Нахождение области определения дробных функций.

Рассмотрим дробную функцию, заданную формулой . Чтобы найти область определения дробной функции перепишем ее в виде . Имеем произведение двух функций: y=f₁(x) и сложной функции . Область определения функции y=f₁(x) есть множество , а область определения сложной функции определяется из системы .

Таким образом, область определения дробной функции находится из системы .

Пример.

Найдите область определения функции .

Решение.

Данная дробная функция представляет собой отношение двух функций: сложной функции и целой рациональной функции , областью определения которой является множество всех действительных чисел. Тогда область определения функции находится из системы неравенств .

В свою очередь сложную функцию представим как , где f₃ – функция тангенс и ее область определения составляют все действительные числа, кроме чисел , а f₄ – целая рациональная функция и . Теперь мы можем найти область определения функции f₁: .

Теперь можно приступать к отысканию требуемой области определения дробной функции :

Ответ:

множество всех действительных чисел, кроме чисел -2, 3 и .

Нахождение области определения функции, содержащей аргумент под знаком логарифма и в основании логарифма, сводится к нахождению области определения дробной функции.

Действительно, функция есть функция . Так как областью определения логарифмической функции с основанием a является множество действительных положительных чисел, то области определения сложных функций и определяются из систем и соответственно. Тогда область определения дробной функции , а значит и функции , находится из системы неравенств вида .

Пример.

Найдите область определения функции .

Решение.

Обозначим и . f₁ и f₂ – целые рациональные функции, поэтому, и . Мы выяснили, что область определения функции находится из системы неравенств . Подставляем в нее наши данные и находим ее решение:

Таким образом, областью определения исходной функции является множество .

Ответ:

.

К началу страницы

Нахождение области определения показательно-степенных функций.

Под показательно-степенной функцией понимается функция, заданная формулой . По сути, показательно-степенная функция – это сложная функция вида , где . Из этой записи хорошо видно, что область определения показательно-степенной функции находится из системы неравенств .

Пример.

Найдите область определения показательно-степенной функции .

Решение.

Обозначим и . Функция f₁ - это целая рациональная функция, которая определена на множестве всех действительных чисел, то есть, . Функция – сложная, f₃ – функция квадратный корень, , а функция f₄ – целая рациональная, . Найдем область определения функции f₂: . Следовательно, .

Осталось определить область определения исходной показательно-степенной функции, решив систему неравенств :

Ответ:

.

К началу страницы

В заключении отметим, что преобразования выражения, которое находится в правой части формулы, задающей функцию, нужно проводить очень аккуратно. Этим мы хотим сказать, что допустимы лишь тождественные преобразования, не влияющие на область определения исходной функции. Например, и - это две разные функции, первая определена на множестве , а вторая – на множестве всех действительных чисел. Преобразование справедливо только тогда, когда .