Лекция 2. Примеры содержательных постановок задач линейного программирования

Содержание лекционного занятия:

• Задача об оптимальном использовании ресурсов.

• Транспортная задача линейного программирования

Задача об оптимальном использовании ресурсов

Для изготовления двух видов продукции используется четыре вида ресурсов: В_1, В₂, В₃, В₄. Запасы ресурсов, затра­чиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в табл. 1.

Вид ресурса	Запас ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изго­товление единицы продукции
		Первый вид продукции	Второй вид продукции
В1	18	1	3
В2	16	2	1
В3	5	_	1
В4	21	3	-

На производство единицы продукции 1-го и II-го вида ис­пользуется различное количество ресурсов. Так, на произ­водство единицы продукции 1-го вида используется только одна единица ресурса В₁, а на производство единицы про­дукции II-го вида используется 3 единицы ресурса В₁ на производство единицы продукции 1-го вида используется 2 единицы ресурса В₂, а на производство единицы продукции II-го вида используется 1 единица ресурса В₂, в то же время на производство продукции 1-го вида ресурс В₃ вообще не используется, а на производство продукции II-го вида не ис­пользуется ресурс В₄.

Выручка, получаемая предприятием от продажи едини­цы продукции первого и второго вида, составляет соответ­ственно 2 и 3 рубля.

Необходимо составить такой план производства про­дукции первого и второго вида, при котором выручка пред­приятия от ее реализации будет максимальной.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Пусть x₁ — число единиц продукции первого вида, запла­нированное к производству;

x₂ — число единиц продукции второго вида, запла­нированное к производству.

На их изготовление предприятию потребуется:

x₁ + 3х₂ единиц ресурса В₁;

2х₁ + х₂ единиц ресурса B₂;

х₂ единиц ресурса В₃;

3х₁ единиц ресурса В₄.

Так как потребление ресурсов не должно превышать их запасы, связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой ограничений:

x₁+3х₂≤18 2х₁+х₂ ≤16 (1) Зх₁ ≤21.

По смыслу задачи:

x ₁≥0, х₂≥0 (2)

так как количество выпускаемой продукции, как первого, так и второго вида не может быть отрицательным.

Суммарная выручка от реализации продукции первого вида составит 2х₁ , а от реализации продукции второго вида — 3x₂. Таким образом, суммарная выручка от реализации обоих видов продукции составит:

F = 2х₁ + 3х₂ → max (3)

Требуется найти такой план выпуска продукции X=(x₁, x₂), который удовлетворял бы ограничениям (1) и (2) и при котором целевая функция F (3) принимала бы максимальное значение.

Эту задачу легко обобщить на n видов продукции и m видов ресурсов.

Обозначим через

x _j — число единиц j-го вида продукции (j=l...n), запла­нированной к производству;

b_i — запас i-го ресурса (i=l.. .m);

а_ij — число единиц ресурса i, затрачиваемого на изго­товление единицы продукции j-ro вида (аij часто называют технологическими коэффициентами);

c_j— выручка от реализации единицы продукции j-ro вида (или цена продукции j-ro вида).

Тогда экономико-математическая модель задачи об ис­пользовании ресурсов в общей постановке примет вид: найти такой план X=(x1, x2,..., хn) выпуска продукции, ко­торый удовлетворял бы системе ограничений:

a ₁₁x₁+a₁₂ x₂+…+a_1n x_n≤b₁

a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+…+a_2n x_n≤b₂

a₃₁ x₁+a₃₂ x₂+…+a_3n x_n≤b₃

……………………………

a_m1 x₁+a_m2 x₂+…+a_mn x_n≤b_m

и при котором целевая функция достигала бы своего мак­симального значения:

F = (c₁ x1 +c₂ x₂ +c₃ x₃ + ...c_n x_n) →max.