7.5. Элементы теории игр п лиц

Во многих реальных ситуациях в процессе принятия решений участвует более двух игроков. Рассмотрим случай, когда участников игры трое или более. Пусть N= {1, 2,..., п} — мно­жество игроков, х_i — стратегия i-го игрока, X_i — множество стратегий i-го игрока; f_i (x₁,…, x_n) — функция выигрыша i-го игрока в зависимости от выбранных стратегий x₁,…, x_n (ситуация игры). Такую игру на­зывают игрой п лиц. Введем определения характеристической функции.

Определение. Функцию v(S) называют характеристической функцией для игры п лиц, если для любого подмножества S множества игроков N (SN) v(S) — максимальный суммарный гарантированный выигрыш иг­роков подмножества S при условии их оптимальных совместных дейст­вий. Или в математическом виде

(7.6.)

Оптимальная стратегия для коалиции гарантирует с одной сторо­ны, что сумма индивидуальных выиг­рышей не будет меньше того, что мо­жет себе обеспечить коалиция в целом, а с другой стороны, что выигрыш каж­дого игрока не должен быть меньше того количества, которое он может се­бе обеспечить самостоятельно.

7.6. Игры с природой

В реальных экономических условиях чаще всего приходится решать задачи при ограниченности, неточности исходной информации о самом объекте или внешней среде, в которой он функционирует. При принятии управленческих решений о деятельности экономического объекта необходимо учитывать важную характеристику внешней среды – неопределенность

В условиях рыночной экономики существует множество источников возникновения неопределенности для различных экономических объектов. К ним, в первую очередь, можно отнести:

• недостаточность полноты информации об объекте, процессе, явлении, ограниченность в сборе информации, постоянная ее изменчивость;

• наличие противоборствующих тенденций, столкновение противоречивых интересов;

• невозможность однозначной оценки объекта в силу влияния внешнеэкономических факторов;

• влияние других экономических объектов на данный объект и т.д.

Неопределенность обусловливает появление ситуаций, не имеющих однозначного исхода (решения). Среди различных видов ситуаций, с которыми в процессе производства сталкиваются предприятия, особое место занимают ситуации риска. Обычно, ей сопутствуют три условия:

• наличие неопределенности;

• необходимость выбора альтернативы;

• возможность оценки вероятности осуществления (оптимальности) выбираемых альтернатив.

Таким образом, если существует возможность количественно и качественно определить степень вероятности (оптимальности) того или иного варианта, это и есть ситуация риска.

Мы пред­полагали, что все участники игры имеют свои интересы, которые вы­ражаются либо платежными матрицами (антагонистические игры, биматричные игры), либо платежными функциями (игры п лиц). Однако так бывает далеко не всегда. Ситуации, при которой нам либо ничего не известно об интересах второй стороны (или сторон), либо эти инте­ресы действительно отсутствуют (второй игрок — «природа»), харак­теризуются как ситуации принятия решений в условиях полной неоп­ределенности (или игры с «природой»). Естественно, что термин «природа» употребляется здесь в некотором символическом смысле как обозначение некой действительности, мотивы проявления которой нам неизвестны.

Как мы отмечали, теория игр — это математическая дисциплина, ис­следующая ситуации, в которых принятие решений зависит от несколь­ких участников. Поэтому тот факт, что в рассматриваемой ситуации вто­рая сторона не имеет каких-либо интересов, несколько меняет подход к выбору оптимальной стратегии. То есть разумно рассмотреть несколько иные критерии, чем, например, принцип минимакса для антагонистической игры (игры с нулевой сум­мой) двух лиц.

Рассмот­рим игру, заданную платежной матрицей первого игрока (матри­ца выигрышей первого игрока размера m x n) — .

1. Максиминный критерий Вальда. Это тот самый критерий, который использовался при рассмотрении игр с нулевой суммой (антагонистических) игр. Он отражает «принцип га­рантированного результата», то есть мы откладываемся на самый неблагоприятный для нас случай и пытаемся выбрать такую стратегию, которая мак­симизировала бы наш выиг­рыш в самой неблагоприятной ситуации. В математтическом виде критерий записывается как

(7.7)

В качестве оптимальной выбирается стратегия, на которой достигает­ся значение max. Иногда этот критерий называют критерием «крайнего пессимизма».

2. Критерий максимакса. Этот критерий является в определенном смысле противоположным по своему смыслу предыдущему критерию. А именно, он предполагает рассмотрение не самого неблагопри­ятного случая (критерий Вальда), а наоборот наиболее благоприятного. Выбирается в качестве оптимальной такая стратегия, для которой этот самый благоприятный случай дает самый большой выигрыш. В математическом виде критерий записывается как

(7.8)

В качестве оптимальной стратегии выбирается стратегия, на которой достигается значение max. Иногда этот критерий называют критерием «крайнего оптимизма».

3. Критерий Гурвица. Этот критерий является своего рода обобщением двух предыдущих критериев. Он представляет из себя целое семейст­во критериев, зависящих от некоторого параметра α, смысл которо­го — в определении баланса между подходами «крайнего пессимиз­ма» и «крайнего оптимизма». В математическом виде критерий записывается как

(7.9)

В качестве оптимальной стратегии выбирается стратегия, на которой дости­гается значение max. Значение параметра выбирается из интервала 0 < α < 1. Критерий Вальда получается как частный случай при α = 0 , а критерий максимакса при α = 1. Выбор конкретного значения параметра определя­ется скорее субъективными факторами, например склонностью к риску ЛПР (лица принимающего решение). При отсутствии каких-либо явных предпочтений вполне логично, например, выбрать значение α = 0,5.

4. Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска). Применение данного критерия предполагает рассмотрение некоторой производной матрицы, смысл которой состоит в том, что для каждой стратегии второго игрока определяется выигрыш в наиболее благоприятном случае (при наиболее правильном выборе стратегии первым игроком для данной ситуации), а далее вычисляются величины «недополучен­ных» выигрышей для всех остальных стратегий первого игрока при рассматриваемой стратегии второго игрока. Элементы матри­цы , которая обычно называется матрицей риска, рассчитывают как . Далее к матрице рисков применяется минимаксный подход, а именно:

(7.10)

В качестве оптимальной стратегии выбирается стратегия, на которой достигается min. Тем самым выбираем такую стратегию, для которой наибольшее значение «недополучения» будет иметь наименьшее значение.

5. Критерий Лапласа. Этот критерий исходит из следующего соображения. Поскольку нам ничего не известно о принципах или вероятностях применения вторым игроком своих стратегий, то мы предполагаем эти вероятности все равными .

Тогда критерий можно записать как

(7.11)

Таким образом, смысл данного критерия — максимизация ожидаемо­го выигрыша в предположении о равновероятности применения вторым игроком своих стратегий.