Энтропия и демон Больцмана

Но что конкретно в данном случае выражает, повторно введенная нами в рассмотрение, энтропия? Для того, чтобы это выяснить упростим нашу модель из МКТ. Заменим соударяющиеся шарики неподвижными ячейками пространства. Тогда наша система будет представлять собой что-то похожее на тетрадный лист. Некоторые ячейки могут содержать энергию (быть в возбужденном состоянии), а другие энергии не содержат. Пусть некая сущность, Больцман, а вслед за ним и мы будем называть ее демоном способна совершенно хаотично передавать возбуждения от одной ячейки другой. Упрощая задачу, мы даже не учитываем разный уровень возбуждения. Просто говорим, что возможно два варианта – либо данная ячейка возбуждена, либо нет. Рассмотрим с точки зрения такой модели какое-нибудь нагретое тело, например, кружку с горячим чаем. Для простоты будем считать, что поскольку чай горячий, то все ячейки пространства, занимаемого кружкой, возбуждены. Демон Больцмана, оказавшись внутри такой кружки останется без дела, потому что он в состоянии переносить возбуждение от возбужденной ячейки к невозбужденной, но когда невозбужденных нет, то и демон ничего сделать не может. А теперь внесем эту кружку в комнату, где холодно. Поскольку в комнате холодно, то будем считать, что все ячейки пространства, занимаемого комнатой, не возбуждены. Тут демон обрадуется и примется за дело -начнет переносить возбуждение из кружки в комнату и обратно. Напомним, что действует он полностью хаотично. Если посчитать вероятности состояний, к которым может привести подобная деятельность демона, то максимального значения она достигнет в тех случаях, когда возбуждение в масштабе всей комнаты распределено относительно равномерно. Такие состояния называются состояниями термодинамического равновесия. Например, если кружка занимает 100 ячеек пространства, а комната 1500, то для 6 и для 7 возбужденных ячеек в объеме кружки вероятность одинакова и максимальна. Когда демон в такой ситуации прекратит свою деятельность? Никогда! Он все время будет менять места локализации возбуждений. Может оказаться, что на 100 клеток будет приходиться больше 7 возбуждений или меньше 6? Может! Но подавляющее число состояний будет таким, что этих возбуждений на заданный объем будет 6 или 7. Может ли случиться, что все возбуждения соберутся по соседству снова в одном месте в результате хаотической деятельности демона? Может, но вероятность такого события ничтожно мала. Таким образом, можно заключить, что хаотическая деятельность демона ведет к наиболее вероятным состояниям. При этом наблюдатель, который находится далеко и вообще не в состоянии различать отдельные ячейки (макроскопический наблюдатель) с подавляющей вероятностью вообще не увидит, в конце концов, стараний демона. Во всех случаях он увидит лишь, что возбуждение равномерно размазано по всему объему. Для него вообще нет разницы между всеми состояниями, имеющими одинаковую вероятность. Обобщая сказанное, следует ответить на вопрос, какая величина, характеризующая систему, увеличивалась с точки зрения демона? Ответ очевиден – вероятность! Демон все время приводил систему в наиболее вероятное состояние, не имея такой цели. Не имея вообще никаких целей. Действуя хаотически. А что увеличилось в комнате с точки зрения внешнего наблюдателя? Ответ вновь очевиден – энтропия! Таким образом, можно утверждать, что энтропия неразрывно связана со стремлением системы прийти к наиболее вероятному состоянию. Таким образом, во-первых, мы можем сказать, что смысл второго начала термодинамике в том, что любая хаотическая система стремится занять состояния, имеющие наибольшую вероятность, а во-вторых связать вероятность обнаружить систему в том или ином состоянии с энтропией в единой формуле:

Эта формула называется формулой Больцмана. Здесь – это константа (постоянная Больцмана), а – статистический вес системы. Статистический вес показывает скольким числом способов можно получить одинаковые с точки зрения макроскопического наблюдателя состояния системы. Понятно, что общее число состояний можно посчитать. Исходя из классического определения вероятности , где - число благоприятствующих исходов (в нашем случае в качестве такового выступает статистический вес), а – общее число возможных исходов, чем больше статистический вес, тем больше вероятность. Знак логарифма вводится для математического удобства, поскольку может принимать и очень большие и очень маленькие значения.

Энтропию, так же, нередко определяют, как меру беспорядка в системе. Это утверждение истинно и оправдано, однако, в таком случае, следует договориться о том, что понимать под более упорядоченными состояниями менее вероятные, такие, которые могут быть достигнуты малым числом способов, и, следовательно, имеют малый статистический вес. Те же состояния, которые имеют большой статистический вес и вероятность следует считать беспорядочными.