2.1.5. Аналіз масштабованості паралельних обчислень

Метою застосування паралельних обчислень є не тільки зменшення тривалості розрахунків, але й забезпечення можливості розв’язку складніших варіантів задач (таких постановок, розв’язок яких не представляється можливим при використанні одно процесорних обчислювальних систем). Здатність паралельного алгоритму ефективно використовувати процесори при підвищенні складності обчислень є важливою характеристикою виконуваних розрахунків. Тому паралельний алгоритм називають масштабованим (scalable), якщо в разі росту чисельності процесорів він забезпечує збільшення прискорення при збереження постійного рівня ефективності використання процесорів. Можливий спосіб характеристики властивостей масштабованості полягає в наступному.

Оцінимо накладні витрати (total overhead), які мають місце при виконанні паралельного алгоритму

.

(2.1.51)

Накладні витрати з’являються за рахунок необхідності організації взаємодії процесорів, виконання деяких додаткових дій, синхронізації паралельних обчислень і т.п. Використовуючи введене позначення, можна отримати нові вирази для тривалості паралельного рішення задачі та відповідного прискорення:

.

(2.1.52)

Застосовуючи отримані співвідношення, ефективність використання процесорів можна виразити як

.

(2.1.53)

Останній вираз показує, що якщо складність розв’язуваної задачі є фіксованою ( ), то при зростанні чисельності процесорів ефективність, як правило, буде спадати за рахунок зростання накладних витрат . При фіксації чисельності процесорів ефективність їх використання можна покращити шляхом підвищення складності розв’язуваної задачі (вважається, що при зростанні параметра складності накладні витрати збільшуються повільніше, ніж об’єм обчислень ). Як результат, при збільшенні чисельності процесорів в більшості випадків можна забезпечити певний рівень ефективності з використанням відповідного підвищення складності розв’язуваних задач. Тому важливою характеристикою паралельних обчислень стає співвідношення необхідних темпів росту складності розрахунків та чисельності використовуваних процесорів.

Нехай є бажаний рівень ефективності виконуваних обчислень. З виразу для ефективності можна отримати

або , .

(2.1.54)

Породжувану останнім співвідношенням залежність між складністю розв’язуваної задачі та чисельністю процесорів називають функцією ізлефективності (isoefficiency function).

Отримаємо виведення виразу для функції ізоефективності для навчального прикладу знаходження суми числових значень. В цьому випадку

.

(2.1.55)

і вираз для функції ізоефективності набуде вигляду

.

(2.1.56)

Як результат, наприклад, при чисельності процесорів для забезпечення рівня ефективності (тобто кількість значень суми повинна бути не менше . Або ж, при зростанні чисельності процесорів з до для забезпечення пропорційного зростання прискорення необхідно збільшити чисельність значень суми в разів.