15.1. Постулаты Бора

15.2. Полная энергия электрона в атоме

15.3. Опыт Франка-Герца.

Обобщая результаты опытов, Резерфорд предложил ядерную (планетарную) модель строения атома. Согласно этой модели, весь положительный заряд и почти вся масса атома (99,4%) сосредоточены в атомном ядре. Размер ядра (~10-15 м) ничтожно мал по сравнению с размером атома (~10-10 м). Вокруг ядра по замкнутым эллиптическим орбитам, которые в первом приближении можно считать круговыми, движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Заряд ядра равен суммарному заряду электронов. Однако предложенная Резерфордом модель строения атома не объяснила спектральных закономерностей и даже оказалась в противоречии с законами классической механики и электродинамики. В самом деле, движение электрона по орбите, как и всякое криволинейное движение, есть движение с ускорением. Согласно законам классической электродинамики, криволинейное движение должно сопровождаться излучением света соответствующей частоты. Следовательно, при движении электрона вокруг ядра атом должен непрерывно излучать энергию. Но уменьшение энергии приводит к уменьшению радиуса орбиты электрона электрон должен двигаться по спирали, приближаясь к ядру. А так как скорость движения электрона остается неизменной, то должна увеличиться и круговая частота его вращения, непрерывно должна расти частота излучения, т.е. спектр излучения должен быть сплошным. Непрерывно приближаясь к ядру, электрон через небольшой промежуток времени должен упасть на ядро, т.е. в модели Резерфорда атом является неустойчивой системой. В действительности же атомы являются весьма устойчивыми системами и имеют линейчатые, а не сплошные спектры излучения. Внутреннее строение атома изучать непосредственно невозможно из-за малости размеров атома, линейные размеры которого приблизительно 10-10 м. Структура атома проявляется только косвенно в явлениях, связанных с его внутренним строением. К числу этих явлений относится излучение. При изучении излучения ученым удалось установить общие закономерности в характере спектров и найти ряд эмпирических законов, которым они подчиняются. Было установлено, что спектральные линии всех элементов можно разбить на ряд серий. Структуры соответствую­щих серий, относящихся к различным химическим элементам, схожи между собой. В пределах одной серии расположение спектральных линий имеет определенный порядок. Наиболее простым атомом является атом водорода. В 1885 г. Бальмеру удалось найти формулу, описывающую распределение спектральных линий видимого спектра водорода, получивших название серии Бальмера:

(15.1)

λ - длина волны; 1/λ - волновое число; n для различных линий серии принимает значение последовательного ряда целых чисел, начиная с трех: n = 3,4,5, R = 1,097 107 м-1 - постоянная

Ридберга. Формула (15.1) определяет волну, соответствующую последовательным линиям серии Бальмера, как функцию целого числа. Исследования излучения в невидимой части спектра показали, что существуют серии, расположенные в инфракрасной области: серия Пашена, Брэккета, Пфунда; в ультрафиолетовой области серия Лаймана. Формулы, определяющие расположение спектральных линий в каждой из этих серий, аналогичны формуле для серии Бальмера. Обычно обобщенную формулу Бальмера для всех линий спектра атома водорода записывают в виде:

(15.2)

где i и n принимают вполне определенные значения для каждой серии и каждой спектральной линии (табл. 15.1).

Таблица 15.1

Значение i	Наименование серии	Значение n
1 2 3 4	Серия Лаймана Серия Бальмера Серия Пашена Серия Брэккета	2,3,4, 3,4,5, 4,5,6, 7,8,9,

Учитывая, что λ = c/ν или 1/λ=ν/с, формулу можно, переписать в виде

ν=R'(1/i²–1/n²) (15.3)

[R' = R c = 3,29·10¹⁵с^-1. (15.4)

Величину R' также называют постоянной Ридберга. При увеличении n длина волны уменьшается, а частота линий увеличивается и достигает предельного значения R/i² при n → ∞. R/i² является границей серии. Аналогичные спектральные линии имеются не только у водорода, а, например, и у щелочных металлов. Расположение спектральных линий определяется формулой, аналогичной формуле Бальмера. Частота, соответствующая какой-либо спектральной линии этой серии, является разностью двух величин, одна из которых зависит от номера i серии и постоянна для всех линий данной серии, а другая определяется номером n в этой серии. Н. Бор ввел идеи квантовой теории в ядерную модель Резерфорда и разработал теорию атома водорода полностью подтвержденную экспе­риментально. В основе боровской теории атома лежат два основных положения (постулата).

1. Электроны могут двигаться в атоме только по определенным орбитам, находясь на которых, они, несмотря на наличие у них ускорения, не излучают. Эти орбиты соответствуют стационарным состояниям электронов в атоме и определяются условием:

m_е v_n r_n = nh/2π (15.5)

r_n - радиус n-й орбиты; v_n - скорость электрона на этой орбите; m_е - масса электрона; m_ev_nr_n - момент импульса электрона на этой орбите; n - целое число (n ≠ 0).

2. Атом излучает или поглощает квант электромагнитной энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния вдругое. Энергия кванта равна разности энергий стационарных состояний электрона до (Е₂) и после (Е₁) перехода:

hν = E₂ -E₁. (15.6)

Рассмотрим простейший атом - атом водорода. Он состоит из ядра, в состав которого входит один протон, и одного электрона, вращающего­ся вокруг ядра по круговой орбите. На электрон со стороны ядра дейст­вует кулоновская сила притяжения, сообщая ему центростремительное ускорение, поэтому ;

(15.7)

е - заряд электрона и протона, ε₀ - электрическая постоянная. Поскольку должен выполняться первый постулат Бора, воспользу­емся выражением (15.5). Определим из него скорость v_n, возведем в квад­рат и подставим в (15.7). Из полученного выражения найдем:

(15.8)

[n=1,2,3, …]. Как следует из соотношения (15.8), радиусы орбит электрона в атоме водорода пропорциональны n². Подставляя в (7.8) значения констант и считая n = 1, получаем значение первого воровского радиуса, который является единицей длины в атомной физике:

r_в = 0,528· 10^-10 м.

По боровской модели ядро атома считается неподвижным, поэтому полная энергия Е атома является суммой кинетической энергии Е_к вращения электрона и потенциальной энергии Е_n взаимодействия электрона с ядром:

(15.9)

Полученное значение Е отрицательно, так как потенциальная энер­гия двух зарядов, находящихся на бесконечно большом расстоянии, равно нулю. При сближении зарядов потенциальная энергия уменьшается.

Наименьшей энергией, как следует из уравнения (15.9), атом обладает при n=1. В этом случае говорят, что атом находится в основном энергетическом состоянии. Состояние с n>1 называют возбужденными. Определим энергию Е_n на любом энергетическом уровне. Для этого подставим (15.8) в выражение (15.9):

(15.10)

Линейчатые спектры

Рис.15.1.

При переходе электрона с одного энергетического уровня на другой, согласно второму постулату Бора, выделяется или поглощается квант энергии

(15.11)

Если электрон переходит, например, со второй орбиты (n₂= 2) на пер­вую (n₁ = 1), то выделяется квант энергии. В обратном случае такой же квант энергии поглощается. Таким образом, максимальную энергию атому водорода нужно сообщить для того, чтобы перевести электрон на орбиту с n = 1 на n → ∞, т.е. оторвать его от ядра атома (ионизовать атом). Из соотношения (15.11) можно определить частоту ν или длину вол­ны λ = с/ν поглощаемого или ис­пускаемого фотона:

(15.12)

(15.13) сериальные формулы. Видно, что выражение (15.12) представляет собой обобщенную формулу Бальмера, а величина Ридберга. Значение R, вычисленное по формуле (15.14), совпадает с экспериментальным значением этой постоянной, что является подтверждением правильности теории Бора для атома водорода.

( 15.14),

является постоянной Ридберга.

Р ис.15.2 . Рис.15.3.

Теория Бора объяснила расхождения при экспериментальных опре­делениях постоянной Ридберга для атома водорода и однократно ионизо­ванного атома гели

Постулат Бора о существовании стационарных состояний в атомах и правило частот нашли свое экспериментальное подтверждение в 1913 году в опытах Д. Франка и Г. Герца. Принципиальная схема экспери­ментальной установки показана на рисунке 30.2. Раскаленный катод К в виде спирали испускал электроны, которые под действием электрического поля двигались к аноду А, соединенному с гальванометром Г. Между катодом и анодом устанавливался сетчатый электрод . Вся эта система помещалась в стеклянный баллон, из которого был откачан воздух и вводились ртутные пары под давлением порядка 15 Па. Между катодом и сеткой создавалось ускоряющее элек­трическое поле с разностью потенциалов , а между сеткой и анодом - слабое замедляющее поле с разностью потенциалов , не превышающей 0,5 В. Электроны могут испытывать соударения с атомами ртути двоякого рода.

Первый тип соударений - упругие столкновения, которые приводят к простому рассеянию электронов без изменения ве­личины скорости электронов. Такие упругие столкновения не могут являться причиной полного отсутствия тока в цепи, который должен возрастать с увеличением ускоряющей разности потенциалов.

Второй тип соударений - неупругие столкновения электронов с атомами ртути - связан с потерей электронами их энергии и передачей этой энергии атомам ртути. Однако, в соответствии с постулатами Бора атом ртути не может принять произвольную энергию, а лишь определенную порцию энергии, равную разности энергий на различных энергети­ческих уровнях. Ближайшим к основному состоянию атома ртути явля­ется возбужденное состояние, имеющее разность энергий с основным состоянием 4,86 эВ. В связи с этим, электроны, ускоряемые полем, будут испытывать лишь упругие столкновения до тех пор, пока не приобретут энергию = 4,86 эВ. Как только энергия электронов достигает 4,86 эВ, начинают преобладать неупругие столкновения с полной передачей энергии электроном атому ртути. Электрон, потерявший свою энергию в результате столкновения с атомом ртути, не может преодолеть задерживающего поля между сеткой и анодом и не достигает анода. Это приводит к резкому падению анодного тока (рис. 30.3). Аналогичное явление будет происходить при = 2 4,86 эВ и вообще говоря, при = 4,86 эВ, что подтверждает справедливость постулатов Бора.