Область определения функции, примеры, решения.

Материал этой статьи является ответом на вопрос: «Как найти область определения функции»?

Сразу отметим, что в этой статье мы будем говорить о нахождении области определения функции f одной действительной переменной x, которая задается явно формулой вида y=f(x).

Сначала напомним, что называют областью определения функции, и введем обозначение области определения. После этого перечислим области определения основных элементарных функций (постоянной, функции корень n-ой степени, степенной, логарифмической, показательной функции, а также тригонометрических и обратных тригонометрических функций). Дальше, приняв области определения основных элементарных функций за исходные данные, разберемся с нахождением областей определения элементарных функций. То есть, покажем, как находится область определения сложной функции, область определения суммы, разности, произведения и отношения функций. Весь теоретический материал снабдим подробными решениями характерных примеров.

Навигация по странице.

• Область определения функции – определение, обозначение.

• Области определения основных элементарных функций:

  • постоянной функции;

  • функции корень n-ой степени;

  • область определения степенной функции;

  • логарифмической функции;

  • показательной функции;

  • области определения тригонометрических функций;

  • обратных тригонометрических функций.

• Нахождение области определения элементарных функций.

  • Сложная функция, правило нахождения ее области определения.

  • Нахождение области определения суммы, произведения и разности функций.

  • Дробные функции и их области определения.

  • Нахождение области определения показательно-степенных функций.

Область определения функции – определение, обозначение.

Итак, пусть f – функция одной действительной переменной x.

Определение.

Область определения функции f – это множество X всех значений аргумента x, на котором задается функция.

Для обозначения области определения функции f используется краткая запись вида D(f). Например, если функция f – есть функция тангенс (то есть, f=tg), то область определения функции тангенс обозначается как D(tg).

Если областью определения функции f является множество X, то принята запись D(f)=X.

Если x – аргумент функции f, а X - область определения функции f, то очевидна справедливость формулы , где - символ принадлежности. При этом множество всех значений x таких, что , есть область определения функции f.

К началу страницы

Области определения основных элементарных функций.

Напомним определение числовой функции, которое дается на уроках алгебры в средней школе (не числовые функции в школе не рассматриваются): функция с областью определения X – это соответствие, при котором каждому числу x из множества X по некоторому правилу сопоставляется число y, зависящее от x. Таким образом, область определения функции является неотъемлемой частью самой функции, и область определения функции задается вместе с самой функцией.

Когда вводятся основные элементарные функции, то области их определения даются как свойства этих функций. Перечислим области определения основных элементарных функций.