§4. Метод математической индукции

Областью истинности соотношения называется множество такое, что при соотношение является истинным. Например:

1. область истинности

2. если то область истинности если то область истинности

3. область истинности

Принцип математической индукции применяется для доказательства, что областью истинности высказывания является отрезок натурального ряда: Этот принцип базируется на аксиомах Пеано, задающих множество если для элементов множества определено понятие следующего элемента и выполняется две аксиомы:

1) 2) то является множеством натуральных чисел.

Пример 1. Доказать, что при

Пусть тогда следовательно, формула верна при Допустим, что Требуется доказать, что

- согласно индуктивному предположению. Тогда

Доказательство будет завершено, если мы установим, что

или Но это становится очевидным, если в произведении

после раскрытия скобок оставить только часть слагаемых:

Таким образом,

и, следовательно, данное неравенство справедливо для всех

Пример 2. Доказать, что для число кратно 19.

1) - кратно 19. 2) Пусть - кратно 19. Тогда

Первое слагаемое делится на 19 по индуктивному предположению, а второе имеет множителем 19. Следовательно, и сумма делится на 19.

Пример 3. Пусть где Доказать, что

1) Для проверка очевидна: 2) Предположим, что если то

Рассмотрим Если все то и утверждение доказано. В противном случае найдутся два числа (без потери общности можно считать, что это и ), одно из которых больше единицы, а другое меньше. Пусть Рассмотрим теперь чисел: По индуктивному предположению следовательно,

Таким образом, и доказательство завершено.

Пример 4. Доказать, что .

Докажем методом математической индукции:

1. - утверждение при истинно.

2. . Предположим, что . Докажем, что .

/по индуктивному предположению/=

.

По полученной ранее рекуррентной формуле имеем: ,

так как . Формула доказана.

Замечание. Эта формула носит название бином Ньютона, хотя встречается в письменных памятниках древней Индии. Заслуга Ньютона в том, что он доказал: для и .

Упражнения для самостоятельной работы:

Доказать, что:

1.

2. ,

3.

4.

5. кратно 6.

6.

7.

8.

9.

§5. Вещественные числа. Точные грани числовых множеств

Определение основной неарифметической операции математического анализа – операции предельного перехода - невозможно без построения строгой теории вещественного числа, устанавливающей операции упорядочения, сложения и умножения вещественных чисел и основные свойства этих операций. В современных учебниках по математическому анализу можно найти различные способы построения теории вещественного числа. Так в книге В.А.Зорича приведена аксиоматика множества вещественных чисел, в учебниках У.Рудина, Г.М.Фихтенгольца излагается теория Дедекиндовых сечений. Поводом для ведения новых объектов – иррациональных чисел – послужило наличие пробелов во множестве рациональных чисел , установленных благодаря потребности проведения таких операций, как возведение в дробную степень, вычисление логарифмов и т.д.

Пример 1. Доказать, что: 1) ; 2) являются иррациональными числами.

1) Проведём доказательство от противного: , причём дробь несократимая. Тогда и число и число делятся на 5 вопреки условию о несократимости дроби . Ложное следствие опровергает сделанное предположение.

2) Также будем доказывать от противного: , и дробь несократима. По определению десятичного логарифма , а значит , причём . Но полученное равенство невозможно, ибо число оканчивется нулём, а степень числа 2 – нет. Ложное следствие опровергает сделанное предположение.

Пример 2. Представить дроби 1) 2) в виде обыкновенных рациональных дробей.

Любую периодическую десятичную дробь можно представить как сумму целого числа, конечной десятичной дроби и геометрической прогрессии:

,

здесь - число цифр в периоде, а - число цифр до периода после запятой.

Таким образом, переход от записи рационального числа в виде бесконечной периодической десятичной дроби к его записи в виде , , осуществляется по формуле:

, где -

число цифр в периоде, а - число цифр до периода после запятой. Используя формулу, получим: 1)

2) .

Построение теории вещественного числа приводит к установлению главного отличия множества вещественных чисел от множества рациональных чисел - множество обладает свойством полноты (непрерывности, сплошности).

Пример 3. Доказать, что для любых вещественных чисел и , найдётся иррациональное число такое, что .

Пусть . Если какое-либо из них является конечной десятичной дробью, то запишем его в виде дроби с периодом 0. По условию , следовательно, существует такое целое неотрицательное число , что , и . Так как 9 не является периодом чисел и , то найдётся натуральное число такое, что .

Рассмотрим число , где , , . Эта дробь, очевидно, непериодическая, поэтому - иррациональное число. При этом , ведь , и , так как , , .

Определение 1.

Числовое множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число , что для имеет место неравенство: .

Здесь - верхняя грань, а - нижняя грань множества . Существование верхней или нижней грани влечёт существование бесконечного числа верхних либо нижних граней.

Определение 2.

Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества называется точной верхней гранью этого множества или супремумом: . Наибольшая из нижних граней множества называется точной нижней гранью или инфимумом: .

Из определения следует, что: 1) для справедливо неравенство 2) для такое, что . Аналогичные условия можно сформулировать и для : для имеет место для такое, что .

Теорема о точных гранях

Всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Пример 4. Доказать ограниченность множества .

Очевидно, что (ведь ). Далее,

для всех положительных . Следовательно, и множество ограничено.

Пример 5. Найти точные верхнюю и нижнюю грани множеств

а) ; б) ; в) , . Найти наибольший и наименьший элементы этих множеств, если такие элементы существуют.

а) Все элементы данного множества положительны, поэтому нуль является его нижней гранью. При этом никакое положительное число не является его нижней гранью: для такое,

что , для этого достаточно взять . Следовательно, . Далее, очевидно, что для , т.е. число является верхней гранью этого множества и притом точной, а элемент является наибольшим элементом данного множества, наименьшего элемента множество не имеет.

б) Рассмотрим . С ростом данная величина

убывает, поэтому наибольшее значение величины реализуется при : , а наименьшее – при : . Следовательно, наименьшим элементом, а значит и точной нижней гранью данного множества является число , а наибольшим элементом и супремумом – число .

в) Множество чисел имеет наименьший элемент: , когда , поэтому . Так как (сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем ), то данное множество не содержит в себе наибольшего элемента, а его точной верхней гранью является число

Рассмотрение основных свойств вещественных чисел приводит к важному выводу: для вещественных чисел сохраняются все установленные для множества правила алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств.

Пример 6. Доказать, что сложение двух рациональных чисел и по правилу сложения вещественных чисел даёт тот же результат, что и сложение их по правилу сложения рациональных чисел: .

Возьмём произвольные рациональные числа и обозначим их сумму, полученную по правилу сложения вещественных чисел: , где - рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам . Докажем, что , т.е. .Для этого согласно определению супремума требуется доказать выполнение двух условий: 1) 2) такое, что . Первое следует из неравенств , с помощью свойства о почленном сложении неравенств для рациональных чисел: . Задавшись произвольным рациональным числом , выберем так, чтобы . Рассмотрим рациональные числа , . Тогда . Условие 2) выполнено.

Множество действительных чисел называется также числовой прямой или осью. Числовая прямая , дополненная двумя элементами и такими, что для по определению считается , называется расширенной числовой прямой . Элементы и называются бесконечно удалёнными точками числовой прямой.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Доказать, что есть иррациональное число.

2. Представить дробь в виде обыкновенной.

3. Запишите с помощью кванторов определение ограниченного снизу множества. Постройте отрицание этого определения, пользуясь правилом построения отрицаний.

4. Пусть и - непустые множества вещественных чисел, причём ограничено сверху, а . Докажите, что также ограничено сверху и .

5. Найти точные грани множества рациональных чисел , удовлетворяющих неравенству . Доказать, что это множество не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элементов.

6. Пусть - множество чисел, противоположных по знаку числам из множества . Докажите, что: 1) ; 2) .

7. Пусть и - непустые множества вещественных чисел, у которых каждое число из меньше любого числа из и для существуют числа и такие, что Докажите, что .

8. Пусть - непустые ограниченные множества вещественных чисел, а - множество всевозможных сумм , где , . Докажите, что множество ограничено и что:

1) 2)

9. Пусть - непустые ограниченные множества неотрицательных вещественных чисел, а - множество всевозможных произведений , где , . Доказать, что множество ограничено и что: 1) 2)

10. Доказать, что множество всех правильных рациональных дробей , , не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элемента. Найти его точные грани.

11. Доказать ограниченность множества:

.

12. Найти точные грани множеств: а)

б) в) ; . Найти наименьшие и наибольшие элементы этих множеств, если они существуют.