3. Практические и лабораторные занятия

Практическая работа1. Решение задач линейного программирования.

Цель: 1.Дать определение понятию задач линейного программирования.

2.Уметь показывать алгоритм на блок- схемах

Задания практической работы:

1. Составить алгоритм решения задач

1.F= 3х₁-2х₂-5х₄+х₅

2х₁+х₃-х₄+х₅ ≤2

х₁-х₃+2х₄+х₅ ≤ 3

2х₂+х₃-х₄+2х₅ ≤ 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

2.F= х₁-7х₂-х₄+2х₅

х₁-х₃-х₄+4х₅ ≤2

3х₁+х₃+2х₄ ≥ 3

х₂-х₄+2х₅ ≤ 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

3.F= х₁-2х₂-5х₄

2х₁+х₃-+х₅ ≥7

х₁-3х₃+2х₄+х₅ ≤ 13

4х₂-х₄+2х₅ ≥ 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

4.F= 3х₁-5х₄+х₅

12х₁+х₃-х₄ ≥5

х₁-х₃+2х₄+х₅ ≤ 3

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

5.F= 3х₁-2х₂-5х₄+х₅

2х₁+х₃-х₄+х₅ ≤2

х₁-2х₄+х₅ ≥ 3

х₃-х₄+2х₅ ≥ 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

Практическая работа 2. Решение задач линейного программирования графическим методом

Цель: 1. Изучение графического метода

2. Построение графика функции

Задания практической работы:

Записать в форме основной задачи линейного программирования задачу: найти максимум функции

1. F= 3х₁-2х₂-5х₄+х₅ при условиях

2х₁+х₃-х₄+х₅ ≤2

х₁-х₃+2х₄+х₅ ≤ 3

2х₂+х₃-х₄+2х₅ ≤ 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

2. F= х₁-2х₂-5х₄ при условиях

2х₁+х₃-+х₅ =7

х₁-3х₃+2х₄+х₅ = 13

4х₂-х₄+2х₅ = 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

3. F= х₁-7х₂-х₄+2х₅

х₁-х₃-х₄+4х₅ ≤2

3х₁+х₃+2х₄ ≥ 3

х₂-х₄+2х₅ = 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

4. F= 3х₁-5х₄+х₅

12х₁+х₃-х₄ ≥5

х₁-х₃+2х₄+х₅ = 3

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

5. F= 3х₁-2х₂-5х₄+х₅

2х₁+х₃-х₄+х₅ =2

х₁-2х₄+х₅ ≥ 3

х₃-х₄+2х₅ ≥ 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

Практическая работа 3. Решение задач линейного программирования

Цель: 1. Запись задача состоящих в минимизации функции

2. Запись задача состоящих в максимизации функции

Задания практической работы:

Записать задачу, состоящую в минимизации функции в форме основной задачи линейного программирования

1. F= -х₁+2х₂-х₃ +х₄ при условиях

2х₁-х₂ –х₃+х₄≤ 6

х₁+2х₂+х₃ -х₄≥8

3х₁-х₂+2х₃≤10

х₁,х₂,х₃≥0

2. F= -2х₁+х₂+5х₃ при условиях

4х₁+2х₂+5х₃≤ 12

6х₁-3х₂+4х₃=18

3х₁+3х₂-2х₃≤16

х₁,х₂,х₃≥0

3. F= -8х₁+2х₂-5х₃ при условиях

5х₁+2х₂+5х₃≤ 1

6х₁+7х₂+4х₃=8

3х₁-3х₂-3х₃≤6

х₁,х₂,х₃≥0

4. F = х₁+2х₂-5х₃ при условиях

5х₁+2х₂+5х₃≤ 1

-х₁+7х₂-4х₃=2

-х₁+9х₂+3х₃≤6

х₁,х₂,х₃≥0

5. F= -8х₁+2х₂-5х₃ при условиях

5х₁+2х₂+5х₃≤ 1

6х₁+7х₂+4х₃=8

3х₁-3х₂-3х₃≤6

х₁,х₂,х₃≥0

Записать задачу, состоящую в максимизации функции в форме основной задачи линейного программирования

1. F= -х₁+2х₂-х₃ при условиях

2х₁-х₂ –х₃≤ 6

х₁+2х₂+х₃ ≥8

3х₁-х₂+2х₃≤10

х₁,х₂,х₃≥0

2. F = -2х₁+х₂ при условиях

4х₁+2х₂≤ 12

6х₁-3х₂=18

3х₁+3х₂≤16

х₁,х₂,х₃≥0

3. F= -8х₁+2х₂-5х₃ при условиях

5х₁+2х₂+5х₃= 1

6х₁+7х₂+4х₃=8

3х₁-3х₂-3х₃≤6

х₁,х₂,х₃≥0

4. F = х₁+2х₂-5х₃ при условиях

5х₁+2х₂+5х₃= 1

-х₁+7х₂-4х₃=2

-х₁+9х₂+3х₃=6

х₁,х₂,х₃≥0

5. F= -8х₁+2х₂-5х₃ при условиях

5х₁+2х₂+5х₃≤ 1

6х₁+7х₂+4х₃=8

3х₁-3х₂-3х₃=6

х₁,х₂,х₃≥0

Практическая работа 4. Симплекс-метод.

Цель: 1. Нахождение базиса функции.

2. Построение симплекс-таблицы.

Задания практической работы:

Решить задачи симплекс- методом

1. F = 3х₁-2х₂-5х₄+х₅ max при условиях

2х₁+х₃-х₄+х₅ =2

х₁-х₃+2х₄+х₅ = 3

2х₂+х₃-х₄+2х₅ = 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

2. F = х₁-2х₂-5х₄ max при условиях

2х₁+х₃-+х₅ =7

х₁-3х₃+2х₄+х₅ = 13

4х₂-х₄+2х₅ = 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

3. F = х₁-7х₂-х₄+2х₅ min

х₁-х₃-х₄+4х₅ =2

3х₁+х₃+2х₄ = 3

х₂-х₄+2х₅ = 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

4. F = 3х₁-5х₄+х₅ max

12х₁+х₃-х₄ =5

х₁-х₃+2х₄+х₅ = 3

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

5. F = 3х₁-2х₂-5х₄+х₅ min

2х₁+х₃-х₄+х₅ =2

х₁-2х₄+х₅ = 3

х₃-х₄+2х₅ = 6

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

Практическая работа 5. Симплекс-метод. Метод искусственного базиса.

Цель: 1. Нахождение базиса функции.

2. Построение симплекс-таблицы методом искусственного базиса.

Задания практической работы:

Решить симплекс таблицу методом искусственного базиса.

1. F= -х₁+2х₂-х₃ при условиях

2х₁-х₂ –х₃+х₄=6

х₁+2х₂+х₃ +х₅=8

3х₁-х₂+2х₃+х₆=10

х₁,х₂,х₃≥0

2. F = -2х₁+х₂ при условиях

4х₁+2х₂+х₃=12

6х₁-3х₂+х₄=18

3х₁+3х₂+х₅=16

х₁,х₂,х₃≥0

3. F= -8х₁+2х₂-5х₃ при условиях

5х₁+2х₂+5х₃= 1

6х₁+7х₂+4х₃+х₄=8

3х₁-3х₂-3х₃+х₅=6

х₁,х₂,х₃≥0

4. F = х₁+2х₂-5х₃ при условиях

5х₁+2х₂+5х₃+х₄= 1

-х₁+7х₂-4х₃+х₅=2

-х₁+9х₂+3х₃+х₆=6

х₁,х₂,х₃≥0

5. F= -8х₁+2х₂-5х₃ при условиях

5х₁+2х₂+5х₃= 1

6х₁+7х₂+4х₃+х₄=8

3х₁-3х₂-3х₃+х₅=6

х₁,х₂,х₃≥0

Практическая работа 6. Решение транспортной задачи методом северо- западного угла.

Цель: Построение модели транспортной задачи.

Задания практической работы:

Решить транспортную задачу методом северо- западного угла.

1. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 1 9 7

с= 4 6 2 12

3 5 8 9

2. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

6 1 9 6

с= 4 7 2 12

3 5 9 9

3. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

4 1 8 7

с= 4 6 2 10

3 5 5 9

4. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 1 9 5

с= 4 6 2 7

3 5 6 9

5. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 2 9 7

с= 4 6 4 12

3 7 8 9

Практическая работа 7. Решение транспортной задачи методом минимального элемента.

Цель: 1. Построение модели транспортной задачи.

Задания практической работы: Решить транспортную задачу методом минимального элемента.

1. н а 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 1 9 7

с= 4 6 2 12

3 5 8 9

2. н а 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

6 1 9 6

с= 4 7 2 12

3 5 9 9

3. н а 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

4 1 8 7

с= 4 6 2 10

3 5 5 9

4. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 1 9 5

с= 4 6 2 7

3 5 6 9

5. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 2 9 7

с= 4 6 4 12

3 7 8 9

Практическая работа 8. Решение транспортной задачи методом аппроксимации Фогеля.

Цель: Построение модели транспортной задачи.

Задания практической работы:

Решить транспортную задачу методом аппроксимации Фогеля.

1. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 1 9 7

с= 4 6 2 12

3 5 8 9

2. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

6 1 9 6

с= 4 7 2 12

3 5 9 9

3. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

4 1 8 7

с= 4 6 2 10

3 5 5 9

4. н а 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 1 9 5

с= 4 6 2 7

3 5 6 9

5. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 2 9 7

с= 4 6 4 12

3 7 8 9

Практическая работа 9. Решение транспортной задачи методом потенциалов

Цель: Построение модели транспортной задачи.

Задания практической работы:

Решить транспортную задачу методом потенциалов.

1. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 1 9 7

с= 4 6 2 12

3 5 8 9

2. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

6 1 9 6

с= 4 7 2 12

3 5 9 9

3. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

4 1 8 7

с= 4 6 2 10

3 5 5 9

4. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 1 9 5

с= 4 6 2 7

3 5 6 9

5. на 3 хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190, 90 т муки. Эта мука потребляется 4 хлебозаводами, ежедневная потребность которых 90,60,170,80 т муки. Расстояние между ними в км задано матрицей

8 2 9 7

с= 4 6 4 12

3 7 8 9

Практическая работа 10. Решение задач выпуклого программирования.

Цель: 1. Функция Лагранжа.

2. Теорема Куна-Таккера.

Задания практической работы:

Решить задачи квадратичного программирования с помощью функции Лагранжа.

1. F= 2х₁+4х₂-х₁²-2х₂²

Х₁+2х₂ ≤ 8

2х₁-х₂ ≤ 12

х₁,х₂ ≥0

2. F = 3х₁+5х₂-3х₁²-2х₂²

Х₁+3х₂ ≤ 6

2х₁+х₂ ≤ 12

х₁,х₂ ≥0

3. F= -2х₁+6х₂-х₁²-х₂²

Х₁-х₂ ≤ 8

2х₁+7х₂ ≤ 12

х₁,х₂ ≥0

4. F = 2х₁-4х₂+х₁²-2х₂²

2Х₁+2х₂ ≤ 8

2х₁-4х₂ ≤ 12

х₁,х₂ ≥0

5. F = 2х₁+4х₂-7х₁²+2х₂²

Х₁+2х₂ ≤ 8

2х₁-7х₂ ≤ 9

х₁,х₂ ≥0

Практическая работа 11. Градиентные методы. Метод Франко-Вулфа.

Цель: 1. Решение задач с помощью градиентных методов.

2. Решение задач с использованием метода Франко-Вулфа.

Задания практической работы:

Решить задачи с помощью метода Франко-Вулфа.

1 . F= 2х₁+4х₂-7х₁ ²+2х₂² max

Х₁+2х₂ ≤ 8

2х₁-7х₂ ≤ 9

х₁,х₂ ≥0

2 . F= -х₁+4х₂-4х₁ ²+2х₂² min

Х₁+2х₂ ≤ 4

-2х₁+7х₂ ≤ 9

х₁,х₂ ≥0

3 . F= -8х₁+4х₂-х₁ ²+2х₂² max

Х₁+2х₂ ≤ 4

8х₁+7х₂ ≤ 7

х₁,х₂ ≥0

4 . F= -х₁+4х₂-4х₁ ²+2х₂² max

5Х₁-2х₂ ≥4

-2х₁+7х₂ ≤ 9

х₁,х₂ ≥0

5 . F= -х₁-4х₂-4х₁ ²+2х₂² min

-5Х₁-2х₂ ≥4

-2х₁+2х₂ ≤ 9

х₁,х₂ ≥0

Практическая работа 12. Метод штрафных функций.

Цель: Решение задач методом штрафных функций.

Задания практической работы:

Найти максимальное значение функции:

1. F= -х₁²-х₂²

(х₁-7)²+(х₂-7)² ≤ 18

х₁,х₂ ≥0

2. F= -2х₁²-х₂²

(х₁-5)²+(х₂-3)² ≤ 1

х₁,х₂ ≥0

3. F= -3х₁²-х₂²

(х₁-17)²+(х₂-7)² ≤ 8

х₁,х₂ ≥0

4. F= -х₁²-х₂²

(х₁-7)²+(х₂-2)² ≤ 9

х₁,х₂ ≥0

5. F= -х₁²-х₂²

(х₁-1)²+(х₂-2)² ≤ 4

х₁,х₂ ≥0

Практическая работа 13. Метод кусочно- линейной аппроксимации.

Цель: 1. Понятие сепарамильной функции

2. Решение задач методом кусочно- линейной аппроксимации

Задания практической работы:

Решить задачу методом кусочно- линейной аппроксимации:

1 . F= х₂-х₁²+6х₁-9 max

2х₁+3х₂ ≤ 24

х₁+2х₂ ≤ 15

3х₁+2х₂ ≤ 24

х₁,х₂ ≥0

2 . F= 4х₂-х₁²+х₁-1 max

2х₁-х₂ ≤ 24

2х₁+2х₂ ≤ 1

3х₁+2х₂ ≤ 18

х₁,х₂ ≥0

3 . F= х₂-х₁²+16х₁-7 max

2х₁+3х₂ ≤ 24

х₁+2х₂ ≤ 15

3х₁+9х₂ ≤ 11

х₁,х₂ ≥0

4 . F= -х₂-х₁²+6х₁-3 max

2х₁+3х₂ ≤ 24

х₁+2х₂ ≤ 1

-3х₁+х₂ ≤ 2

х₁,х₂ ≥0

5 . F= х₂-3х₁²+7х₁-9 max

2х₁+3х₂ ≤ 24

-х₁+4х₂ ≤ 1

-3х₁+2х₂ ≤ 7

х₁,х₂ ≥0

Практическая работа 14. Двойственные задачи.

Цель: 1. Прямая задача.

2. Двойственная задача.

Задания практической работы:

Сформулировать двойственные задачи по отношению к нижеследующим задачам:

1 . F= х₁-2х₂+5х₃ max

2 х₁+2х₂+4х₃ ≤ 18

2х₁+х₂-3х₃ ≤ 20

5х₁-3х₂+6х₃ ≥ 19

х₁,х₂,х₃≥0

2 . F= 3х₁+3х₂-4х₃ max

2х₁+х₂-3х₃ ≥ 18

4х₁-5х₃ ≤ 12

3х₁-2х₂+х₃ ≥ 14

х₁,х₂,х₃ ≥0

3 . F= 6х₁-х₂+3х₃ max

3х₁-7х₂+5х₃ ≤ 15

2х₁+3х₂-4х₃ =16

6х₁+5х₂-8х₃ ≤ 12

х₁,х₂,х₃ ≥0

4 . F= -2х₁+5х₂-4х₃ max

4х₁+2х₂-3х₃ ≥9

3х₁-2х₂+5х₃ ≥ 8

х₁+3х₂+4х₃ ≥ 12

х₁,х₂,х₃ ≥0

5 . F= -3х₁+4х₂-6х₃ max

2 х₁+3х₂-х₃ ≥ 8

-3х₁+2х₂-2х₃ =10

5х₁-4х₂+х₃ ≥ 7

х₁,х₂,х₃ ≥0

Практическая работа 15. Динамическое программирование.

Цель: Решение задач динамического программирования.

Задания практической работы:

Найти распределение средств между предприятиями обеспечивающих максимальный прирост выпуска продукции:

1. Совет директоров фирмы рассматривает вопрос по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на 4 предприятиях принадлежащих фирме. Для расширения производства совет директоров выделяет средства в объеме 20 млн.ден.ед. Прирост на предприятиях зависит от выделенной суммы. Его значения представлены в таблице:

   Выделенные средства (млн.)	Прирост выпуска продукции
   	1	2	3	4
   20	8	10	12	11
   40	16	20	21	23
   60	25	28	27	30
   80	36	40	38	37
   100	44	48	50	51
   120	62	62	63	63

2. Совет директоров фирмы рассматривает вопрос по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на 4 предприятиях принадлежащих фирме. Для расширения производства совет директоров выделяет средства в объеме 20 млн.ден.ед. Прирост на предприятиях зависит от выделенной суммы. Его значения представлены в таблице:

   Выделенные средства (млн.)	Прирост выпуска продукции
   	1	2	3	4
   20	8	10	17	11
   40	17	30	21	28
   60	25	28	29	30
   80	36	40	38	41
   100	49	56	51	51
   120	62	62	63	63

3. Совет директоров фирмы рассматривает вопрос по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на 4 предприятиях принадлежащих фирме. Для расширения производства совет директоров выделяет средства в объеме 20 млн.ден.ед. Прирост на предприятиях зависит от выделенной суммы. Его значения представлены в таблице:

   Выделенные средства (млн.)	Прирост выпуска продукции
   	1	2	3	4
   20	8	10	12	11
   40	7	20	10	23
   60	25	28	27	30
   80	36	15	38	37
   100	44	48	50	49
   120	62	62	63	63

4. Совет директоров фирмы рассматривает вопрос по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на 4 предприятиях принадлежащих фирме. Для расширения производства совет директоров выделяет средства в объеме 20 млн.ден.ед. Прирост на предприятиях зависит от выделенной суммы. Его значения представлены в таблице:

   Выделенные средства (млн.)	Прирост выпуска продукции
   	1	2	3	4
   20	8	10	12	11
   40	16	20	34	23
   60	25	28	27	30
   80	36	58	38	37
   100	32	48	50	47
   120	62	62	63	63

5. Совет директоров фирмы рассматривает вопрос по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на 4 предприятиях принадлежащих фирме. Для расширения производства совет директоров выделяет средства в объеме 20 млн.ден.ед. Прирост на предприятиях зависит от выделенной суммы. Его значения представлены в таблице:

Выделенные средства (млн.)	Прирост выпуска продукции
	1	2	3	4
20	8	10	12	11
40	16	20	21	23
60	25	15	19	25
80	36	40	27	37
100	40	48	50	51
120	62	62	63	63