§2. Элементы логики

Логика – наука о способах рассуждений и доказательств, математическая логика исследует способы рассуждений, применяемых в математике. Основателем науки логики является древнегреческий философ Аристотель. В 17 веке немецкий математик Г.В.Лейбниц предпринял первую попытку применения к логике математических методов. Им была высказана идея о том, что все рассуждения могут быть сведены к выполнению определённых действий по установленным правилам: «Можно придумать некий алфавит человеческих мыслей и с помощью комбинации букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, всё может быть и открыто, и разрешено». Элементы классической математической логики будут представлены в данном параграфе.

Рассуждая, мы всегда используем какой-то язык – русский, немецкий и т.д. Поэтому математическая логика начиналась с анализа того, как мы говорим на естественных языках, а развитие логики шло по пути построения искусственных формальных языков. Предметом изучения той части математической логики, которая называется исчислением высказываний, являются суждения или высказывания. Суждение – это повествовательное предложение, которое может быть истинным или ложным. Например: 1) Луна – спутник Земли; 2) число 5 чётно; 3) на Юпитере есть жизнь; 4) ; 5) диагонали любого ромба взаимно перпендикулярны; 6) 1 сентября 850 года на территории современного Томска выпал снег. Очевидно, что высказывания 1) и 5) истинны, выказывание 2) ложно, есть надежда, что в будущем станет известно, истинно ли высказывание 3), но очень маловероятно, что когда-нибудь будет установлена истинность либо ложность высказывания 6), однако нет сомнений, что каждое из высказываний 3) и 6) либо истинно, либо ложно. Высказывание 4), в отличие от остальных, содержит переменную – , и его истинность либо ложность зависит от значения этой переменной. Отметим также, что высказывание 2) относится к индивидуальному объекту – числу 5, а высказывание 5) носит всеобщий характер – все ромбы обладают указанным свойством. Но можно составить и другие повествовательные предложения, являющиеся правильными грамматическими конструкциями и осмысленными утверждениями, относительно которых невозможно установить, истинны они или ложны: утверждение, набранное жирным шрифтом на этой странице, ложно; утверждение, набранное курсивом на этой странице, истинно. С какого из этих высказываний мы ни начали бы выяснение истинности, мы приходим к противоречию (парадокс Эвбулида, IVвек до н.э.) Несовершенство естественных языков привело к построению искусственного формального языка.

Пусть имеется некоторый набор простых предложений – высказываний, для их обозначения будем использовать латинские буквы . Из данных высказываний с помощью логических связок «не», «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда» могут быть образованы новые – сложные высказывания. Для установления истинности сложного предложения необходимо знать точный смысл логической связки, при помощи которой это предложение образовано.

Рассмотрим логический союз «неверно, что», являющийся выражением отрицания. Для каждого высказывания можно образовать новое высказывание (читают «не », «неверно, что »), которое истинно, если ложно, и ложно, если истинно. Высказывание называется отрицанием высказывания .

Высказывание, образованное из высказываний и с помощью союза «и», называется конъюнкцией и обозначается (читают « и »). Конъюнкция признаётся истинной в том и только в том случае, когда оба члена конъюнкции и истинны.

Предложение, состоящее из двух высказываний, объединённых союзом «или», называется дизъюнкцией или не исключающей альтернативой и обозначается (читается « или »). Дизъюнкция считается истинной тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний.

Предложение, составленное из высказываний и при помощи логической связки «если…, то…», называется импликацией и обозначается (читают «если , то »). При этом называют условием, а - заключением импликации. Импликация считается ложной только в том случае, когда условие истинно, а заключение ложно.

На первый взгляд кажется странным, что импликация, для которой ложно, а истинно, признаётся истинной. Например, импликация «Если Волга течёт на север, то » считается истинной, а импликация «Если , то Волга течёт на север» - ложной. Однако и в умозаключениях повседневной жизни, и в науке мы рассматриваем только такие импликации (а также конъюнкции и дизъюнкции), в которых составляющие их предложения связаны по содержанию. Импликации, в которых нет этой связи, являются совершенно бесплодными предложениями, они не ведут ни к ложным выводам, ни к истинным выводам более глубокого содержания. Большинство научных теорем являются импликациями, но ни одна теорема не является такой импликацией, в которой условие и заключение не были бы связаны по содержанию. На самом деле данное определение истинности или ложности импликации вполне соответствует нашему представлению о верности или неверности теорем. Рассмотрим, например, теорему арифметики: «если сумма цифр некоторого числа делится на 9, то это число делится на 3». Истинность данного утверждения означает следующее: 1) для любого числа, для которого посылка истинна, истинно и заключение; 2) если же - ложно, то относительно делимости числа на 3 (т.е. истинности ) ничего сказать нельзя, ибо такие числа могут и делиться на 3 (число 213), а могут и не делиться (212, например). Таким образом, из свойств импликации следует: чтобы импликация была истинной, достаточно, чтобы суждение было ложным. Это следствие соответствует очень важному закону логики: исходя из неверного допущения можно прийти к какому угодно выводу, как верному, так и неверному.

И, наконец, истинность импликации при ложной посылке никак не влияет на классическое правило вывода, называемое правилом отделения (modus ponens): если истинна импликация и истинно, то истинно.

Высказывание, составленное из предложений и с помощью логической связки «тогда и только тогда» («необходимо и достаточно», «если и только если»), называется эквивалентностью и обозначается . Эквивалентность признаётся истинной, если оба её члена и либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности можно рассматривать как особые операции, определённые не на числах, а на логических значениях ИСТИНА и ЛОЖЬ. Для этих операций можно составить таблицу, подобную таблице умножения:

И	И	Л	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	И	И	Л
Л	Л	И	И	Л	Л	И	И

Функции, значениями и аргументами которых являются ИСТИНА и ЛОЖЬ, называются булевыми функциями (Д.Буль, английский математик, создатель современной математической логики).

С помощью введённых логических операций, каждая из которых может применяться несколько раз, из простых высказываний образуются новые высказывания. Для установления порядка, в котором должны проводиться операции, как и в алгебре, используются скобки. Отметим, что любое сложное высказывание может быть либо истинным, либо ложным, т.е., выражаясь арифметическим языком, может принимать только два значения. Таким образом, исчисление высказываний можно сравнить с арифметикой двух чисел.

Рассмотрим два сложных суждения , состоящих из конечного числа высказываний , соединённых логическими связками. Высказывания и будем называть равносильными, если суждение является истинным при любых конкретных значениях входящих в него переменных. В этом случае пишут или . Разница между эквивалентностью и равносильностью аналогична разнице между уравнением и тождеством; как в алгебре мы можем заменить тождественные выражения друг другом, так и в алгебре высказываний можно заменять друг другом равносильные суждения. Для установления равносильности двух суждений и используются таблицы истинности, так как для равносильных высказываний, имеющих различную форму, таблицы истинности совпадают. Например, равносильность следует из приведённой ниже таблицы:

И	И	Л	Л	И
И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	И
Л	Л	И	И	И

Данная равносильность является обоснованием метода доказательства от противного.

Пример 1. Доказать, что импликация и эквивалентность выражаются через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание следующим образом: 1) ; 2) ; 3) .

Построим таблицы истинности для высказываний , и :

И	И	Л	Л	И
И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	И
Л	Л	И	И	И

И	И	Л	Л	И	Л	И
И	Л	Л	И	Л	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	Л	И	И

И	И	Л	Л	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	И	Л
Л	И	И	Л	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И	И	И

Таблица истинности высказывания совпадает с таблицей истинности для импликации, а таблицы истинности высказываний и - с таблицей для эквивалентности.

Пример 2. Доказать, что .

Построим таблицу истинности для высказывания :

И	И	И	И
И	Л	Л	И
Л	И	И	И
Л	Л	И	Л

Из совпадения таблиц истинности для данного высказывания и дизъюнкции и следует данная равносильность.

Таблицы истинности основных логических операций дают возможность получать новые теоремы логики высказываний.

Записав с помощью логических связок и произвольных переменных, которые мы будем обозначать строчными буквами , определённые формулы (их называют пропозициональными или булевыми), мы можем установить, являются ли эти формулы теоремами логики. Безусловно, проверке по таблицам будут подвергаться только правильно построенные формулы, а именно такие, которые можно рассматривать как схему правильного высказывания, правильного сложного предложения. Например, формулы являются правильно построенными, так как в них вместо переменных можно поставить произвольные высказывания и получить новое предложение, а формулы ; ;

не являются правильными, так как и конъюнкция (формула 1), и дизъюнкция (формула 2) не могут быть одночленными, а за знаком отрицания (формула 3) обязательно должна следовать переменная.

Подобно тому, как в алгебре можно вычислить значение многочлена, подставляя конкретные значения входящих в него переменных, так же можно установить логическое значение (ИСТИНА или ЛОЖЬ) пропозициональной формулы при данных логических значениях составляющих эту формулу переменных. Для того чтобы пропозициональная формула была бы теоремой логики, необходимо, чтобы любая подстановка в неё была истинной.

Пример 3. Доказать, что формула является теоремой логики.

Рассмотрим формулу . Подставим вместо переменной некоторое произвольное предложение и составим для сложного предложения таблицу истинности:

И	Л	Л	И
Л	И	Л	И

Итак, при любом значении предложения высказывание оказывается истинным. В силу произвольности предложения заключаем, что формула является теоремой логики, называемой законом непротиворечивости.

Если пропозициональная формула содержит переменных, необходимо перебрать всевозможных комбинаций булевых значений этих переменных и для любой комбинации вычислить значение формулы. Очевидно, с ростом этот процесс становится трудоёмким. Поэтому существует и другой способ построения законов логики, основанный на использовании уже известных, установленных с помощью таблиц истинности законов. Таковыми являются:

1. коммутативность дизъюнкции ;

2. коммутативность конъюнкции ;

3. ассоциативность дизъюнкции ;

4. ассоциативность конъюнкции ;

5. дистрибутивные законы ;

;

6. закон двойного отрицания ;

7. закон исключённого третьего – суждение является тождественно истинным высказыванием, т.е. истинным всегда, независимо от истинности или ложности составляющих его высказываний;

8. закон непротиворечивости – суждение является тождественно ложным;

9. закон контрапозиции ;

10. законы идемпотентности ; ;

11. законы де Моргана ; .

Для тождественно истинных и тождественно ложных высказываний существуют специальные обозначения - и соответственно. Отметим, что каково бы ни было суждение , имеют место следующие тождества:

; ; ; ; ; ; .

Пример 4. Определить, кто из четырёх студентов сдал экзамен, если известно, что: 1) если первый сдал, то и второй сдал;

2) если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал;

3) если четвёртый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал;

4) если четвёртый сдал, то и первый сдал.

Обозначим высказывания «первый сдал», «второй сдал», «третий сдал», «четвёртый сдал» через соответственно. Тогда условия задачи запишутся следующим образом: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Пользуясь доказанным в примере 1 свойством и дистрибутивным законом, получим четыре сложных высказывания:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Рассмотрим их конъюнкцию, которая должна быть истинной в силу истинности каждого из составляющих её высказываний:

.

Пользуясь основными законами, преобразуем её к виду:

.

Каждое из высказываний , , должно быть истинным. Из истинности следует истинность (ибо всегда ложно), тогда из истинности вытекает истинность , т.е. истинность и , и , а истинность влечёт истинность . Следовательно, экзамен сдали все четыре студента.

Пример 5.Для полярной экспедиции из восьми претендентов надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика, и врача. Обязанности биолога могут выполнять и , гидролога и , синоптика и , радиста и , механика и , врача и . Хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями, в экспедиции каждый сможет выполнять только одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если не может ехать без , - без и без , не может ехать одновременно с , а не может ехать вместе с ?

Для ответа на вопрос необходимо исследовать только те конъюнкции, которые не содержат одновременно и , и , а именно: 1) , 2) ,

3) , 4) . Для 1) и 2) не выполнено условие того, что не может ехать без , а для 3) не выполнено условие, что едет только одновременно с и .

Конъюнкция 4) удовлетворяет всем приведённым условиям. Таким образом, в экспедицию должны поехать в качестве врача (ибо врач не едет), - синоптиком, - биологом, - радистом, - механиком, - гидрологом.

В логике и математике наряду с обычными суждениями встречаются предложения, зависящие от переменной (или от нескольких переменных), принадлежащей некоторому множеству. Такие предложения называются предикатами. Например:

1) 2) число - простое, Для предложений, зависящих от переменной, как и для обычных суждений, вводятся логические операции. Предикат не является высказыванием, но для каждого предложение есть высказывание. Логическое значение предиката не определено, если не указаны значения входящих в него переменных. Не придавая конкретных значений этим переменным, можно поставить следующие вопросы:

- верно ли, что для всех значений переменных предложение , истинно;

-верно ли, что существуют такие значения переменных , при которых предложение истинно.

В математической логике вместо слов «для всех» и «существует» используются специальные символы, называемые кванторами: знак общности и знак существования (эти символы – перевёрнутые первые буквы английских слов all и exists), а также знак , означающий «существует единственный».

Запишем с помощью кванторов два наиболее важных утверждения:

1. - предложение истинно для всех элементов множества ;

2. - предложение истинно хотя бы для одного элемента множества .

Каждое из них либо истинно, либо ложно, а значит является высказыванием. Кванторы и тесно связаны между собой и выражаются один через другой. Покажем это, построив отрицание для высказываний 1 и 2.

1. истинно не для всех в том и только в том случае, если существует , для которого ложно:

;

2. не существует , для которого истинно, тогда и только тогда, когда ложно для любого :

.

Данные формулы дают правила построения отрицания для высказываний, содержащих кванторы. Попытки проигнорировать эти правила могут приводить к ошибкам. Например, рассмотрим высказывания: ; . Казалось бы, является отрицанием , ведь для передачи отрицания в русском языке используется частица «не», а логическое отрицание соответствует «не», стоящему перед сказуемым. Однако высказывание не является отрицанием высказывания , ибо оба они неверны. Правильно построенное отрицание имеет вид:

. Таким образом, квантор заменяется на квантор и наоборот.

Пример 6. Используя правила построения отрицания для высказываний, содержащих кванторы, сформулировать отрицание для следующих высказываний:

1) В некотором поезде, идущем из Москвы в Петербург, в каждом вагоне есть свободное место.

2) В каждом городе Швеции есть улица, на которой есть дом, все окна которого выходят на юг.

1) Обозначим: - поезд, идущий из Москвы в Петербург; - вагон этого поезда, ; - высказывание «есть свободное место», - высказывание «нет свободного места» (т.е. «все места заняты»). Запишем данное высказывание с помощью кванторов: . Тогда согласно правилам построения отрицания будем иметь:

- в любом поезде, идущем из Москвы в Петербург, есть вагон, в котором все места заняты.

2) Обозначим: - город в Швеции; - улица в этом городе, ; - дом на указанной улице, ; - высказывание «все окна дома выходят на юг», - высказывание «в доме есть окно, которое не выходит на юг». Приведённое высказывание будет иметь вид: . Построим его отрицание: - в Швеции существует город, на любой улице которого в каждом доме есть окно, не выходящее на юг.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Среди следующих предложений выделить те, которые являются высказываниями, и установить (если это возможно), истинны они или ложны:

1) Великий русский поэт А.С.Пушкин родился в 1799 году.

2) Анатолий Карпов – двенадцатый чемпион мира по шахматам.

3) Летайте самолётами Аэрофлота!

4)

5) Для произвольных множеств и верно включение .

6) Существуют внеземные цивилизации.

7) .

8) Сумма углов треугольника равна .

2. Сформулировать отрицание для следующих высказываний:

1) 257 – чётное число; 2) 7 – положительно; 3) - рационально;

4) 27 не делится на 2; 5) не существуют чётные простые числа.

3. Даны два высказывания:

- «число 3 является делителем числа 174»;

- «идёт дождь».

В чём заключаются высказывания: 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ?

Какие из этих высказываний истинны, если истинно, а ложно?

4. Доказать формулы:

1) ; 2) .

5. Доказать законы де Моргана:

; .

6. Выразить отрицание импликации через основные операции так, чтобы отрицания стояли только над аргументами.

7. Преобразовать (найти равносильную формулу) к формуле, в которой отрицания стоят только над аргументами:

а) ; б) .

8. По мишени произведено три выстрела. Пусть - высказывание «мишень поражена -м выстрелом», . Что означают следующие высказывания: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Какие из этих высказываний истинны, если истинно , а и ложны?

9. Какие из высказываний должны быть истинны и какие ложны, чтобы высказывание было истинным?

10. Упростить высказывания, имеющие форму:

1) ; 2) ;

3) .

11. На вопрос, кто из трёх студентов изучал логику, был получении правильный ответ: если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий. Кто изучал логику?

12. Виктор, Роман, Сергей и Юрий заняли на математической олимпиаде первые четыре места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

1) Сергей - первый, Роман – второй;

2) Сергей – второй, Виктор – третий;

3) Юрий – второй, Виктор – четвёртый.

Как распределились места, если в каждом из ответов только одно утверждение истинно?

13. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике», Джонс сказал, что это был чёрный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только её цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?

14. На множестве натуральных чисел даны два предложения:

1) число 3 – делитель числа ; 2) .

Найти множество истинности предложений:

а) ; б) ; в) ; г) .

15. Рассмотрим два определения лёгкой контрольной:

1) контрольная работа называется лёгкой, если каждую задачу решил хотя бы один ученик;

2) контрольная работа называется лёгкой, если хотя бы один ученик решил все задачи.

Ответим на вопросы:

а) может ли контрольная быть лёгкой в смысле первого определения и трудной в смысле второго?

б) может ли работа быть лёгкой в смысле второго определения и трудной в смысле первого?

16. Построить и указать, какое из высказываний или истинно, если: 1) ;

2) ;

3) .

17. Придумать сложное высказывание, содержащее различные связки, и построить его отрицание непосредственно и при помощи алгебры логики.