20.1. Вероятность макросостояния.

20.2. Распределение Ферми-Дирака

20.3. Распределение Бозе-Эйнштейна

Рассмотрим систему, состоящую из n невзаимодействующих тождественных фермионов, например, электронов, со спином h/2. Такая система называется идеальным Ферми-газом. В соответствии с принципом Паули в каждой ячейке (в каждом квантовом состоянии) не может быть более двух частиц, причем непременно с антипараллельными спинами. Пусть энергии W_i соответствует g_i ячеек. Для упрощения расчетов можно считать, что в ячейке размером ∆ω/2 может либо находиться одна частица, либо ячейка будет пустой.

Если n_i, число частиц с энергией W_i, получающейся из решения уравнения Шредингера, то энергия системы W и полное число частиц в системе n удовлетворяют условиям:

(20.1)

Найдем число различных способов размещения n_i частиц по g_i ячейкам объемом ∆ω/2. Число различных перестановок всех 0 и 1 будет g_i Число перестановок всех 1 будет n_i!. Число перестановок всех 0 будет (g_i-n_i). Тогда число различных способов указанного размещения:

(20.2)

Общее число различных способов размещения частиц по микросостояниям, соответству­ющее данному макро-состоянию, т.е. термодинамическому состоянию системы, равно про­изведению всех выражений (20.2):

(20.3)

Формула (20.3) определяет термодинамическую вероятность данного макросостояния. Из-за хаотического теплового движения частиц все микро-состояния, соответствую­щие данному макросостоянию, равновероятны, т.е. одинаково часто реализуются в тече­ние достаточно длительного промежутка времени. Поэтому состоянию термодинамического равновесия соответствует максимум Р при выполнении дополнительных условий (20.1). Оказывается, что при достаточно большом числе частиц этот максимум очень острый, т.е. сколько-нибудь значительные отклонения системы от этого равновесного состо­яния весьма маловероятны - возможны лишь малые колебания (флуктуации) около равновесного состояния. Для отыскания условного максимума функции Р удобнее взять функцию In Р и воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа. Вспомогательная функция имеет вид:

(20.4)

где α и β - постоянные коэффициенты - неопределенные множители Лагранжа. Услов­ный максимум функций ln Р (и Р) соответствует безусловному максимуму функции φ. Из формулы (20.3) следует, что

(20.5)

Воспользуемся приближенной формулой Стирлинга, справедливой при достаточно больших b:

ln b!= b ln b - b (20.6)

Тогда

После простых преобразований выражения ln P функция φ, согласно (20.1) принимает вид:

Дифференцируя эту функцию по n₁ и приравнивая производную нулю, получаем:

Введем обозначение μ = -α/β и перейдем от логарифмов к числам (g_i-n_i)/n_i = e^{β (Wi- μ)}, или окончательно

Формула (20.6) называется распределением Ферми-Дирака. Функция распределения Ферми-Дирака (функция заполнения ячеек), или средняя заселенность фермионами состояний с данной энергией W_i равна:

Аналогичная задача возникает для системы из n невзаимодействующих бозонов с энергией W (идеальный Бозе-газ). Спин бозонов равен нулю или целому числу h, и они не подчиняются принципу Паули. В одной ячейке может находиться произвольное число частиц. Требуется найти число отличных друг от друга размещений частиц по ячейкам μ-пространства, а затем найти наиболее вероятное распределение. Учтем, что энергии W_i соответствуют g_i ячеек и n_i частиц, т.е. (g_i+n_i) элементов. Обозначим ячейки через z₁, z₂, ….., z_gi, а частицы через y₁, y₂, ….., y_gi. Выпишем формально последовательность эле­ментов z и у в произвольном порядке:

z₁, y₁, y₂, z₂, y₃, z₃, y₄, y₅, y₆, z₄, z₅, y₇, …… .

Будем считать, что частицы, попавшие между парой элементов z, находятся в той ячей­ке, которая стоит слева от них. В выписанной последовательности частицы y₁ и y₂ нахо­дятся в ячейке z_l, частица у₃ - в ячейке z₂, частицы у₄, у₅ и у₆ - в ячейке z₃, в четвертой ячейке z₄ нет частиц и т.д. Ясно, что первой буквой такого ряда должна быть буква z, а не у. Это можно сделать g_i способами, а оставшиеся (g_i-1+n_i) элементы поcледовательности можно расположить произвольно (g_i+n_l-1)! способами. Полное число различных последовательностей g_i(g_i+n_i-1)!. Однако все последовательности, которые можно получить друг из друга перестанов­кой ячеек или частиц, соответствуют не различным, а одному и тому же состоянию систе­мы. Число таких перестановок g_i n_i. Таким образом, число различных способов размеще­ния n_i частиц по g_i ячейкам в статистике Бозе-Эйнштейна имеет вид

(20.7

Термодинамическая вероятность состояния

(20.8)

Поскольку g_j>> 1, формула (20.8) упрощается:

(20.9^/)

Отыскивать условный максимум будем, как и раньше, для In P:

(20.10)

При получении формулы (20.7) использована формула Стерлинга (20.8). Далее вновь применим метод неопределенных множителей Лагранжа:

Отсюда

где по-прежнему μ = - α/β.

Следовательно,

(20.11)

Формула (20.11) дает распределение Бозе-Эйнштейна.

ЛЕКЦИЯ 21. РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ.

МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ. ЛАЗЕРЫ

21.1. Тормозные рентгеновские лучи

21.2. характеристические рентгеновские лучи

21.3. Молекулярные спектры

21.4. Лазеры

Рентгеновские лучи представляют собой электро­магнитные волны с длиной волны в диапазоне от 0,01 А до 800 А. Для получения рентгеновских лучей служат специальные электровакуумные приборы - рентгеновские трубки. Они состоят из вакуумированного стеклянного или металлического корпуса, в котором на определенном расстоянии друг от друга находятся катод и анод, включенные в цепь высокого напряжения. Катод служит источником электронов, а анод (антикатод) - источником рентгеновских лучей ). Между катодом и анодом создается сильное электрическое поле, разгоняющее электроны до энергий 10⁴-10⁵эв. Для обнаружения невидимых глазу рентгеновских лучей используются различные их действия. Рентгеновские лучи обладают сильным фотохимическим действием, вызывают почернение фотопластинки. Они обладают высокой способностью ионизировать газы, вызывают флуоресцентное свечение в люминофорах. Опыты показали, что существуют два типа рентге­новских лучей. Первый тип рентгеновских лучей называется белым рентгеновским излучением. Оно характеризуется сплошным спектром, подобным спектру белого света, откуда и произошло название этих лучей. Белые рентгеновские лучи возникают при торможении быстрых электронов при их движении в веществе. Поэтому белые рентгеновские лучи называются также тормозными. Этот тип рентгенов­ских лучей испускается самими электронами, движущимися в веществе. Как известно (§ 23.4), всякий ускоренно (или замедленно) движущийся заряд излучает электромагнитные волны с непрерывным спектром. Рентгеновский сплошной спектр ограничен со стороны малых длин волн некоторой наименьшей длиной волны λ_мин, называемой границей сплошного спектра. Очевидно, что максимальная энергия hν_макс рентгеновского кванта, возникшего за счет энергии электрона, не может превышать его энергии К:

К = hν_макс. (21.1)

Переходя в (21.1) от частоты к длине волны, получим: (21.2)

Формула (21.2) прекрасно согласуется с опытными данными; она явилась в свое время одним из наиболее точных методов экспериментального определения постоянной Планка h. Вторым типом рентгеновских лучей являются характеристические рентгеновские лучи. Такое название они получили потому, что эти лучи характеризуют вещество антикатода (анода) рентгеновской трубки. Характеристические рентгеновские лучи имеют линейчатые спектры. Особенность этих спектров состоит в том, что атомы каждого химического элемента, независимо от того, в каких химических соединениях они находятся, имеют свой, вполне определенный линейчатый спектр характеристических рентгеновских лучей. Характеристические рентгеновские лучи возникают при процессах, происходящих в глубинных, застроенных электронных оболочках атомов, которые не изменяются, когда атом вступает в химические соединения. У атомов разных химических элементов в рентгеновских линейчатых спектрах обнаруживаются однотипные группы спектральных линий (серии спектральных линий), отличающиеся только тем, что у атомов более тяжелых элементов сходные серии линий смещены в сторону более коротких волн. В порядке возрастания длин волн серии характеристических рентгеновских лучей называются соответственно К-, L-, М-, N- и т. д. сериями. Эти названия связаны с происхождением линий этих серий. Если, например, под действием первичного жесткого излучения или налетающего на атом электрона из самой внутренней К-оболочки атома удаляется электрон, то на его место может перейти электрон с L-, М-, N- и других оболочек. При этом будут испускаться кванты определенных энергий и, возникать линии рентгеновской К-серии. Для вырывания электрона из К-оболочки, наиболее близкой к ядру, где электроны испытывают наибольшее притяжение к ядру, требуется затрата работы вырывания электрона, называемая границей возбуждения К-серии. Энергия налетающего электрона или первичного налетающего кванта должна быть не меньше величины этой работы. Например, для ртути (Z=80) граница возбуждения К-серии - около 82 кэв. При переходе электрона с L-оболочки на К-оболочку испускается квант с наименьшей энергией, которому соответствует самая длинноволновая К_α-линия К-серии рентгеновского характеристического излучения данного атома. К_β-линия соответствует переходу электрона из М-оболочки на К-оболочку; линия К_γ - переходу из N-оболочки на К-оболочку. Совокупность линий К_α, К_β, К_γ, и др. образует К-серию. Частоты линий в этой серии возрастают при переходе от линии К_α к линиям К_β и К_γ, а интенсивности, наоборот, убывают от линии к линии. Последовательное возрастание частоты линий К_α, К_β, К_γ, и др. связано с увеличением энергии, высвобождающейся при переходе электрона на К-оболочку со все более удаленных оболочек. Убывание интенсивности этих линий объясняется тем, что число переходов электронов с L- на К-оболочку больше, чем с более удаленных оболочек. Вероятность перехода на К-оболочку с более далеких электронных слоев уменьшается. В 1913 г. Мозли установил важную зависимость между длинами волн линий характеристического рентгеновского излучения и атомным номером атомов химических элементов, являющихся источником рентгеновских лучей. Закон Мозли выражается следующей формулой:

(21.3)

где ν* = 1/λ - волновое число линии (§ 35.3), R' - постянная Ридберга в м^-1 (или см^-1) (§ 35.3), α и σ - некоторые постоянные, характеризующие серию линий рентгеновского характеристического спектра и вещество антикатода (анода). В частности, для длин волн линий К_a Мозли получил следующее соотношение:

(21.4)

Из сравнения (21.4) и (21.3) видно, что для этих линий

α = √3/4 и σ = 1.

Генераторы и усилители света в видимой и ближней инфракрасной областях, появившиеся в 1960 г., называются оптическими квантовыми генераторами (ОКГ). Иначе эти устройства называют генераторами когерентного света (ГКС). В настоящее время их сокращенно называют лазерами. Термин «лазер» имеет такое же происхождение, как и термин «мазер». Оба типа устройств работают на основе эффекта вынужденного (индуцированного или стимулированного) излучения. Этот эффект есть результат взаимодействия электромагнитной волны с атомами вещества, через которое проходит волна. Так как поведение атомов описывается квантовыми законами, то в названиях обоих устройств имеется слово «квантовый»: «квантовый генератор», «квантовый усилитель». Индуцированное (стимулированное) излучение может приводить к отрицательному поглощению света. Так как оно лежит в основе ОКГ рассмотрим его несколько подробнее. Активной (усиливающей) называется такая среда, в которой интенсивность проходящего света возрастает. Возможность существования такой среды вытекает из явления вынужденного излучения, рассмотренного Эйнштейном.

Эйнштейн показал, что вынужденное излучение должно быть по своим характеристикам таким, совершенно тождественно с тем излучением, которое, проходя через вещество, вызывает индуцированное излучение. Новый фотон, образовавшийся в результате того, что атом (или молекула) вещества переходит с высшего энергетического состояния на низшее под действием света, имеет ту же энергию и летит строго в том же направлении, что и фотон, стимулировавший появление первого. На волновом языке эффект вынужденного излучения сводится к увеличению амплитуды проходящей волны без изменения ее частоты, направления распространения, фазы и поляризации. Другими словами, вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим излучением. Новый фотон, возникший в результате индуцированного излучения, усиливает свет, проходящий через среду. Однако следует иметь в виду, что кроме индуцированного излучения происхо­дит процесс поглощения света. В результате поглощения фотона атомом, находящимся на энергетическом уровне W₁, фотон исчезнет и атом перейдет на энергетический уровень W₂, (рис. 21.1. а). При этом уменьшается мощность света, проходящего через среду. Таким образом, имеются два конкурирующих друг с другом процесса. В результате актов вынужденного излучения фотон с энергией hν «сваливает» электрон с уровня W₂ на уровень W₁ и вместо одного фотона дальше летят два фотона (рис. 21.1, б).

Рис. 21.1.(а) Рис. 21.1 (б)

Акты же поглощения уменьшают число фотонов, проходящих сквозь среду. Усиливающее действие среды определяется тем, какой из двух процессов преобладает. Если преобладают акты поглощения фотонов, то среда будет не усиливающей, а ослабляющей свет, который че­рез нее проходит. Если главную роль играют акты вынужденного излучения, то среда усиливает свет.

В состоянии термодинамического равновесия системы число атомов N₂ на возбужденном уровне W₂ меньше числа атомов N₁ на более низком уровне W₁, т.е. N₂/N₁ < I. Поэтому в состоянии равновесия α' > 0. Это значит, что число актов обычного (положительного) поглощения превышает число переходов, сопровождающихся отрицательным поглощением, т.е. индуцированным излучением. Однако из (20.2) следует, что могут су­ществовать такие среды, в которых натуральный показатель поглощения α' будет отрицательным (α'<0). Для получения среды с отрицательным поглощением необходимо создать неравновесное состояние системы, при котором число атомов N₂ на возбужденном уровне было бы больше, чем число атомов N₁ в нормальном состоянии, т.е. N₂/N₁ > 1.

Такие состояния принято называть инверсными (обращенными) состояниями. Слово «инверсия» означает переворачивание (от лат. inversio). Смысл термина состоит в том, что в таком неравновесном состоянии имеется «обращенное» распределение атомов пo энергетическим состояниям - на верхнем уровне концентрация атомов больше, чем на нижнем.

Процесс перевода среды в инверсное состояние называется накачкой усиливающей среды. Наиболее естественной представляется оптическая накачка среды, при которой атомы переводятся с нижнего уровня W_l на верхний возбужденный уровень W₂ облучением светом такой частоты ν, что hν = W₂ - W₁. Если усиливающая среда является газообразной, то перевод атомов на верхний энергетический уровень возможен при неупругих столкновениях атомов с электронами в газовом разряде (электрическая накачка). Однако такие методы перевода атомов с нижнего уровня на верхний не приводят к инверсной заселенности атомов по уровням. Вследствие спонтанного излучения атомов, находящихся на возбужденных уровнях весьма малое время, а также в результате столкновения атомов с электронами, при которых возбужденные атомы отдают электронам свою энергию и переходят на нижние уровни, заселенность атомами верхних уровней будет меньше, чем нижних. Этот общий результат показывает, что использование двух ypoвней Wi и W₂ неэффективно для получения инверсной заселенности.

ЛЕКЦИЯ 22. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА