системы частиц (координаты и скорости всех частиц) в некоторый начальный момент времени, можно с помощью уравнений движения предсказать ее дальнейшее поведение, то есть найти состояние системы в любой момент времени. Однако детальное рассмотрение поведения системы с помощью уравнений движения часто бывает связано с большими математическими трудностями. А в тех случаях, когда законы действия сил неизвестны, такой подход оказывается в принципе неосуществимым. Поэтому возникает вопрос: нет ли каких-либо общих принципов, которые позволили бы иначе подойти к решению задачи?

Оказывается, такие принципы есть. Это законы сохранения. Законы сохранения позволяют рассмотреть общие свойства движения без решения уравнений движения и подробной информации о развитии процессов во времени. Законы сохранения были установлены опытным путем, как обобщение огромного количества экспериментальных фактов. В механике имеют значение три закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса. Эти законы относятся к числу тех фундаментальных принципов физики, значение которых трудно переоценить. Их роль особенно возросла после того, как выяснилось, что они далеко выходят за рамки механики и представляют собой универсальные законы природы. Во всяком случае, до сих пор не обнаружено ни одного явления, где бы эти законы нарушались.

Открыв возможность другого подхода к рассмотрению различных механических явлений, законы сохранения стали мощным и эффективным инструментом исследования, которым повседневно пользуются физики. Эта важнейшая роль законов сохранения как инструмента исследования обусловлена следующими причинами.

Законы сохранения не зависят ни от траекторий движения, ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют получить ряд общих и существенных заключений о свойствах различных механических процессов, не вникая в детальное рассмотрение их с помощью уравнений движения.

Так как законы сохранения не зависят от характера действующих сил, то их можно использовать даже тогда, когда силы неизвестны. В этих случаях законы сохранения являются единственным и незаменимым инструментом исследования.

Даже в тех случаях, когда силы в точности известны, законы сохранения следует использовать при решении многих задач о движении частиц. Хотя все эти задачи могут быть решены с помощью уравнений движения, привлечение законов сохранения очень часто позволяет получить решение наиболее простым путем, избавляя нас от утомительных математических расчетов. Поэтому при решении новых задач обычно принято придерживаться следующего порядка: прежде всего, применяют законы сохранения, и только убедившись, что этого недостаточно, привлекают для решения задачи уравнения движения.

3.1. Закон сохранения импульса

Импульс системы материальных точек под действием внешних сил изменяется. Согласно второму закону Ньютона, скорость изменения импульса равна равнодействующей внешних сил:

.

(3.1)

Система материальных точек, на которую не действуют внешние силы, или действие внешних сил скомпенсировано, называется замкнутой. В этом случае уравнение (3.1) принимает вид , и, следовательно, импульс системы при движении не изменяется со временем: . Таким образом, если геометрическая сумма внешних сил, действующих на систему материальных точек, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем. При этом импульсы отдельных частиц замкнутой системы могут меняться со временем. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение импульса одной части системы равно убыли импульса оставшейся части системы. Другими словами, отдельные части замкнутой системы могут только обмениваться импульсами. Сказанное справедливо, разумеется, только по отношению к инерциальным системам отсчета.

Так как полный импульс системы материальных точек , то для замкнутой системы материальных точек закон сохранения импульса утверждает, что центр масс системы движется равномерно и прямолинейно.

Может случиться, что система материальных точек или отдельная материальная точка не изолированы, но внешние силы действуют лишь в определенных направлениях, а в других отсутствуют. Тогда соответствующим выбором системы координат можно добиться, что одна или две проекции внешних сил обращаются в нуль. Пусть, например, нет сил, действующих в направлениях, параллельных плоскости , то есть , . Тогда уравнение движения (3.1), записанное в проекциях на оси выбранной системы координат, имеет следующий вид:

    .

Из этих уравнений следует, что , . Это означает, что импульс системы в направлениях, параллельных плоскости , сохраняет свое значение.

Например, импульс свободно падающего тела не может сохраняться, так как на тело действует сила тяжести. Под действием этой силы вертикальная составляющая импульса непрерывно изменяется. Однако горизонтальная составляющая импульса при свободном падении остается неизменной.

Для материальной точки закон сохранения импульса означает, что в отсутствие внешних сил она движется с постоянной скоростью по прямой линии.