Глава 13. Твердое тело

§ 13.1. Кинематика твердого тела

Задача 1. Передача вращательного движения между колесами I и II осуществляется с помощью внутренней фрикционной связи между ними. Колесо I имеет диаметр D_I = 0,36 м и вращается с частотой n_I = 2 c^-1. Каким должен быть диаметр D_II колеса II, чтобы оно вращалось с частотой n_II = 6 c^-1? (Фрикционной называется передача, основанная на использовании силы трения).

Дано: D_I = 0,36 м, n_I = 2 c^-1, n_II = 6 c^-1.

D_II – ?

Решение.

Очевидно, что все точки обода колеса I имеют в данный момент времени одинаковую по величине скорость V_I (направления скоростей этих точек, конечно, разные). То же самое можно сказать и про точки обода колеса II: все они имеют в тот же момент времени одинаковую по величине скорость V_II. Более того, нетрудно сообразить, что при отсутствии проскальзывания V_I = V_II. Действительно, точка соприкосновения колес одновременно принадлежит как колесу I, так и колесу II, значит, величина скорости V этой точки такая же, как величины скоростей других точек обода колеса I и точек обода колеса II, откуда и следует справедливость высказанного утверждения.

Величины же угловых скоростей точек ободов колес I и II разные. В самом деле, величина угловой скорости ω_I какой-то точки обода первого колеса ω_I = , а величина угловой скорости ω_II какой-то точки обода второго колеса ω_II = .

Угловые скорости любых точек (кроме неподвижной центральной точки) первого колеса одни и те же (за единицу времени они поворачиваются на один и тот же угол), следовательно, под ω_I мы можем понимать величину угловой скорости первого колеса как целого. То же относится и ко второму колесу. Найдем отношение величины угловой скорости колеса I к величине угловой скорости колеса II.

= , откуда R_II = R_I или D_II = D_I .

Поскольку ω_I = 2π n_I, а ω_II = 2π n_II, то D_II = D_I .

Подставив числа, получим D_II = 0,12 м.

Ответ: D_II = 0,12 м.

Задача 2. Величина угловой скорости шкива А равна ω₀. При помощи ременной передачи вращение без проскальзывания передается шкиву 1, на ось которого жестко насажено зубчатое колесо 2, сцепленное с зубчатым колесом 3. Определить величину V_M скорости точки М середины радиуса колеса 3. Радиусы колес R₀, R₁, R₂ и R₃ считать заданными.

Дано: ω₀, R₀, R_1, R₂, R₃.

V_M – ?

Решение.

Величины линейных скоростей точек касания ремня со шкивами А и 1 одинаковы. Для шкива А модуль скорости точки его касания с ремнем равен

ω₀ R₀. Для шкива 1 модуль скорости точки его касания с ремнем равен ω₁ R₁, где ω₁ – величина угловой скорости колеса 1. Таким образом, ω₀ R₀ = ω₁ R₁, откуда

ω₁ = ω₀. Величина угловой скорости ω₂ колеса 2 такая же, как и колеса 1, поскольку колесо 2 жестко насажено на ось колеса 1, то есть

ω₂ = ω₁ = ω₀. Модуль линейной скорости точки касания колес 2 и 3 один и тот же, так как эта точка касания одновременно принадлежит и колесу 2 и колесу 3. Этот модуль для колеса 2 равен ω₂ R₂, следовательно, и для колеса 3 он равен

ω₂ R₂. С другой стороны, его можно выразить через величину угловой скорости ω₃ колеса 3 и его радиус R₃: этот модуль равен ω₃ R₃. Таким образом, ω₂ R₂ = ω₃ R₃, откуда ω₃ = ω₂. Подставив сюда выражение для ω₂, найденное выше, получим:

ω₃ = ω₀. Теперь легко можно найти модуль линейной скорости точки М.

V_M = 0,5 R₃ ω₃ = ω₀.

Ответ: V_M = ω₀.

Задача 3. Величина угловой скорости вала I цилиндрической фрикционной передачи ω_I = 120 c^-1. Радиусы цилиндров: R₁ = 0,2 м, R₂ = 0,4 м, R₃ = 0,2 м и R₄ = 0,4 м (см. рисунок). Найти величину ω_III угловой скорости вала III.

Дано: ω_I = 120 c^-1, R₁ = 0,2 м, R₂ = 0,4 м, R₃ = 0,2 м, R₄ = 0,4 м.

ω_III – ?

Решение.

Модули скоростей точек соприкосновения поверхностей цилиндров 1 и 2 одинаковы для обоих цилиндров, так как являются для них общими. Для цилиндра 1 эти модули равны ω₁ R₁, а для цилиндра 2 они равны ω₂ R₂, где ω₁ и ω₂ – величины угловых скоростей цилиндров 1 и 2 соответственно. Таким образом, ω₁ R₁ = ω₂ R₂. Величина ω₁ = ω_I (цилиндр 1 и вал I жестко связаны). Тогда

ω₂ = ω_I. С такой же угловой скоростью вращаются и вал II и цилиндр 3, то есть ω₃ = ω_I.

Модули скоростей точек соприкосновения поверхностей цилиндров 3 и 4 одинаковы для обоих цилиндров, так как являются для них общими. Для цилиндра 3 эти модули равны ω₃ R₃, а для цилиндра 4 они равны ω₄ R₄, где ω₃ и ω₄ – величины угловых скоростей цилиндров 3 и 4 соответственно. Таким образом, ω₃ R₃ = ω₄ R₄, откуда ω₄ = ω₃. Подставив сюда полученное выше выражение для ω₃, получим:

ω₄ = ω_I. Поскольку ω₄ = ω_III (цилиндр 4 и вал III жестко связаны), то

ω_III = ω_I. Подставив числа, получим ω_III = 30 c^-1.

Ответ: ω_III = 30 c^-1.

Задача 4. Плоский однородный диск радиуса R катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности, совершая плоскопараллельное движение со скоростью цента масс V_O. Найти скорости концов вертикального и горизонтального диаметров диска в неподвижной системе отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью.

Дано: R, V_O.

V_N – ? V_M – ? V_L – ? V_P – ?

Решение.

Полюс в точке О

В общем-то, эта задача простая, и я нигде не видел ее подробного решения и анализа. Вместе с тем, она представляет большой интерес с точки зрения понимания сущности плоскопараллельного движения. Именно поэтому решение и анализ задачи будут рассмотрены очень подробно.

Начнем с того, что плоскопараллельное движение является сложным, и мы его представляем как совокупность вращения вокруг оси, проходящей через произвольно выбранную точку, которая называется полюсом, и поступательного движения вместе с системой координат, связанной с полюсом. При этом важно знать, что угловая скорость вращения вокруг выбранной оси (мгновенной оси вращения) не зависит от выбора полюса. Скорость же поступательного движения зависит от выбора полюса. Выбор полюса – дело произвольное, где хотим, там и выбираем, результат решения от этого не изменится. Вот мы это и покажем в решении. Для этого последовательно будем выбирать разные полюсы в точках О, N, M, L, P. Соответствующие мгновенные оси вращения будут проходить через выбранные полюсы перпендикулярно плоскости рисунка.

Известно, что скорость V любой точки плоскопараллельно движущегося тела равна

V = V_П + V_В, где V_П – скорость поступательного движения точки, V_В – скорость ее вращательного движения вокруг выбранной мгновенной оси вращения.

1. Полюс в точке О.

Обозначим скорости точек N, M, L, P при таком выборе полюса соответственно как , , и (см. рис. сверху).

Находим .

= V_NПо + V_NВо, где V_NПо – скорость точки N при ее поступательном движении с учетом выбранного полюса О, V_NВо, – скорость точки N при ее вращательном движении с учетом выбранного полюса О. Разберемся с этими скоростями. Скорость поступательного движения точки N, то есть V_NПо равна V_O, заданной в условии задачи. Почему? Да потому, что V_O является скоростью поступательного движения точки О (вращательная-то составляющая движения точки О отсутствует, поскольку в этой точке мы выбрали полюс), а скорости поступательного движения всех точек тела одинаковы (при одном и том же полюсе). Итак, V_NПо = V_O. Тогда

= V_O + V_NВо.

Теперь рассмотрим вращательную составляющую движения точки N. Поскольку V_NВо, = ω ON (ON – радиус-вектор точки N), то, зная направление вращения (против хода часовой стрелки) и направление ON, находим по правилам векторного произведения направление V_NВо. Модуль этой скорости

V_NВо = ω ON Sin 90⁰. Так как ON = R, а Sin 90⁰ = 1, то V_NВо = ω R. Модуль угловой скорости легко найти, если на время перейти к другому полюсу, а именно к полюсу в точке P (далее мы вновь вернемся к решению задачи с выбором полюса в точке О). Так вот, в случае, если в качестве полюса выбрана точка Р, то скорость V_O уже не будет скоростью поступательного движения тела (напомню, что скорость поступательного движения тела изменяется при изменении выбора полюса), а будет линейной скоростью вращения точки О вокруг полюса Р. Но тогда ω = . Угловая же скорость одинакова для любой точки тела вне зависимости от выбранного полюса. Следовательно, V_NВо = R = V_O, то есть модуль линейной скорости вращения точки N вокруг оси, проходящей через полюс О, равен модулю скорости поступательного движения. Возвращаемся к полюсу О.

Для нахождения модуля V_N можно поступить по-разному. Можно традиционно спроектировать векторное уравнение = V_O + V_NВо на координатные оси, найти проекции и вычислить модуль скорости как корень квадратный из суммы квадратов проекций. Можно и проще: из прямоугольного треугольника, где катетами являются модули V_NПо = V_O и V_NВо = V_O, а гипотенузой – модуль сразу по теореме Пифагора находим V_N.

= = V_O.

Для определения направления вычислим величину угла α, например, по его тангенсу. Из рисунка видно, что

tg α = = = 1. Таким образом, α = 45⁰.

Находим .

= V_МПо + V_МВо, где V_МПо – скорость точки М при ее поступательном движении с учетом выбранного полюса О, V_МВо, – скорость точки М при ее вращательном движении с учетом выбранного полюса О. V_МПо одинакова для всех точек тела при данном полюсе, то есть V_МПо = V_O и V_МПо = V_O. Направлена она так же, как и ось Х. V_МВо = ω ОМ (OМ – радиус-вектор точки М). Зная направление вращения (против хода часовой стрелки) и направление OМ, находим по правилам векторного произведения направление V_МВо. Модуль этой скорости V_МВо = ω OМ Sin 90⁰. Так как OМ = R, а Sin 90⁰ = 1, то V_МВо = ω R. Модуль угловой скорости мы уже находили, ω = . Тогда V_МВо = ω R = V_O. Поскольку V_МВо и V_МПо направлены в одну сторону, и их модули равны, то сразу без лишних и очевидных рассуждений пишем:

= 2 V_О. Направление определяем по углу β между осью Х и . Так же очевидно, что β = 0, то есть направлена вдоль оси Х в ту же сторону, что и ось.

Находим .

= V_LПо + V_LВо, где V_LПо – скорость точки L при ее поступательном движении с учетом выбранного полюса О, V_LВо, – скорость точки L при ее вращательном движении с учетом выбранного полюса О. Очевидно, что V_LПо = V_O и V_LПо = V_O.

V_LВо = ω ОL (OL – радиус-вектор точки L). Зная направление вращения (против хода часовой стрелки) и направление OL, находим по правилам векторного произведения направление V_LВо. Модуль этой скорости

V_LВо = ω OL Sin 90⁰. Так как OL = R, а Sin 90⁰ = 1, то V_LВо = ω R. Поскольку

ω = , то V_LВо = V_O.

Из прямоугольного треугольника, где катетами являются модули V_LПо = V_O и

V_LВо = V_O, а гипотенузой – модуль сразу по теореме Пифагора находим V_L.

= = V_O.

Для определения направления вычислим величину угла γ, например, по его тангенсу. Из рисунка видно, что

tg γ = = = 1. Таким образом, γ = 45⁰.

Находим .

= V_PПо + V_PВо, где V_PПо – скорость точки P при ее поступательном движении с учетом выбранного полюса О, V_PВо, – скорость точки P при ее вращательном движении с учетом выбранного полюса О. Очевидно, что V_PПо = V_O и V_PПо = V_O.

V_PВо = ω ОP (OP – радиус-вектор точки P). Зная направление вращения (против хода часовой стрелки) и направление OP, находим по правилам векторного произведения направление V_PВо (см. рисунок). Как видим, вектор V_PВо направлен в сторону, противоположную направлению оси Х. Модуль этой скорости

V_PВо = ω OP Sin 90⁰. Так как OP = R, а Sin 90⁰ = 1, то V_PВо = ω R. Поскольку

ω = , то V_PВо = V_O. Итак, получаем, что V_PВо = – V_O. Тогда = V_O – V_O = 0. Вообще-то, этого и следовало ожидать. Действительно, точка Р диска и точка поверхности, по которой катится диск, это – одна и та же точка в данный момент времени. Но поверхность неподвижна, значит, и неподвижна данная точка, отсюда = 0.

Итак, мы нашли величины и направления скоростей точек концов вертикального и горизонтального диаметров диска. Обращаю ваше внимание на то, что эти скорости найдены по отношению к неподвижной системе отсчета. Стало быть, они должны остаться такими же и при другом выборе полюса. Действительно, не могут же они зависеть от нашего каприза (захотели – выбрали один полюс, захотели – другой). К сожалению (а, скорее, к счастью) процессы, происходящие в Природе, не зависят от наших желаний. Убедимся в этом утверждении, выбрав в качестве полюса другую точку.

2. Полюс в точке N. Обозначим скорости точек N, M, L, P при таком выборе полюса соответственно как , , и .

Находим .

= + , где – скорость точки N при ее поступательном движении с учетом выбранного полюса N, , – скорость точки N при ее вращательном движении с учетом выбранного полюса N. Очень внимательно разберемся с этими скоростями. Со скоростью все понятно: точка N не вращается вокруг оси, проходящей через нее же, значит, и ее линейная скорость вращения равна нулю, то есть = 0. А что можно сказать о скорости ее поступательного движения? Смею утверждать, что она равна скорости этой точки при предыдущем рассмотрении ее движения, когда в качестве полюса была взята точка О, то есть

= . Почему? Дело в том, что, как я уже говорил, скорость точки N, определенная в неподвижной системе отсчета (тут, кстати, эта скорость является абсолютной скоростью), одна и та же вне зависимости от выбора полюса. Значит, она будет такой же, как и при выборе полюса в точке О, то есть = . Но, поскольку = + , а = 0, то = . Вот и получается, что

= . Таким образом, точка N при выборе полюса в ней же обладает только поступательной скоростью, величина которой равна величине , то есть

= = V_O. Естественно, и направление такое же, как и у .

Находим .

= + , где – скорость точки М при ее поступательном движении с учетом выбранного полюса N, , – скорость точки М при ее вращательном движении с учетом выбранного полюса N.

Полюс в точке N

Модуль поступательной составляющей скорости точки М при данном выборе полюса нам известен, = V_O. И направление тоже известно, вектор направлен так же, как и вектор . Вектор скорости вращательной составляющей = ω NM (NM – радиус-вектор точки M). Зная направление вращения (против хода часовой стрелки) и направление NM, находим по правилам векторного произведения направление . Модуль этой скорости

= ω NM Sin 90⁰. Так как NM = R (по теореме Пифагора из треугольника NMO), а Sin 90⁰ = 1, то = ω R. Поскольку ω = , то = V_O.

Зная модули составляющих скорости легко найти по теореме Пифагора модуль из прямоугольного треугольника, сторонами которого являются , и .

Учитывая, что = V_O, и = V_O,

= 2V_O. Направление можно найти по косинусу угла β, который составляет этот вектор с осью Х. Cos β = , где – проекция вектора на ось Х. Так как проекция вектора равна сумме проекций его составляющих, то = + . В свою очередь = Cos 45⁰ и

= Cos 45⁰. Поскольку = V_O и = V_O, а Cos 45⁰ = , то после простых преобразований получим = 2 V_O. Тогда Cos β = 1, и β = 0.

Находим .

= + , где – скорость точки L при ее поступательном движении с учетом выбранного полюса N, , – скорость точки L при ее вращательном движении с учетом выбранного полюса N.

Модуль поступательной составляющей скорости точки L при данном выборе полюса нам известен, = V_O. И направление тоже известно, вектор направлен так же, как и вектор . Вектор скорости вращательной составляющей = ω NL (NL – радиус-вектор точки L). Зная направление вращения (против хода часовой стрелки) и направление NL, находим по правилам векторного произведения направление . Модуль этой скорости

= ω NL Sin 90⁰. Так как NL = 2 R, то = 2 ω R. Поскольку ω = , то

= 2 V_O.

Модуль можно найти традиционным способом через проекции вектора :

= . Находить эти проекции я не буду. Вы уже должны сами это уметь делать, как говорится «с закрытыми глазами». Спроектируйте выражение = + на координатные оси и т.д. В результате получите

= V_O. Угол γ между осью Х и вектором опять же находим по косинусу. Поскольку Cos γ = , то, подставив сюда найденные вами значения и , вы должны получить γ = 45⁰.

Находим .

= + , где – скорость точки Р при ее поступательном движении с учетом выбранного полюса N, , – скорость точки Р при ее вращательном движении с учетом выбранного полюса N.

Модуль поступательной составляющей скорости точки Р при данном выборе полюса нам известен, = V_O. И направление тоже известно, вектор направлен так же, как и вектор . Вектор скорости вращательной составляющей = ω NР (NР – радиус-вектор точки Р). Зная направление вращения (против хода часовой стрелки) и направление NР, находим по правилам векторного произведения направление . Модуль этой скорости

= ω NР Sin 90⁰. Так как NР = R (по теореме Пифагора из треугольника NРO), а Sin 90⁰ = 1, то = ω R. Поскольку ω = , то = V_O.

Воспользовавшись знаниями элементарной геометрии, легко показать, что векторы и лежат на одной прямой, так оба они перпендикулярны NР, приложены к одной и той же точке и лежат в одной плоскости (покажите это сами). В то же время эти векторы направлены в противоположные стороны, поэтому их сумма равна нулю. Следовательно, = + = 0.

Итак, взяв уже две точки (O и N) в качестве полюсов, мы убедились, что искомые скорости не зависят от того, каким полюсом мы пользовались. Чтобы лишний (а, может, и не лишний) раз убедиться в том, что при любом выборе полюса получатся те же результаты, можно еще выбрать в качестве полюсов точки M, L, и P, что, как вы помните, я и собирался сделать. Но чувствую, что вы горите желанием сделать это самостоятельно. Мне трудно что-либо возразить против такого похвального рвения. Если вы внимательно следили за моими рассуждениями, то у вас все получится.

Задача 5. Поезд движется на прямолинейном участке пути со скоростью, модуль которой V_О = 20 м/с. Радиус колеса R = 0,5 м. Найти: 1) величины скоростей концов вертикального и горизонтального диаметров колеса; 2) величину скорости точки К на ободе колеса, определяемой углом α = 20⁰ (см. рисунок).

Дано: V_О = 20 м/с, R = 0,5 м, α = 20⁰.

V_M – ? V_N – ? V_L – ? V_К – ?

Решение.

Задача мало чем отличается от предыдущей за исключением того, что здесь еще необходимо определить величину скорости точки К. В решении предыдущей задачи было показано, что для нахождения неизвестных величин можно брать любую точку в качестве полюса, результат решения будет всегда одним и тем же. Другое дело, что сложность решения или, наоборот, его простота могут зависеть от выбора полюса. Часто бывает удобно выбирать в качестве полюса точку мгновенного центра скоростей. Нередко решение задачи в этом случае оказывается проще, чем в случае другого выбора полюса. В данном случае мы так и поступим: выберем полюс в точке Р, тем более, что в предыдущей задаче я от этого устранился под благовидным, как мне показалось, предлогом. Что ж, видимо, для меня настало время «собирать камни».

Итак, выбираем полюс в точке касания колеса с рельсом (см. рисунок).

В момент соприкосновения точки обода колеса с рельсом скорость этой точки равна нулю. Действительно, в этот момент скорость точки рельса, совпадающей с точкой обода колеса, равна нулю, поскольку рельс неподвижен. Значит, равна нулю и скорость данной точки колеса (конечно, при отсутствии проскальзывания). Тогда движение колеса представляет собой чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через мгновенный центр Р перпендикулярно к плоскости колеса. Полюс Р является мгновенным центром скоростей точек колеса в рассматриваемый момент. В этом случае скорость V_O можно рассматривать как линейную скорость вращения вокруг указанной мгновенной оси. Модуль этой скорости V_O = ОР ω, где ω – величина угловой скорости колеса. Из последнего выражения ω = .

Поскольку ОР = R, то ω = . Подставив числа, получим ω = 40 с^-1.

Скорости V_M, V_N, и V_L точек M, N и L соответственно перпендикулярны к прямым, соединяющим эти точки с мгновенным центром Р скоростей (см. рисунок). Находим модули этих скоростей.

V_M = ω РМ. Так как РМ = 2R, то V_M = 2ωR,

V_N = ω РN. Так как РN = R, то V_N = ωR,

V_L = ω РL. Так как РL = R, то V_L = ωR.

С учетом числовых значений V_M = 40 , V_N = 28 , V_L = 28 .

Скорость V_К перпендикулярна к РК, поэтому V_К = ω РК. Величину РК легко найти из треугольника РОК, учитывая, что РО = ОК = R, а угол РОК, как нетрудно убедиться, равен 160⁰. Воспользовавшись теоремой косинусов, получим:

РК² = 2R² – R²Cos 160⁰. Учитывая, что R = 0,5 м, Cos 160⁰ = - 0,94, найдем

РК = 0,98 м. Тогда V_К = 40∙0,98 = 39 .

Ответ: V_M = 40 , V_N = 28 , V_L = 28 , V_К = 39 .

Задача 6. Однородный стержень АВ длиной 2L свободно падает, вращаясь в вертикальной плоскости вокруг своего центра тяжести С с постоянной угловой скоростью, величина которой равна ω. В начальный момент стержень находился в горизонтальном положении. Найти величины скоростей V_A и V_B концов стержня А и В соответственно для любого момента времени t его падения.

Дано: АВ = 2L, ω, t.

V_A – ? V_B – ?

Решение.

Движение стержня является плоскопараллельным, поэтому скорость V любой его точки определяется формулой V = V_п + V_вр, где

V_п – скорость поступательного движения тела в системе координат, связанной с выбранным полюсом, V_вр, – скорость вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через полюс.

Выберем полюс в центре тяжести стержня. Его ось вращения проходит через точку С перпендикулярно плоскости рисунка (см. рисунок)

П ри таком выборе полюса у точки С будет отсутствовать вращательная составляющая, поэтому скорость V_С, с которой эта точка движется, будет являться ее поступательной скорость. Поскольку скорость поступательного движения тела одна и та же для всех его точек, то такой же скоростью поступательного движения будут обладать точки А и В.

Обозначим линейную скорость вращения точки А вокруг выбранной оси как V_AC, линейную скорость вращения точки В – как V_ВC. Тогда написанное выше векторное уравнение для этих точек примет вид:

V_А = V_С + V_АС (для точки А),

V_В = V_С + V_ВС (для точки В).

Модули V_А и V_В легко найти по теореме косинусов из соответствующих параллелограммов (на рисунке они выделены).

V_А = ,

V_B = .

Из кинематики известно, что V_C = gt (g – ускорение свободного падения),

V_AC = ω AC = ω L, φ = ωt, V_BC = ω BC = ω L.

Учтем также, что Cos (180⁰ – φ) = – Cos φ. Тогда

V_А = ,

V_B = .

Ответ: V_А = ,

V_B = .