Корреляция

Биологические объекты обладают множеством признаков. Эти признаки могут быть зависимы друг от друга. Например, размеры животных и масса их тела связаны между собой. Чем больше размеры, тем больше масса и наоборот. В других случаях можно наблюдать зависимость величины признаков от действия экологических факторов, например, от температуры или влажности. Такие связи называют корреляционными или просто корреляцией.

Корреляционная связь может иметь разную степень: есть связи сильные, средние или слабые. Кроме того, связи могут быть прямые и обратные или положительные и отрицательные. Одним из показателей корреляционной связи является коэффициент корреляции r, который определяется по формуле:

.

В этой формуле используются данные двух признаков, связь которых между собой и нужно установить:

• x = V_x - M_x – это отклонения значений одного их признаков V_x от своей средней арифметической M_x;

• y = V_y - M_y – отклонения значений второго признака V_y от своей средней арифметической M_y.

r может принимать значения от - 1 до +1: при значениях коэффициента 0,5–0,6 связь средняя; значения ниже 0,5 указывают на слабую связь. Корреляция является сильной, если r не ниже 0,7. Коэффициент корреляции определяется с точность до сотых долей. Если r имеет положительное значение, значит связь прямая или положительная. При этом значения обоих признаков увеличиваются (или уменьшаются), как в нашем примере. Если r выражен отрицательным числом, значит и связь отрицательная (или обратная). Чтобы ответить на вопрос, есть ли корреляция между признаками, необходимо определить достоверность, а для этого найти ошибку репрезентативности по формулам:

, , где

• r – коэффициент корреляции;

• m_r – его ошибка;

• n – число пар значений признака, это может быть число объектов;

• t – критерий Стьюдента (или достоверность).

Пример 10. При изучении влияния различных доз минеральных удобрений в ц/га (V_x) на урожай зерновых культур в ц/га (V_y) были получены следующие результаты, представленные в таблице 2:

Таблица 2
№	Vx	Vy	(Vx - Mx) = x	(Vy - My) = y	xy	x²	y²
1	1	10	- 4,5	- 8	36	20,25	64
2	2	13	- 3,5	- 5	17,5	12,25	25
3	3	15	- 2,5	- 3	7,5	6,25	9
4	4	16	- 1,5	- 2	3,0	2,25	4
5	5	19	- 0,5	1	0,5	0,25	1
6	6	18	0,5	0	0	0,25	0
7	7	21	1,5	3	4,5	2,25	9
8	8	23	2,5	5	12,5	6,25	25
9	9	22	3,5	4	14,0	12,25	16
10	10	23	4,5	5	22,5	20,25	25
Сумма	∑ = 55	∑ = 180			∑ xy = 118	∑ x² = 82,5	∑ y² = 178
Среднее значение	Mx = 55/10 = 5,5	My = 180/10 = 18

Полученные результаты подставляем в формулу:

,

,

, .

Вывод: результат достоверен, значит, исследуемое минеральное удобрение влияет на величину урожая. При этом полученный коэффициент корреляции r указывает на сильную степень связи, так как он больше 0,6. Например, чем больше растений растет на 1 м², тем скорость их роста меньше. В этом случае достоверность определяется без учета знаков. Так, если r = 0,8, ошибка m_r = 0,1, то критерий Стьюдента и указывает на достоверный результат, а знак "–" свидетельствует об обратной связи между признаками.