Ошибка репрезентативности разности средних арифметических

При проведении научных исследований в области биологии и экологии часто возникает необходимость дать оценку различий между статистическими параметрами, например, средними арифметическими, то есть определить, отличаются ли они друг от друга. Например, сравниваются результаты контрольного и опытного вариантов, или данные, полученные разными методами. В этом случае сначала определяется разница между выборочными средними: d = M₁ - M₂ (из большей величины вычитается меньшая). Затем находится ошибка репрезентативности разности (или просто ошибка):

, где

• m₁ – ошибка первой средней арифметической,

• m₂ – ошибка второй средней арифметической.

Зная ошибку разности m_d, можно найти генеральную разность:

или , где

• – генеральная разность,

• d – выборочная разность,

• t – критерий Стьюдента,

• m_d – ошибка репрезентативности разности.

В этом случае число степеней свободы ν = n₁ + n₂ - 2. Достоверность разности определяется по формуле:

(вспомним, что при определении достоверности какого-либо показателя этот показатель делится на свою ошибку). Здесь, как и в случае со средними арифметическими, возможны два варианта ответа:

1) если t ≥ t_st, то разница достоверна; 2) если t < t_st, то разница недостоверна.

Пример 7. Для изучения влияния кобальта на рост кроликов проводился эксперимент с опытной и контрольной группами животных в возрасте двух месяцев. В опытной группе было 9 животных, в контрольной – 8. Исходная масса кроликов – 600 г. Опыт длился 1,5 месяца. Обе группы содержались на одном и том же кормовом рационе. Но опытные кролики в отличие от контрольных ежедневно получали добавку хлористого кобальта в виде водного раствора. Цель эксперимента – выяснить, оказывает ли влияние включение кобальта в питание кроликов на увеличение их привеса. За время опыта животные дали следующие показатели привеса: в опытном варианте, то есть получавшие добавку, имели среднюю арифметическую по привесу М₁ = 638 г, в контрольном варианте М₂ = 526 г. Разница d = 638 - 526 = 112, ошибка репрезентативности m_d составила 27,13 г. Определяем достоверность разности:

.

Число степеней свободы равно ν = 9 + 8 - 2 = 15, так как в опытной группе было 9, а в контрольной – 8 животных. При сравнении полученного результата с табличным видно, что t > t_st не только при 95%–ной, но и более высокой вероятности. Таким образом, мы можем сделать вывод, что добавка препарата кобальта в кормовой рацион увеличивает прирост массы кроликов по сравнению с контрольной группой. Результат, полученный при сравнении двух выборок (опытной и контрольной) может быть сформулирован в виде выводов для двух генеральных совокупностей: для кроликов, которые всегда будут получать кобальтовую добавку, и кроликов, которые не будут ее получать. В этой задаче можно поставить вопрос: “На сколько гарантировано увеличение привеса у опытных кроликов по сравнению с контрольными?” В данном эксперименте разница в привесе одного кролика составила, в среднем, 112 г. Чтобы ответить на вопрос, необходимо определить доверительные интервалы для генеральной разности. По таблице 1 определяем величину t_st, соответствующую 95%–ной вероятности (или уровню значимости 5%).

,

.

С данной степенью вероятности среднее увеличение привеса одного кролика по сравнению с контрольным животным за 1,5 месяца будет составлять от 55 до 169 г. Можно рассчитать, окупятся ли затраты на приобретение кобальтовой добавки для питания кроликов, и можно ли рекомендовать этот прием для кролиководов.

Если исследователь в ходе своей работы получил недостоверный результат, то необходимо выяснить причины произошедшего. Обратимся еще раз к формуле определения достоверности разности средних арифметических:

.

Если t < t_st, то результат недостоверен, а значит необходимо добиться увеличения показателя t. Первой причиной недостоверности результата может быть недостаточное количество данных. Тогда можно дополнительно ввести в эксперимент определенное количество измерений (объектов). Таким образом, появляется вероятность получить достоверный результат. Другой причиной получения недостоверного ответа может быть отсутствие различий. Предположим, добавка кобальта никак не влияет на привес кроликов. А мы получили разницу между средней арифметической по привесу опытной группы кроликов (М₁) и средней арифметической по привесу контрольной группы животных (М₂), так как вследствие разнообразия числа даже в одной выборке отличаются. Но, как правило, разница в этом случае бывает очень небольшой. Чтобы сделать вывод об отсутствии влияния кобальта на привес, мы должны быть уверены, что взяли для исследования необходимое количество объектов. Для этого существуют специальные способы расчета, речь о которых пойдет далее.