Введение

Язык математического анализа - это обычный язык и ряд специальных математических символов (знаки дифференциала, интеграла и т.д.). Наряду со специальными символами мы будем использовать распространённые символы математической логики:

означает «всякий, каждый, любой»;

означает «существует, найдётся»;

- связка «и»;

- связка «или»;

означает «влечёт, следует»;

означает «равносильно, тогда и только тогда, необходимо и достаточно».

Подробное рассмотрение логических символов будет осуществлено во втором параграфе первой главы.

Глава 1. Введение в анализ

§1. Основные понятия теории множеств

Понятие множества является первичным понятием в математике. Обычно множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита, а элементы множества – строчными буквами. Примерами множеств являются множество точек плоскости, множество кривых 2-го порядка, множество букв греческого алфавита и т.д. Существует ряд общепринятых обозначений: - множество натуральных чисел (целых неотрицательных); - множество целых чисел; - множество рациональных чисел; - множество вещественных чисел; - множество комплексных чисел.

Множество задано, если относительно любого объекта можно сказать, является он элементом данного множества или нет. Если элемент принадлежит множеству , то пишут , в противном случае - (или ). Запись означает, что множество содержит 5 элементов – числа 2, 4, 6, 8, 10. Множество может быть задано указанием некоторого характеристического свойства , в этом случае пишут: , например: - множество положительных вещественных чисел.

Определение 1. Если любой элемент множества является элементом множества , то множество называется подмножеством множества (или говорят, что множество включает в себя ): или .

В символической форме: .

Задавая множество, мы не всегда заранее знаем, сколько элементов оно содержит. Поэтому множество может состоять и из одного элемента (например, множество вещественных корней уравнения ), и вообще не содержать ни одного (множество целых корней уравнения ). Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается . Заметим, что каково бы ни было множество , всегда . Действительно, если , то это означает, что существует некоторый элемент такой, что , но , что противоречит определению пустого множества как множества, не содержащего элементов.

Определение 2. Множества и равны, если они состоят из одних и тех же элементов: .

Определение 3. Если и , , то множество называется собственным подмножеством множества : .

В символической форме: .

Множества и называются несобственными подмножествами множества .

Для установления равенства множеств возможна проверка включений: .

При изучении многих конкретных вопросов приходится рассматривать лишь подмножества некоторого множества. Такое множество принято называть универсальным и обозначать . Например, при построении теории вещественного числа за универсальное множество естественно взять .

Рассмотрим простейшие операции над множествами.

Определение 4. Объединением (теоретико-множественной суммой) двух множеств и называется множество всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств и : .

Символическая запись: .

Определение 5. Пересечением (теоретико-множественным произведением) двух множеств и называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат и , и одновременно: .

Символическая запись: .

Пример 1. , . Найти , .

Очевидно: , .

Операции объединения и пересечения обладают следующими свойствами:

1. коммутативности , ;

2. ассоциативности , ;

3. дистрибутивности , ;

4. идемпотентности

5. , , играет роль нуля;

6. , .

Операции объединения и пересечения обобщаются на случай любого конечного числа множеств, а также на случай бесконечного числа множеств:

- объединение системы множеств , ;

- пересечение этих множеств.

Определение 6. Разностью между множеством и множеством называется множество , состоящее из тех элементов множества , которые не принадлежат множеству :

.

Операция разности двух множеств не является обратной по отношению к операции сложения: из не следует .

Пример 2. Для множеств из примера 1 найти .

, .

Определение 7. Пусть . Множество всех элементов множества , не принадлежащих , называется дополнением множества до множества и обозначается :

.

Дополнение множества до универсального множества обозначается .

Сравнивая определения 6 и 7, можно видеть, что разность между множеством и содержащимся в нём подмножеством и называется дополнением.

Свойства операции дополнения:

1. 2. 3.

4.

5. ,

; - законы де Моргана.

Таким образом, операция дополнения переводит знак в знак ,

- в , - в , а - в .

Пример 3. Пусть , , . Найти , , .

, , .

Определение 8. Пусть и - произвольные множества. Прямым или декартовым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар , где , а : . Здесь - первая проекция пары, а - вторая проекция, и называют также координатами прямого произведения.

Из определения следует: . Произведение называют декартовым квадратом и обозначают . Система декартовых координат на плоскости превращает эту плоскость в прямое произведение двух числовых осей: .

Понятие прямого произведения можно обобщить на систему 3-х, …, множеств:

Пример 4. Пусть , . Найти .

.

Пример 5. Доказать, что

Пусть Это означает, что не входит в объединение то есть не входит ни в одно из множеств поэтому . Следовательно, Итак, доказано включение

Обратно, пусть то есть принадлежит всем разностям Но тогда не принадлежит ни одному а значит откуда следует, что Следовательно, Окончательно получаем:

Упражнения для самостоятельной работы

1. Доказать, что для операций и справедливы законы дистрибутивности: а)

б)

2. Доказать законы де Моргана:

а) ; б) .

3. Доказать равенства: 1) ;

2) ; 3) ;

4) .

4. Определить в каком отношении находятся множества и если: а) б)

5. Доказать, что включение верно тогда и только тогда, когда .

6. Доказать, что если , , то .

7. Множества и составлены соответственно из элементов , , . Найти .

8. Пусть Из каких элементов состоят множества:

1) 2) 3) 4) ;

5) 6)

9. Пусть и - произвольные подмножества множества . Доказать равенства: 1) ;

2) ; 3) .

10. Пусть . Найти множество , удовлетворяющее уравнению: .

11. Найти подмножества и множества , если известно, что для любого множества верно равенство: .

12. Привести пример таких множеств и , что .

13. Привести пример таких множеств , что , но .

14. Привести пример таких множеств , что , но .

15. Привести пример таких множеств , что .

16. Множества и являются подмножествами множества . Заштриховать на рисунке следующие множества:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) .