§3. Элементы комбинаторики

Не задаваясь целью дать максимально широкое определение, определим комбинаторику как раздел дискретной математики, изучающий конечные множества, удовлетворяющие тем или иным условиям.

Ограничимся схемой, применяемой во многих приложениях, например, при изучении классического вероятностного пространства.

Пусть имеется некое универсальное множество (в статистике – генеральная совокупность) , состоящее из различных элементов. Из этих элементов можно составить выборки объёма (т.е. подмножества множества , состоящие из элементов). В зависимости от условий эти выборки могут быть упорядоченными и неупорядоченными. Следуя традициям, будем обозначать выборки символом для упорядоченных выборок и для неупорядоченных.

Например, , - упорядоченная выборка объёма -3-, причём мы рассматриваем выборки , и как различные; - неупорядоченная выборка, т.е. и одна и та же выборка.

Кроме того, различают выборки с повторениями и без повторений.

Например, пусть , тогда две различные упорядоченные выборки с повторениями из будут: , ; а и - одинаковые неупорядоченные выборки с повторениями.

Заметим, что если выборка безповторна, то объём выборки , где - объём генеральной совокупности. Если же выборка повторная, то это условие не обязательно выполняется. Это показывает следующий пример: монета подбрасывается 3 раза. Сколько возможно различных исходов данного эксперимента? Предполагается, что при каждом броске мы имеем два результата: либо монета выпадает вверх гербом (обозначаем Г), либо лицевой стороной (обозначаем Р). Тогда . А выборок объёма 3 может быть 8:

, , , ,

, , , .

«Правило произведения» - один из основных приёмов нахождения количества комбинаций, удовлетворяющих заданным условиям:

если объект может быть выбран способами, и после каждого из таких выборов объект может быть выбран способами, то выбор « и » в указанном порядке может быть осуществлён способами.

Используя это правило, легко получить выражения для числа всевозможных перестановок различных элементов: . Записывая эти перестановки, на 1-е место можно поместить элементов. Когда 1-е место занято каким-либо произвольным элементом, 2-е место может быть занято способами. По правилу произведения, два первых места могут быть заняты способами. Аналогично, три первых места могут быть заняты способами и т.д. Окончательно, получаем, что .

Произведение первых чисел настолько часто употребляется в комбинаторике и других областях математики, что для него ввели специальный символ: (читается « - факториал»). Например, . Заметим, что быстро возрастает с ростом . Так, например, 100! представляет собой число, для записи которого требуется 157 знаков. Непосредственно из определения следует, что определён для . В дальнейшем мы увидим, что 0! удобно считать равным 1. Таким образом,

Число перестановок различных элементов можно также интерпретировать как число различных упорядоченных выборок объёма из генеральной совокупности объёма . Если же мы будем рассматривать упорядоченные выборки объёма , то их количество называется числом размещений элементов из и обозначается символом . Ясно, что

.

Вполне очевидны соотношения:

, , , .

В англоязычной литературе число размещений чаще обозначают символом .

Рассмотрим число различных упорядоченных выборок с возвращением. Как и в предыдущем случае, применим правило произведения. На 1-ом месте может быть помещён любой из элементов. Но и на втором месте снова имеем возможностей, и т.д. Таким образом, число различных размещений с повторениями будет . В этом случае может быть как меньше, так и больше, чем .

Найдём число неупорядоченных выборок для обоих случаев с возвращением и без возвращения. Такие выборки называются сочетаниями.

Чтобы найти число сочетаний безповторных выборок заметим, что из каждой неупорядоченной выборки объёма может быть получено упорядоченных. Следовательно, ,

где символом обозначается число неупорядоченных выборок объёма из генеральной совокупности, содержащей различных элементов. В англоязычной литературе число обозначается символом . Таким образом, .

Из этой записи следует, что . Данное соотношение может быть получено комбинаторным путём: число способов отбора элементов из равно числу способов элементов оставить в генеральной совокупности.

Далее заметим, что запись компактней, чем , но именно вторая запись более пригодна для вычислений. Приведём простой пример: , но прямое вычисление невозможно, так как при попытке вычислить 100! Любое вычислительное устройство выдаст диагностику переполнения регистра.

Из этих замечаний становится ясным алгоритм наиболее оптимального нахождения :

1. используя свойство , добиваемся, чтобы верхний индекс был не больше, чем ;

2. вычисляем по формуле .

Последняя формула позволяет определить понятие для любого натурального и любого вещественного (и даже комплексного) , например:

.

Конечно, комбинаторный смысл при этом теряется, тем не менее такое продолжение понятия используется в математике.

С помощью комбинаторных рассуждений получим полезную рекуррентную формулу для .

Фиксируем некоторый элемент . Он либо попадёт в нашу выборку объёма , либо нет. Число выборок, в которых присутствует, равно , поскольку незанятыми остаются мест, а элементы выбираются из , ведь уже выбран. Число выборок, в которых не представлен, равно , так как происходит выбор элементов из . Общее число сочетаний:

,

и граничные условия: , , если .

Займёмся нахождением - число неупорядоченных выборок с возвращением, так называемых сочетаний с повторениями. Найдём это значение , следуя рассуждениям Эйлера: ограничим вертикальными чертами ячеек по количеству элементов . Потребуется черта. Затем в каждую ячейку поместим столько крестиков, сколько раз данный элемент повторился. Например,

+ . На рисунке отображена ситуация, когда состоит из пяти различных элементов в выборке объёма , участвует один раз, - отсутствует, присутствует 3 раза, - один раз, - два раза. Крайние две черты мы не трогаем, а остальные можем произвольно переставлять с «+». Каждой такой перестановке отвечает своя выборка. Например, если вторую черту слева поместить после четвёртой: +++ + , то выборка будет иметь вид: - 1 раз, - 3 раза, - нет, - 1 раз, - 2 раза. Между этими диаграммами и сочетаниями с повторениями установлено взаимнооднозначное соответствие. Если бы все «+» и « » были различимы между собой, то было бы перестановок (крайние чёрточки неподвижны). Но так как перестановки между собой крестиков и чёрточек выборку не изменяют, то .

Полученные результаты количества выборок объёма из генеральной совокупности объёма наглядно представлены в таблице:

Выбор набор	Без возвращения	С возвращением
упорядоченный
неупорядоченный

С помощью комбинаторных рассуждений легко решаются задачи классической теории вероятностей.

Представим себе, что проводится некий эксперимент, исход которого случаен. Исходы случайного эксперимента называются элементарными событиями и образуют - пространство элементарных событий. Пространство элементарных событий называется классическим вероятностным пространством, если выполнены два условия:

1. состоит из конечного числа элементарных событий;

2. в силу симметрии эти исходы логически равновозможны.

В этом случае вероятность наступления случайного события равна: , где - число элементарных событий, при которых наступает событие , - общее количество элементарных событий.

Пример 2. Из тщательно перетасованной колоды 36 карт сдаются 6. Какова вероятность, что среди них будут три козыря?

Общее число элементарных событий равно числу способов, которыми можно выбрать 6 карт из 36. Так как порядок не важен, то . Подсчитаем число благоприятствующих комбинаций. В колоде 9 козырей и 27 остальных карт. 3 козыря мы можем выбрать способами. Остальные 3 карты мы выбираем способами. По правилу произведения , поэтому

Пример 3. Какова вероятность, что трёхзначный номер случайно встреченного автомобиля содержит цифру 7?

Общее число комбинаций, очевидно, . При подсчёте благоприятствующих комбинаций воспользуемся следующим приёмом. Найдём число комбинаций без «7». На первом месте может быть любая из 9 цифр, аналогично и на втором, и на третьем местах. Следовательно, . Тогда число искомых комбинаций:

1000-729=271, а .

Упражнения для самостоятельной работы

1. Сколько диагоналей имеет выпуклый угольник?

2. Никакие три диагонали выпуклого десятиугольника не пересекаются в одной точке. Определить число точек пересечения диагоналей.

3. Сколько различных десятизначных чисел можно записать, используя цифры 1 и 2?

4. Сколько различных перестановок можно образовать из букв следующих слов: 1) зебра; 2) баран; 3) водород; 4) абракадабра?

5. Сколькими способами можно раздать 28 костей домино четырём игрокам так, чтобы каждый получил 7 костей?

6. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых нечётны?

7. Сколько делителей имеет число 462?

8. На полке стоят книг в чёрных переплётах и книг в синих переплётах, причём все книги разные. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы книги в чёрных переплётах стояли рядом?

9. Сколькими способами можно упаковать 9 разных книг в 5 бандеролей, если 4 бандероли должны содержать по 2 книги?

10. Сколькими способами 12 одинаковых монет можно разложить по 5 различным кошелькам так, чтобы ни один кошелёк не остался пустым?

11. Среди всех целых чисел от 1 до каких больше: тех, для записи которых используется цифра 9, или тех, которые записываются без неё?

12. Доказать, что: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

13. Каждая кость домино помечается двумя числами. Сколько различных костей можно образовать, используя числа ?

14. Экзаменационная программа содержит 40 вопросов. На экзамене предлагается ответить на два из них. Студент подготовил ответы на 30 вопросов. Какова вероятность того, что на экзамене ему предложат два вопроса, на которые он подготовил ответ?

15. Найти вероятность того, что дни рождения двенадцати человек придутся на двенадцать разных месяцев.

16. В чулане лежат пар ботинок. Наугад выбираются ботинок . Чему равна вероятность того, что среди них не будет ни одной пары?

17. Окрашенный куб распиливается на частей в каждом измерении. Маленькие кубики перемешиваются и один выбирается наугад. Найти наименьшее значение , при котором вероятность того, что выбранный кубик окажется неокрашенным, больше либо равна .