§ 12.6. Гравитация

Задача 1. Как уменьшается вес тела (в относительных единицах и в процентах), если его перенести с полюса Земли на экватор? Землю считать однородным шаром, радиус которого R = 6,38·106 м, а масса М = 5,98·1024 кг.

Дано: R = 6,38·10⁶ м, М = 5,98·10²⁴ кг.

k − ?

Решение.

Вначале вспомним, что принято называть весом тела. Знать общепринятое определение веса нужно обязательно, иначе можно запутаться в решении. Тем более, что иногда в литературе некоторые авторы дают неправильное определение этому понятию (точнее, не так, как это принято большинством). Итак,

Весом тела называют силу, с которой тело действует на горизонтальную опору или на вертикальный подвес.

При этом имеется в виду, что тело находится в состоянии покоя относительно опоры или подвеса (например, не прыгает по столу, если он является горизонтальной опорой, не колеблется на пружине, если висит на ней).

Обратите особое внимание на то, что эта сила (то есть вес тела), согласно определению, приложена к связи (ведь опора и подвес являются связями), а не к самому телу. Запомните, вес тела к нему не приложен, как думают многие!

По третьему закону Ньютона вес и сила реакции равны по величине и направлены в противоположные стороны (см. рисунок 1).

Рис. 1

Рассмотрим силы, действующие на тело, когда оно находится на какой-то произвольной широте φ и спокойно лежит на неподвижной горизонтальной поверхности. Земля (а вместе с ней и тело) вращается вокруг своей оси, то есть тело находится в неинерциальной системе отсчета (имеет центростремительное ускорение с точки зрения наблюдателя, который находится в инерциальной системе).

Как Вы знаете, мы можем решать эту задачу, наблюдая за телом, либо находясь вне Земли в условно неподвижной инерциальной системе отсчета (например, связанной с Солнцем), либо, находясь рядом с телом, то есть в неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

С точки зрения конечного результата, разницы нет. Но выбрать систему все-таки надо. Пусть это будет неинерциальная система с «естественной» системой координат.

Рис. 2

Заметьте, в предыдущих задачах систему отсчета, связанную с Землей, мы считали инерциальной. Вращение Земли практически не влияло на те процессы, которые рассматривались, поэтому мы и не учитывали это вращение. А вот в этой задаче пренебречь вращением Земли нельзя, поскольку оно оказывает влияние на вес тела. Следовательно, в данном случае система отсчета, связанная с самой Землей – это неинерциальная система.

На тело действуют: F_гр − гравитационная сила притяжения со стороны Земли, F_и − фиктивная сила инерции, N – сила нормальной реакции со стороны плоскости (см. рисунок 2).

Запишем второй закон Ньютона для тела, учитывая, что в выбранной системе отсчета ускорение отсутствует.

F_гр + F_и + N = 0.

Теперь обратимся к третьему закону Ньютона. Если на тело со стороны плоскости действует сила N, то и на плоскость со стороны тела действует такая же по величине сила, но направленная в противоположную сторону. А эта сила по определению и есть вес. Часто его обозначают буквой Р. Таким образом, N = − Р. Следовательно, мы можем записать:

F_гр + F_и − P = 0 или

P = F_гр + F_и (1)

Сумму двух сил, F_гр и F_и принято называть силой тяжести. Ее обычно обозначают буквой G, то есть , F_гр + F_и = G.

Тогда

P = G. (2)

Введенная таким образом сила тяжести сразу охватывает все «каналы» воздействия Земли на тело: и гравитационное, и инерциальное. Под действием силы тяжести тело приобретает ускорение. Это – ускорение силы тяжести, или ускорение свободного падения g. Тогда в соответствии со вторы законом Ньютона можно написать: G = mg (m – масса тела). Следовательно,

Р = mg.

Но, вернемся к уравнению (1) и «поработаем» с ним, рассматривая тело в одном случае на полюсе, а в другом – на экваторе.

На полюсе (см. рисунок 3).

Рис. 3

Спроектируем уравнение (1) на нормаль:

P_n = F_{гр n} + F_{и n}. Вес тела направлен к центру Земли, значит, P_n = Р. Кроме того,

F_{гр n} = F_гр, F_{и n} = 0 (тело на полюсе не вращается, следовательно, сила инерции отсутствует). Тогда P = F_гр = γ .

Здесь, γ – гравитационная постоянная .

Таким образом, на полюсе вес тела равен гравитационной силе. Вес и гравитационная сила совпадают как по модулю, так и по направлению.

На экваторе (см. рисунок 4).

Рис. 4

Здесь тело, как и все точки экватора, вращается с линейной скоростью, величина которой v = Rω, где ω – величина угловой скорости Земли. Поскольку ω = (Т – период обращения Земли вокруг своей оси. Т = 24 ч = 8,64·10⁴ с), то v = . Тогда величина силы инерции F_и = m = m .

Вновь проектируем (1) на нормаль и находим проекции.

P_n = F_{гр n} + F_{и n}.

P_n = Р, F_{гр n} = F_гр = γ , F_{и n} = − F_и = − m . Тогда P = γ − m .

Обозначим вес тела на полюсе как Р_пол, а вес тела на экваторе − как Р_экв.

Итак, P_пол = γ , P_экв = γ − m .

Найдем, насколько вес тела на полюсе больше веса тела на экваторе. Разницу в величине веса обозначим ∆Р.

∆Р = P_пол − P_экв = m .

Искомая величина k, очевидно, равна k = или k = .

Подставив числа, получим k = 3,4·10⁻³. В процентах k_% = 0,34 %.

Ответ: k = 3,4·10⁻³ или k_% = 0,34 %.

Задача 2. Вычислить гравитационную постоянную γ, если радиус Земли R = 6,38·10⁶ м, средняя плотность Земли ρ = 5,52·10³ кг/м³. Величина ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли g = 9,81 м/с². Вращение Земли не учитывать.

Дано: R = 6,38·10⁶ м, ρ = 5,52·10³ кг/м³, g = 9,81 м/с².

γ − ?

Решение.

Поскольку вращение Земли не учитывается, то (см. решение предыдущей задачи):

F_гр = mg или γ = mg. Отсюда

γ = . (1)

Поскольку M = π R³ ρ, то γ = .

Подставив числа, получим: γ = 6,65·10⁻¹¹ .

Примечание: из формулы (1) следует, что g = γ . Этим выражением мы будем пользоваться при решении некоторых задач в будущем.

Ответ: γ = 6,65·10⁻¹¹ .

Задача 3. Два стальных шара с диаметрами d₁ = 0,4 м и d₂ = 0,6 м находятся в соприкосновении друг с другом. Найти гравитационную потенциальную энергию U этой системы. Плотность стали ρ = 7,8·10³ кг/м³.

Дано: d₁ = 0,4 м, d₂ = 0,6 м, ρ = 7,8·10³ кг/м³.

U − ?

Решение.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия шаров определяется суммарной работой сил притяжения, действующих на каждый шар со стороны другого шара, при удалении шаров друг от друга на такое расстояние, где эти силы практически обращаются в нуль. Таким образом, задача сводится к вычислению этой суммарной работы.

Легко показать, что при нахождении энергии взаимодействия, можно считать, что один из шаров неподвижен, и вычислить работу силы, действующей на удаляющийся другой шар со стороны неподвижного. Найденная при этом работа будет равна сумме указанных выше работ, если движутся оба шара, удаляясь друг от друга (покажите это самостоятельно).

Итак, пусть первый шар с диаметром d₁ неподвижен (каким-то образом зафиксирован), а второй шар с диаметром d₂ удаляется от первого на расстояние, равное бесконечности, ибо только на таком расстоянии второй шар перестанет «чувствовать» гравитационное поле первого шара, а, значит, и силу притяжения. Конечно, для того, чтобы удалить один шар от другого необходимо воздействие какой-то внешней силы, ведь гравитационная сила, действующая между шарами, может только притянуть их друг к другу. И, конечно, эта внешняя сила будет совершать работу по разъединению шаров. Но нас эта «кухня» интересовать не должна, наша задача заключается в нахождении работы именно гравитационной силы при таком разъединении, а не какой-то другой.

Сила, действующая на удаляющийся шар со стороны неподвижного, является переменной, поскольку она зависит от расстояния между шарами, а оно все время увеличивается. Однако, надеюсь, этот факт Вас уже не очень-то смущает: Вы уже знаете, как следует поступать в таком случае.

Итак, разбиваем все перемещение второго шара на элементарные участки dr, считаем, что в пределах каждого такого участка гравитационная сила практически постоянна, вычисляем элементарную работу dA этой силы на перемещении dr и складываем все это бесконечное количество элементарных работ.

dA = F·dr = = F·dr·Cos 180⁰ (направление вектора dr противоположно F).

Здесь, F = γ – гравитационная сила, действующая между неподвижным шаром массой m₁ и удаляющимся шаром массой m₂ в момент времени, когда расстояние между шарами равно r (γ = 6,67·10⁻¹¹ – гравитационная постоянная).

Таким образом, dA = − F·dr. Осталось взять интеграл от обеих частей этого уравнения. Интеграл от левой части даст нам искомую работу А. Найдем интеграл от правой части. Очевидно, что его надо брать в пределах от начального расстояния r₀ между шарами до бесконечности.

= − = − γ .

В результате имеем: А = − γ .

Масса первого шара m₁ = V₁·ρ, где V₁ − объем первого шара. Очевидно,

V₁= π . Тогда m₁= π ρ. Аналогично m₂= π ρ. Начальное расстояние между шарами r₀ = . Подставив выражения для масс и начального расстояния в формулу для работы и, учитывая, что A = U, получим:

U = − γ .

С учетом числовых значений U = − 3,1·10⁻⁵ Дж.

Ответ: U = − 3,1·10⁻⁵ Дж.

Задача 4. Найти среднюю плотность ρ_м планеты Меркурий, если известно, что отношение массы m Меркурия к массе M Земли равно m/M = 0,054, радиус Меркурия равен r_м = 2,42·10⁶ м, радиус Земли R = 6,38·10⁶ м. Величину ускорения свободного падения на поверхности Земли принять равной g = 9,8 м/с².

Дано: m/M = 0,054, r_м = 2,42·10⁶ м, R = 6,38·10⁶ м, g = 9,8 м/с².

ρ_м − ?

Решение.

Величина силы притяжения между Землей и Меркурием F = γ , где

γ = 6,67·10⁻¹¹ – гравитационная постоянная, r – расстояние между центрами планет. Умножим и поделим правую часть этой формулы на R². Тогда

F = γ · . Но γ = g, следовательно,

F = . (1)

В то же время величину этой силы можно представить в виде: F = γ , где

V_м = π – объем Меркурия. Таким образом

F = γ (2).

Приравнивая правые части выражений (1) и (2), получим:

= γ , откуда ρ_м = ·

С учетом числовых значений ρ_м = 5,44·10³ кг/м³.

Ответ: ρ_м = 5,44·10³ кг/м³.

Задача 5. Ракета летит на Луну. На каком расстоянии L от поверхности Земли находится точка, в которой ракета будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой по величине силой? Масса Земли М = 5,98·10²⁴ кг, масса Луны m_л = 7,35·10²² кг, радиус Земли R = 6,38·10⁶ м, расстояние между центрами Земли и Луны r = 3,84·10⁸ м.

Дано: М = 5,98·10²⁴ кг, m_л = 7,35·10²² кг, R = 6,38·10⁶ м, r = 3,84·10⁸ м.

L − ?

Решение.

Пусть в указанной точке F₁ – сила, с которой ракета притягивается Землей, F₂ – сила, с которой ракета притягивается Луной (на рисунке силы не показаны).

В соответствии со вторым законом Ньютона для этой точки

F₁ + F₂ = 0.

После проектирования на ось, совпадающую с направлением от Земли до Луны и нахождения проекций, имеем: F₁ = F₂.

Если m – масса ракеты, то

γ = γ или = .

Получили одно уравнение с одной неизвестной величиной (L). Решая это уравнение (ввиду простоты решения, оно опущено), находим:

L = – R. Подставив числа, получим:

L = 3,4·10⁸ м.

Ответ: L = 3,4·10⁸ м.

Задача 6. Найти отношение периодов Т_л/Т_з колебаний одного и того же математического маятника, если в одном случае колебания совершаются на Луне, а в другом – на Земле. Масса Земли М = 5,98·10²⁴ кг, масса Луны m_л = 7,35·10²² кг, радиус Земли R = 6,38·10⁶ м, радиус Луны r_л = 1,74·10⁶ м.

Дано: М = 5,98·10²⁴ кг, m_л = 7,35·10²² кг, R = 6,38·10⁶ м, r_л = 1,74·10⁶ м.

Т_л/Т_з − ?

Решение.

В инерциальной системе отсчета период Т колебаний математического маятника

T = 2π· , где L − длина маятника, g – величина ускорения свободного падения.

Если g_з – величина ускорения свободного падения на Земле, а g_л – величина ускорения свободного падения на Луне, то периоды колебаний этого маятника на Земле и Луне соответственно равны:

T_з = 2π· , T_л = 2π· . Тогда = . Осталось найти отношение величины ускорения свободного падения на Земле к величине ускорения свободного падения на Луне.

В условиях Земли g_з = γ . Аналогично для Луны g_л = γ .

Тогда = .Следовательно, = .

С учетом числовых значений = 2,46.

Ответ: = 2,46.

Задача 7. Найти величину v₁ первой космической скорости, то есть величину скорости, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно стало двигаться вокруг Земли по круговой орбите в качестве спутника. Радиус Земли R = 6,38·10⁶ м, величину ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли принять равной g = 9,81 м/с².

Дано: R = 6,38·10⁶ м, g = 9,81 м/с².

v₁ − ?

Решение.

Решение задачи выполним в системе отсчета, связанной с Землей, считая эту систему инерциальной.

На тело, движущееся вокруг Земли по круговой орбите со скоростью v₁, действует только гравитационная сила F притяжения со стороны Земли (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Величина этой силы F = γ , где γ – гравитационная постоянная, M – масса Земли, m – масса тела, r – расстояние между центрами масс Земли и тела. Поскольку по условию задачи тело вращается вблизи поверхности Земли, то за расстояние r можно принять радиус R Земли. Тогда F = γ .

Запишем второй закон Ньютона для тела (сразу после проектирования на вертикаль и нахождения проекций):

γ = или γ = . Учитывая, что γ = g, получим:

g = , откуда v₁ = . Подставив числа, получим:

v₁ = 7,9·10³ .

Ответ: v₁ = 7,9·10³ .

Задача 8. Тело удаляется от поверхности Земли, имея величину начальной скорости v₀ = 100 м/с. На какое расстояние h от поверхности Земли удалится тело? Найти величину v₂ второй космической скорости, то есть величину начальной скорости, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное тяготение и навсегда удалилось от Земли. Радиус Земли R = 6,38·10⁶ м, величину ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли принять равной g = 9,81 м/с².

Дано: v₀ = 100 м/с, R = 6,38·10⁶ м, g = 9,81 м/с².

h − ? v₂ − ?

Решение.

Решим задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

Итак, тело удаляется от поверхности Земли, имея величину начальной скорости v₀. До каких пор оно будет удаляться? Очевидно, до тех пор, пока не будет исчерпан весь запас его кинетической энергии, то есть пока его скорость не уменьшится до нуля.

Рассмотрим систему Земля – тело в двух состояниях: в первом состоянии тело находится у поверхности Земли и обладает скоростью, величина которой v₀, во втором состоянии тело находится на высоте h, и скорость тела равна нулю.

Данная система консервативна (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Следовательно, полная механическая энергия системы одна и та же, что в первом состоянии, что во втором. Кинетическая энергия системы в первом состоянии равна (m – масса тела). Что касается потенциальной энергии взаимодействия элементов системы (тела и Земли), то ее значение определяется тем, где мы выберем нулевой уровень этой энергии. В данном решении будем считать, что потенциальная энергия равна нулю, когда Земля и тело бесконечно удалены друг от друга. В соответствии с выбранным условием нормировки, потенциальная энергия системы в первом состоянии равна – γ , где γ – гравитационная постоянная, M – масса Земли. Преобразуем последнее выражение (это делать необязательно, просто конечный результат будет удобнее для расчетов). Умножим числитель и знаменатель формулы на R. Тогда

– γ = – γ . Но, как Вы уже знаете, γ = g. Следовательно, потенциальная энергия системы в первом состоянии равна – mgR.

Итак, механическая энергия системы в первом состоянии равна – mgR.

Во втором состоянии кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия равна – γ . Вновь выполним преобразование:

– γ = – γ = − . Полная энергия системы во втором состоянии равна – .

В соотвествии с законом сохранения механической энергии

– mgR = − или – gR = − . В результате простых преобразований получим:

h = . (1)

С учетом числовых значений h = 509,7 м.

При ответе на второй вопрос задачи, следует применить формулу (1) для того частного случая, когда h= ∾. Эта стуация реализуется, когда = 0. Отсюда v₀ = . По условию задачи эта скорость обозначена как v₂.

Таким образом, v₂ = . Подставляя числа, получим: v₂ = 11,2·10³ м/с.

Ответ: h = 509,7 м, v₂ = 11,2·10³ м/с.

Задача 9. Астероид имеет форму шара с радиусом r = 5 км и плотностью ρ = 5,5 г/см³. На какую высоту Н подпрыгнул бы человек, находящийся на астероиде, если на Земле при такой же начальной скорости прыжка человек поднимается на высоту h = 5 см? Зависимостью величины ускорения свободного падения от высоты пренебречь.

Дано: r = 5 км = 5·10³ м, ρ = 5,5 г/см³ = 5,5·10³ кг/м³, h = 5 см = 5·10⁻²м.

Н − ?

Решение.

Рассмотрим консервативную систему Земля – человек в момент прыжка и в момент достижения человеком высоты h. В соответствии с законом сохранения механической энергии, при условии, что нулевой уровень потенциальной энергии находится на поверхности Земли, имеем:

= mgh, где m – масса человека, v₀ – величина начальной скорости прыжка, g – величина ускорения свободного падения на Земле.

Аналогично для астероида = mg_аН, где g_а − величина ускорения свободного падения на астероиде. Тогда

mgh = mg_аН, откуда Н = h.

Величину g_а найдем по формуле g_а = γ , где γ = 6,67·10⁻¹¹ – гравитационная постоянная, m_а – масса астероида. Поскольку m_а = π r³ ρ_а, то g_а = γ π r ρ_а. Тогда

Н = . С учетом числовых значений Н = 65 м.

Ответ: Н = 65 м.

Задача 10. Какова величина g_c ускорения силы тяжести на поверхности Солнца, если радиус R_c Солнца больше радиуса R Земли в 108 раз, а плотность ρ Земли больше плотности ρ_с Солнца в 4 раза?

Дано: R_c/R = 108, ρ/ρ_с = 4.

g_c − ?

Решение.

Воспользуемся формулой g_с = γ ,

где γ – гравитационная постоянная, m_с – масса Солнца. Поскольку m_с = π ρ_с, то g_с = γ π R_c ρ_c.

Аналогично величина ускорения силы тяжести на Земле g = γ π R ρ.

Тогда = , откуда g_с = g . Подставив числа, получим:

g_с ≈ 270 м/с².

Ответ: g_с ≈ 270 м/с².

Задача 11. В шаре с радиусом R и массой М сделана сферическая полость, поверхность которой касается шара и проходит через его центр. С какой по величине силой f шар будет притягивать маленький шарик массой m, находящийся на расстоянии d от центра шара, на продолжении прямой, соединяющей центр шара с центром полости?

Дано: R, М, m, d.

f − ?

Решение.

Вначале рассмотрим взаимодействие маленького шарика со сплошным шаром. Величина силы притяжения маленького шара к сплошному шару

F = γ , где γ = 6,67·10⁻¹¹ – гравитационная постоянная.

Величина этой силы может быть представлена суммой двух сил f₁ и f, то есть

F = f₁ + f, где f₁ – величина силы притяжения, действующей на шарик со стороны той части шара, которая потом будет удалена, а f – величина силы притяжения, действующей на шарик со стороны оставшейся части шара (эту величину нам и надо найти). Тогда f = F − f₁.

Величина f₁= γ , где М_п – масса материала шара в объеме полости.

Таким образом, f = γ − γ . (1)

Масса сплошного шара М = π R³ ρ, где ρ – плотность материала шара.

Масса материала шара в объеме полости М_п = = π ρ. Тогда = , откуда М_п = . Подставив это выражение в формулу (1), получим:

f = γ M m .

Ответ: f = γ M m .

Задача 12. Показать, что внутри однородного сферического слоя отсутствует поле тяготения.

Решение.

Поместим в произвольную точку внутри очень тонкого сферического слоя пробную точечную массу m (см. рисунок слева). Выделим на поверхности слоя элемент с площадью ∆S₁ (первый элемент) и построим конус с вершиной в точке m и основанием с площадью ∆S₁. Продолжим боковую поверхность конуса до нового пересечения со слоем. Эта поверхность вырежет из слоя элемент с площадью ∆S₂ (второй элемент). Выберем первый элемент настолько малым, чтобы массы первого и второго элементов можно было считать точечными массами по отношению к пробной массе m. Запишем выражения для величин гравитационных сил, действующих на массу m со стороны указанных элементов.

Со стороны первого элемента: F₁ = γ (∆m₁ – масса первого элемента, r₁ – расстояние от точечной массы m до первого элемента.

Со стороны второго элемента: F₂ = γ

(∆m₂ – масса второго элемента, r₂ – расстояние от точечной массы m до второго элемента).

Найдем отношение этих сил: = . Масса первого элемента равна произведению его поверхностной плотности σ на площадь ∆S₁ (поверхностная плотность – это масса единицы площади), то есть ∆m₁ = σ ∆S₁. Аналогично

∆m₂ = σ ∆S₂. Тогда = .

Очевидно, что ∆S₁ = πb², а ∆S₂ = πа², где b и а – радиусы оснований соответствующих конусов (см. рисунок справа). Поэтому = .

Но, исходя из подобия, = . Следовательно, = . Тогда = 1 и F₁ = F₂.

Получается, что результирующая сила, действующая на пробную массу со сторону выделенных элементов, равна нулю (ведь F₁ и F₂ направлены в противоположные стороны). Поскольку весь шаровой слой можно разбить на пары элементов, обладающих этим свойством, то приходим к выводу, что сила взаимодействия массы m со слоем равна нулю и не зависит от положения пробной массы внутри слоя. А отсюда следует, что гравитационное поле внутри слоя отсутствует. Очевидно, этот вывод будет верен и для слоя любой толщины, так как этот слой можно разбить на бесконечно большое число очень тонких (бесконечно тонких) оболочек, и для каждой из них мы придем к такому же выводу.

Задача 13. Найти зависимость величины g(х) ускорения тела в гравитационном поле, созданным однородным шаром, от расстояния х до центра шара (в том числе и для точек, лежащих внутри шара). Построить график этой зависимости. Величину g₀ ускорения гравитационного поля на поверхности шара и радиус R шара считать известными.

Дано: g₀, R.

g(х) − ?

Решение.

Известно (примем это без доказательства), что однородный шар создает вне себя такое гравитационное поле, как если бы вся масса шара была сосредоточена в точке, совпадающей с его центром. Таким образом, однородный шар можно считать материальной точкой.

Ускорение g, которое имеет тело массой m в какой-то точке гравитационного поля или, иначе, − напряженность поля в этой точке, равна силе F, действующей на данное тело со стороны поля, деленной на массу тела. При этом само тело должно удовлетворять требованиям, предъявляемым к материальной точке. Исходя из этого, величина g ускорения определяется формулой:

g = . Величина силы зависит от расстояния между источником поля и той точкой, где изучается напряженность. Если обозначить это расстояние как х, то выражение для величины гравитационной силы можно записать так: F = γ ,

где γ – гравитационная постоянная, М – масса источника поля. Тогда

g = γ . (1)

В случае, если источником поля является однородный шар с радиусом R, то эта формула справедлива для случая, когда x R. На поверхности шара величина напряженности гравитационного поля g₀ = γ .

Умножим и разделим выражение (1) на R². Тогда g = γ или g = .

Обозначив постоянную для данного шара величину g₀ R² как k, будем иметь:

g = . Это – уравнение гиперболы.

Теперь рассмотрим случай, когда x < R. Поместим пробную массу m в любую точку, находящуюся внутри шара на расстоянии х от его центра. Сила взаимодействия этой массы со сферическим слоем, внутренний радиус которого равен х, равна нулю (см. решение предыдущей задачи). Следовательно, сила взаимодействия пробной массы со всем шаром такая же, как если бы этого сферического слоя вообще не было. Тогда формула (1) будет иметь вид:

g = γ , (2)

где М_х – масса шара в объеме π х³. Если ρ – плотность вещества шара, то

М_х = π х³ ρ. В то же время масса всего шара М = π R³ ρ. Следовательно,

= , откуда М_х = М . Тогда уравнение (2) можно записать так: g = γ или g = . Обозначив постоянную для данного шара величину как С, будем иметь: g = Сх. Это – уравнение прямой.

Представим зависимость g = g(x) в виде графика.

Ответ: g = , если x < R, g = , если x R.

Задача 14. Каково соотношение между высотой Н горы и глубиной h шахты, если период Т_Н колебаний математического маятника на вершине горы равен периоду Т_h колебаний на дне шахты?

Дано: Т_Н = Т_h.

H/h − ?

Решение.

Период колебаний математического маятника на вершине горы Т_Н =2π· ,

период колебаний математического маятника на дне шахты Т_h =2π· , где L – длина маятника, g_H и g_h величины ускорений сил тяжести на вершине горы и на дне шахты соответственно. Основываясь на решении предыдущей задачи, имеем:

g_H = , g_h = ,

где g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности Земли, R – радиус Земли, x_H – расстояние от центра Земли до вершины горы, x_h расстояние от центра Земли до дна шахты. Поскольку

x_H = R + H, x_h = R – h (см. рисунок), то g_H = , g_h = .

Так как по условию задачи Т_Н = Т_h, то g_H = g_h или = . После несложных преобразований h = . Очевидно, что Н R, следовательно,

h = или h = 2Н + = 2H (1 + ).

Учитывая, что 1 окончательно получим: h = 2Н, откуда = .

Ответ: = .

Задача 15. Искусственная планета имеет круговую орбиту. Найти величину v линейной скорости ее движения и период Т обращения вокруг Солнца. Радиус Солнца R = 6,96·10⁸ м, средняя плотность Солнца ρ = 1,41·10³ кг/м³. Среднее расстояние планеты от Солнца r = 1,71·10⁸ км.

Дано: R = 6,96·10⁸ м, ρ = 1,41·10³ кг/м³, r = 1,71·10⁸ км = 1,71·10¹¹ м.

v − ? Т − ?

Решение.

Запишем второй закон динамики для планеты (сразу в модулях):

γ = , где γ = 6,67·10⁻¹¹ – гравитационная постоянная, М – масса Солнца, m – масса планеты. Тогда v = . Так как M = π R³ ρ, то

v = 2 .

Период обращения планеты вокруг Солнца Т = . Учитывая полученное выражение для v, Т = . Подставив числа, получим:

v = 2,8·10⁴ ,

Т = 3,8·10⁷ с.

Ответ: v = 2,8·10⁴ , Т = 3,8·10⁷ с.

Задача 16. Найти период Т обращения искусственной планеты вокруг Солнца, если известно, что большая полуось R ее эллиптической орбиты превышает большую полуось R_зем земной орбиты на величину ∆R. Величины R_зем, ∆R и период Т_зем обращения Земли вокруг Солнца считать известными.

Дано: R_зем, ∆R, Т_зем.

Т − ?

Решение.

По третьему закону Кеплера = , откуда Т = Т_зем· или

Т = Т_зем· .

Ответ: Т = Т_зем· .

Задача 17. Большая полуось R₁ эллиптической орбиты первого в мире искусственного спутника Земли меньше большой полуоси R₂ орбиты второго спутника на ∆R = 800 км. Период обращения вокруг Земли первого спутника в начале его движения был Т₁ = 96,2 мин. Найти большую полуось R₂ орбиты второго искусственного спутника Земли и период Т₂ его обращения вокруг Земли.

Дано: ∆R = 800 км = 8·10⁵ м, Т₁ = 96,2 мин = 5,8·10³ с.

R₂ − ? Т₂ − ?

Решение.

Применим к спутникам третий закон Кеплера:

= . Поскольку R₁ = R₂ − ∆R, то

= . (1)

В этом уравнении две неизвестные величины (R₂ и Т₂), поэтому для их нахождения необходимо еще одно уравнение, куда входили бы эти величины.

В качестве такого уравнения можно использовать тот же третий закон Кеплера, где в качестве одного объекта будет использован один из спутников (например, первый), а в качестве другого – какое-то небесное тело с известными параметрами большой полуоси и периодом обращения вокруг Земли. В качестве такого тела можно использовать Луну. Тогда

= , (2)

где Т_Л = 2,36·10⁶ с – период обращения Луны вокруг Земли, R_Л = 3,84·10⁸ м – среднее расстояние между Землей и Луной.

Теперь из уравнения (2) можно найти R₂ и, подставив найденное значение в уравнение (1), найти Т₂. Сделаем это. Из уравнени (2)

R₂ = R_Л· + ∆R. Подставив числа, получим R₂ = 7,8·10⁶ м.

Теперь из уравнения (1) выражаем Т₂:

Т₂ = Т₁· . С четом числовых значений Т₂ = 6,8·10³ с.

Задача решена. Однако к конечному результату можно придти и не привязываясь к параметрам Луны, а используя некоторые характеристики, связанные с Землей. Правда, и в этом случае необходимо вновь использовать третий закон Кеплера, но в нем уже не обязательно должна фигурировать Луна, а вместо нее можно взять любое небесное тело, вращающееся вокруг Земли по круговой орбите. Пусть Т₃ – период обращения этого тела вокруг Земли, R₃ – расстояние между Землей и телом. Тогда уравнение (1) будет выглядеть так:

= . (3)

Период обращения тела вокруг Земли Т₃ = , где v – величина скорости вращения тела вокруг Земли. Ее можно найти, применив к телу второй закон Ньютона (запишем его сразу в модулях):

γ = , где γ – гравитационная постоянная, М – масса Земли, m – масса тела. Тогда v = . Преобразуем подкоренное выражение, умножив и разделив дробь на R², где R – радиус Земли: v = . Но = g – ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. Тогда v = R , и выражение для периода Т₃ принимает вид:

Т₃ = . (4)

Теперь выражение (3) можно записать так:

= (R₂ − ∆R)³, откуда

R₂ = + ∆R.

В это выражение уже не входят параметры Луны, а используются величины, связанные с Землей. Приняв g = 9,81 м/с², R = 6,38·10⁶ м, получим то же значение для R₂, что и раньше, а, значит, и такое же значение для Т₂.

Выбот того или иного решения из тех, что были предложены, зависит либо от Вашего желания, либо от того, какие исходные данные будут фигурировать в условии задачи.

Ответ: R₂ = 7,8·10⁶ м, Т₂ = 6,8·10³ с.

Задача 18. Космический корабль вращается вокруг Земли по эллиптической орбите. Максимальное удаление корабля от поверхности Земли равно h_max = 224 км, а минимальное удаление h_min − неизвестно. Найти период Т обращения корабля вокруг Земли. Радиус R Земли и величину g ускорения свободного падения на поверхности Земли считать известными (R = 6,38·10⁶ м, g = 9,81 м/с²).

Дано: h_max = 224 км = 2,24·10⁵ м, R = 6,38·10⁶ м, g = 9,81 м/с².

Т − ?

Решение.

Воспользуемся третим законом Кеплера. При этом в качестве одного из космических объектов используем корабль. Другим объектом пусть будет какое-то космическое тело, вращающееся вокруг Земли по круговой орбите с радиусом R₁= R + h_min и периодом Т₁. Тогда третий закон Кеплера будет выглядеть так:

= . (1)

Выражение для периода Т₁ можно получить, повторив рассуждения, которые были использованы при выводе формулы (4) в решении предыдущей задачи. Таким образом,

Т₁ = = . Подставив это выражение в формулу (1), получим:

Т = . С учетом числовых значений Т = 5,3·10³ с.

Ответ: Т = 5,3·10³ с.