1.1.1. Содержательное описание объекта регулирования

Рис. 3. Объект регулирования.

Объект регулирования - резервуар с линиями подвода и отвода жидкости.

Рабочее тело – кислота. Удельный вес γ = 10240, [Н/м³].

Регулируемый параметр – высота жидкости в резервуаре.

Конструктивные параметры объекта:

Диаметр резервуара - 1 [м].

Высота резервуара - 10 [м].

Диаметр подводящей трубы d₁ = 0.1 [м].

Диаметр отводящей трубы d₂ = 0.15 [м].

Номинальные значения параметров процесса.

Давление на входе – p_1,н = 21.58·10⁴, [Па].

Давление на выходе – p_2,н = 2.943·10⁴, [Па].

Номинальное значение коэффициента истечения крана на входе μ_1,ном = 0.3.

Номинальное значение коэффициента истечения крана на выходе μ_2,ном = 0.2.

1.1.2. Содержательное описание датчика уровня

Датчик уровня поплавкового типа (формирует на выходе сигнал напряжения, пропорциональный уровню жидкости в резервуаре).

1.1.3. Содержательное описание регулятора

Регулятор представляет собой типовой электрический ПИД-регулятор на вход которого поступает сигнал рассогласования, сформированный элементом сравнения «ЭС», как разность сигналов датчика и задатчика, а на его выходе формируется управляющий сигнал в границах ± 10 В.

1.1.4. Содержательное описание исполнительного устройства

Исполнительное устройство включает:

• согласующее устройство СУ (формирует на своем выходе токовый сигнал переменной частоты и фазы в границах 0…50 Гц);

• электродвигатель асинхронный с номинальной частотой вращения 25 об/с;

• редуктор с регулируемым передаточным числом;

• вентиль с коэффициентом передачи «винт-гайка» равным 0.004 м/об (полное перемещение штока вентиля составляет 0.5 диаметра трубы).

Функциональная схема исполнительного устройства может быть представлена в виде:

Рис. 4. Функциональная схема исполнительного устройства.

С.У. – Согласующее устройство (используется преобразователь частоты, на вход которого поступает сигнал управления, сформированный регулятором «u», в виде напряжения –10 … 0 … 10 В, на выходе формируется ток частотой «f», изменяющейся в пределах –50 - 0 – 50 Гц); Дв. – асинхронный электродвигатель, на вход которого поступает ток переменной частоты, а на выходе формируется угол поворота якоря двигателя «ψ_дв» (Пси_дв), пропорциональный частоте тока и времени работы двигателя (принимаем, что частота вращения ротора двигателя может изменяться в диапазоне -25 … 0 … 25 об/с); Ред. – вручную настраиваемый редуктор, выходной вал которого поворачивается на угол «ψ_ред» (Пси_ред); В.Г. – привод штока крана “винт-гайка” («ψ_ред» → «Х_шт»).

1.2 Формализация концептуальной модели

Анализ концептуальной модели позволяет отнести объект регулирования к непрерывно-детерминированным моделям (D схемы).

1.3 Составление математической логической аналитической модели системы автоматического управления уровнем жидкости в резервуаре

1.3.1. Модель объекта регулирования

Резервуар представляет собой «одноемкостной объект» и может быть описан дифференциальным уравнением первого порядка вида

где Т_а – время разгона объекта;

F_д – коэффициент самовыравнивания объекта;

φ – относительная величина регулируемого параметра;

λ – относительная величина возмущающего воздействия.

Для составления аналитической модели, мы должны связать параметры дифференциального уравнения: время разгона объекта и коэффициент самовыравнивания с физическими параметрами объекта.

Определим время разгона объекта.

Решение задачи начнем с того, что определим высоту столба жидкости над дном резервуара H₀.

Запишем уравнение баланса в значениях расхода жидкости через краны на притоке Q_пр.ном и оттоке Q_от.ном при номинальных значениях μ.

где Z₀ - уровень жидкости в рассматриваемой гидравлической системе (с учетом противодавления Р_2,н на выходе из резервуара).

Рассчитаем численные значения коэффициентов данного уравнения для установившегося режима работы.

С учетом вычисленных значений коэффициентов балансовое уравнение примет вид

Разрешив последнее уравнение относительно Z₀, получим

Z₀ = 8.474 м.

При этом расход жидкости Q₀, будет равен

Высота столба жидкости над дном резервуара H₀ будет равна разности между вычисленным значением уровня Z₀ и высотой столба жидкости Z_P2,н, эквивалентного давлению подпора р_2,н на линии.

Площадь поперечного сечения резервуара равна

Аккумулированный в резервуаре объем жидкости равен

Время разгона для объекта равно

Определим коэффициенты самовыравнивания на стороне притока жидкости и ее оттока.

Перепишем уравнения притока и оттока жидкости, выразив значение уровня жидкости в гидравлической системе в установившемся состоянии Z₀ через высоту столба жидкости над дном резервуара H (Z₀ = H₀ +2.847),

Подставив значения f_тр1, f_тр2, μ₁, μ₂, γ, и g в формулы получим

Откуда найдем значения коэффициентов самовыравнивания на стороне прихода и оттока жидкости.

Из полученного определим коэффициент самовыравнивания объекта, который будет равен

Дифференциальное уравнение, описывающее объект, будет иметь вид

где λ(t) – относительное возмущение (в долях номинальных значений возмущающих сигналов );

φ(t) – относительное отклонение .

При сформированном на выходе модели объекта управления относительном отклонении φ(t) текущее значения уровня жидкости в резервуаре будет равно

Аналитическое решение дифференциального уравнения будет иметь вид

Приведем уравнение к канонической форме записи для чего разделим обе части уравнения на F_д.

Вычислим постоянную времени объекта

и коэффициент усиления

.

Тогда для объекта можно записать

.

С учетом полученного, передаточная функция объекта управления будет иметь вид

1.3.2. Математическая модель датчика уровня (Н → h_ВЫХ), где H - высота жидкости над дном резервуара, м; h_ВЫХ – сигнал датчика, В

На объекте использован датчик уровня поплавкового типа. Передаточная функция звена имеет вид:

Примем k_Д = 1 [В/м].

1.3.3. Математическая модель элемента сравнения ((h_ВЫХ - h_ЗАД) → Δ), где h_ЗАД – сигнал задатчика, В; Δ – сигнал рассогласования, В

Передаточная функция звена будет иметь вид:

1.3.4. Математическая модель регулятора (Δ → u), где u – сигнал управления, В

В модели будем использовать ПИД-регулятор математическая модель которого, имеет вид:

1.3.5. Математическая модель исполнительного устройства (u → X_ШТ.1)

1.3.5.1 Математическая модель согласующего устройства (u → f), где u - сигнал управления, В; f – частота тока питающей сети, Гц

Передаточная функция звена имеет вид:

k_СУ = f / u = 50 / 10 = 5 [Гц/В].

1.3.5.2 Математическая модель электродвигателя (f → ψ₁), где n – частота вращения ротора двигателя, об/с.

В качестве электродвигателя будем использовать асинхронный четырех полюсный двигатель, для которого синхронная частота вращения ротора n при частоте тока питающей сети 50 Гц равна 25 об/c, а зависимость частоты вращения ротора от частоты тока питающей сети линейная.

Двигатель для схемы (f → n) представляет собой звено первого порядка, передаточная функция которого имеет вид:

.

Коэффициент передачи для двигателя в этом случае равен

k_дв = n / f = 25 / 50 = 0.5

Постоянную времени для электродвигателей можно определить по моментам инерции, либо маховым моментам ротора, приводимым в каталогах. Для асинхронных трехфазных двигателей единой серии мощностью 0.6…1.5 кВт постоянную времени Т_ДВ можно принимать в пределах от 0.6 до 1.8 с.

Однако для дальнейшего использования нам необходимо получить преобразование несколько другого вида: (f → ψ₁), где ψ ₁ – угол поворота якоря двигателя, об.

В этом случае передаточная функция примет вид:

Ограничим перемещение штока вентиля до 0.5 D_у, для чего используем интегратор «с насыщением».

1.3.5.3 Математическая модель редуктора (ψ₁ → ψ₂), где ψ₂ - угол поворота выходного вала редуктора, об.

Передаточная функция имеет вид:

Полагаем, что редуктор привода настраиваемый, поэтому модель привода должна содержать настройку.

1.3.5.4 Математическая модель механизма привода штока вентиля (ψ₂ → Х_ШТ.1), где Х_шт - перемещение штока вентиля, м

Будем считать, что перемещение штока вентиля производится механизмом «винт-гайка». Шаг гайки h примем равным 0.004 м. Тогда k_п.шт = 0.004 м/об.

1.3.5.5 Математическая модель исполнительного устройства в целом (u → Х_ШТ.1), где u – сигнал управления, В

Модель исполнительного устройства в целом имеет вид :

1.3.6. Математическая модель вентиля (Х_ШТ.1 → μ), где μ – коэффициент открытия вентиля

Полагая, что полное перемещение штока вентиля Х_шт.max равно половине диаметра условного прохода трубы, рассчитаем значение коэффициентов передачи для кранов на притоке и оттоке.

В соответствии с заданием на притоке D_у = 0.1 и μ_max = 1 тогда для крана на притоке k_Х1 = μ_max / D_у = 20.

В соответствии с заданием на оттоке D_у = 0.15 и μ_max = 1 тогда для крана на оттоке k_Х2 = μ_max / D_у =13.33.