§ 13.3. Статика твердого тела

Задача 1. На стержень АВ, подвешенному на двух параллельных нитях, в точке С положен груз массой m = 8 кг (см. рисунок). Определить величины Т_А и Т_В сил натяжения левой и правой нити соответственно, если АС = 0,3 м и ВС = 0,5 м. Массой стержня и нитей пренебречь.

Дано: m = 8 кг, АС = 0,3 м, ВС = 0,5 м.

Т_А – ? Т_В – ?

Решение.

Стержень взаимодействует с двумя нитями и грузом, следовательно, на него действуют три силы. Это – сила реакции Q_А со стороны левой нити, сила реакции Q_В со стороны правой нити и сила F_D, с которой груз давит на стержень. Q_А и Q_В приложены к точкам левого и правого концов стержня соответственно и направлены вертикально вверх. Сила давления F_D приложена к точке С и направлена вертикально вниз (см. рисунок).

Очевидно, что F_D = mg. Поскольку стержень находится в равновесии, то сумма всех действующих на него сил равна нулю (первое условие равновесия), то есть

Q_А + Q_В + mg = 0.

Проектируем это векторное равенство на ось Y, направленную вертикально вверх.

Q_Аy + Q_Вy + mg_y = 0. Находим проекции.

Q_Аy = Q_А, Q_Вy = Q_В, g_y = – g. Тогда

Q_А + Q_В – mg = 0.

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными (Q_А и Q_В). Для нахождения неизвестных необходимо еще одно уравнение, которым будет являться второе условие равновесия стержня.

Обозначим моменты сил Q_А, Q_В и mg как М₁, М₂ и М₃ соответственно. Тогда второе условие равновесия стержня запишется так:

М₁ + М₂ + М₃ = 0.

Моменты можно определить по отношению к любой оси. Пусть это будет ось Z, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости рисунка и направленная на нас (на рисунке эта ось не показана). Проектируем последнее уравнение на выбранную ось.

М_1z+ М_2z + М_3z = 0.

Момент М₁ силы Q_А, равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю. Тогда последнее уравнение принимает вид:

М_2z + М_3z = 0.

Момент М₂ силы Q_В стремится повернуть стержень против хода часовой стрелки, следовательно, в соответствии с правилом буравчика, он направлен на нас, то есть по направлению оси Z. Тогда

М_2z = М₂ Cos 0⁰ = М₂.

Момент М₃ силы mg стремится повернуть стержень по ходу часовой стрелки, следовательно, в соответствии с правилом буравчика, он направлен от нас, то есть противоположно направлению оси Z. Тогда

М_3z = М₃ Cos 180⁰ = – М₃.

Следовательно, М₂ – М₃ = 0.

Плечом силы Q_В является длина стержня, то есть АС + СВ, поэтому

М₂ = Q_В (АС + СВ).

Плечом силы mg является отрезок АС, поэтому

М₃ = mg АС. Тогда

Q_В (АС + СВ) – mg АС = 0, откуда Q_В = .

Подставляем это выражение в уравнение первого условия равновесия стержня.

Q_А + – mg = 0.

После несложных преобразований находим

Q_А = . Подставив числа, получим:

Q_А = 50 Н, Q_В = 30 Н.

В соответствии с третьим законом Ньютона

Т_А = – Q_А и Т_А = Q_А, Т_В = – Q_В и Т_В = Q_В. Поэтому Т_А = 50 Н и Т_В = 30 Н.

Ответ: Т_А = 50 Н, Т_В = 30 Н.

Задача 2. Однородный цилиндр массы m расположен между двумя гладкими однородными плоскостями, образующими с горизонтом углы α и β (см. рисунок). Определить величины сил давления цилиндра на опорные плоскости.

Дано: m, α, β.

F₁ – ? F₂ – ?

Решение.

Цилиндр взаимодействует с Землей и двумя наклонными плоскостями, следовательно, на него действуют три силы. Это – сила тяжести mg со стороны Земли, сила реакции R₁ со стороны плоскости, образующей с горизонтом угол α и сила реакции R₂ со стороны плоскости, образующей с горизонтом угол β (см. рисунок).

Так как плоскость гладкая (трение отсутствует), то R₁ и R₂ направлены перпендикулярно плоскостям, то есть к оси цилиндра. Сила mg направлена, естественно, вниз по вертикали.

Запишем первое условие равновесия цилиндра.

mg + R₁ + R₂ = 0.

Проектируем это векторное равенство на координатные оси X и Y. Направления осей показаны на рисунке.

mg_х + R_1х + R_2х = 0,

mg_y + R_1y + R_2y = 0.

Находим проекции.

g_х = 0, R_1х = R₁ Cos (90⁰ – α) = R₁ Sin α, R_2х = R₂ Cos (90⁰ + β) = – R₂ Sin β, g_y = – g, R_1y = R₁ Cos α, R_2y = R₂ Cos β.

Тогда

R₁ Sin α – R₂ Sin β = 0,

– mg + R₁ Cos α + R₂ Cos β = 0.

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными (R₁ и R₂), следовательно, этих уравнений достаточно для решения задачи, и привлекать второе условие равновесия нет необходимости.

Из первого уравнения системы R₁ = .

Подставляем это выражение во второе уравнение системы.

– mg + Cos α + R₂ Cos β или

R₂ Sin β Cos α + R₂ Sin α Cos β = mg Sin α. Выносим R₂ за скобки.

R₂ (Sin β Cos α + Sin α Cos β) = mg Sin α.

Поскольку Sin β Cos α + Sin α Cos β = Sin (α + β), то

R₂ =

Подставив это выражение во второе уравнение системы, и выполнив элементарные преобразования, получим

R₁ =

По третьему закону Ньютона R₁ = F₁, а R₂ = F₂. Следовательно,

F₁ = , F₂ = (Силы F₁ и F₂ на рисунке не показаны).

Ответ: F₁ = , F₂ =

Задача 3. Между двумя стенами висит на веревке фонарь массой m (см. рисунок). Левая веревка образует со стеной угол α, а правая – угол β. Найти величины сил натяжения Т₁ и Т₂ левой и правой веревок соответственно.

Дано: m, α, β.

Т₁ – ? Т₂ – ?

Решение.

Рассмотрим точку С, где соединены веревки и подвес фонаря. К этой точке приложены три силы: Q₁ – сила реакции левой нити, Q₂ – сила реакции правой нити и Q₃ – сила реакции со стороны подвеса фонаря. Очевидно, что Q₃ = mg. Точка С неподвижна, следовательно,

Q₁ + Q₂ + mg = 0 (первое условие равновесия).

Проектируем это векторное равенство на оси Х и Y. Направление осей показано на рисунке.

Q_1х + Q_2х + mg_х = 0,

Q_1у + Q_2у + mg_у = 0.

Находим проекции.

Q_1х = Q₁ Cos (90⁰ + α) = – Q₁ Sin α, Q_2х = Q₂ Cos (90⁰ – β) = Q₂ Sin β, g_x = 0,

Q_1у = Q₁ Cos α, Q_2у = Q₂ Cos β, g_у = – g.

Тогда

– Q₁ Sin α + Q₂ Sin β = 0,

Q₁ Cos α + Q₂ Cos β - mg = 0.

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными (Q₁ и Q₂). Решим ее.

Из первого уравнения системы Q₁ = . Подставляем это выражение во второе уравнение системы.

Cos α + Q₂ Cos β - mg = 0 или

Q₂ (Sin β Cos α + Cos β Sin α) = mg Sin α.

Поскольку Sin β Cos α + Cos β Sin α = Sin (α + β), то

Q₂ Sin (α + β) = mg Sin α, откуда

Q₂ = =. Тогда

Q₁ = = .

Левая веревка натягивается силой Т₁, величина которой по третьему закону Ньютона равна Q₁. Направлена Т₁ в сторону, противоположную направлению Q₁ (на рисунке Т₁ не показана).

Правая веревка натягивается силой Т₂, величина которой по третьему закону Ньютона равна Q₂. Направлена Т₂ в сторону, противоположную направлению Q₂ (на рисунке Т₂ не показана).

Таким образом, Т₁ = , Т₂ = .

Задача была решена с использованием только одного первого условия равновесия. Второе условие равновесия нам не понадобилось.

Ответ: Т₁ = , Т₂ = .

Задача 4. Лестница длиной L приставлена к идеально гладкой стене под углом α к горизонту. Коэффициент трения между лестницей и полом равен k. На какую высоту h относительно пола может подняться человек, прежде чем лестница начнет скользить? Массой лестницы пренебречь.

Дано: L, α, k.

h – ?

Решение.

Лестница взаимодействует с полом, человеком и стеной, следовательно, на нее действуют три силы: сила реакции Q со стороны пола, сила F, с которой человек давит на лестницу и сила N₁ нормальной реакции стены (сила трения между стеной и лестницей отсутствует, поскольку стена по условию задачи идеально гладкая). Направление силы Q мы заранее не знаем, поэтому применяем прием, заключающийся в разложении этой силы на компоненты – на вертикальную N₂ и горизонтальную F_тр составляющие (см. рисунок). Тогда Q = N₂ + F_тр.

Запишем первое условие равновесия лестницы для момента, предшествующего ее скольжению (в этот момент человек поднялся на высоту h относительно пола).

N₂ + F_тр + F + N₁ = 0.

Проектируем это векторное равенство на оси X и Y, направления которых показано на рисунке.

N_2x + F_трx + F_x + N_1x = 0,

N_2y + F_трy + F_y + N_1y = 0.

Находим проекции.

N_2x = 0, F_трx = F_тр, F_x = 0, N_1x = – N₁,

N_2y = N₂, F_трy = 0, F_y = – F, N_1y = 0.

Тогда

F_тр – N₁ = 0,

N₂ – F = 0.

Поскольку F_тр = k N₂ (закон Амонтона – Кулона), то k N₂ – N₁ = 0 или N₂ = . Тогда

– F = 0, откуда N₁ = k F.

Как видим, первое условие равновесия лестницы не позволило ответить на вопрос задачи. Что ж, у нас в запасе есть еще второе условие равновесия. «Поработаем» с ним.

Сразу определимся с выбором оси, относительно которой будем находить моменты сил, действующих на лестницу. Взглянув на рисунок, понимаем, что эта ось должна проходить через точку О, так как в этом случае мы сразу наповал «убиваем двух зайцев», поскольку моменты сил N₂ и F_тр в этом случае будут равны нулю (плечи этих сил равны нулю).

Итак, выбираем ось Z, направленную от нас перпендикулярно плоскости рисунка (на рисунке она не показана).

Обозначим момент силы F как M₁, а момент силы N₁ как M₂. Тогда второе условие равновесия лестницы запишется так:

M₁ + M₂ = 0.

Проектируем это уравнение на ось Z.

M_1z + M_2z = 0. Находим проекции. При этом учитываем, что сила F стремится повернуть лестницу по ходу часовой стрелки. Следовательно, момент M₁, направлен туда же, куда и ось Z. Тогда

M_1z = M₁ Cos 0⁰ = M₁.

Сила же N₁ стремится повернуть лестницу против хода часовой стрелки. Следовательно, момент M₂, направлен на нас, то есть противоположно направлению оси Z. Тогда

M_2z = M₂ Cos 180⁰ = – M₂.

Таким образом, M₁ – M₂ = 0. Теперь находим модули M₁ и M₂.

Плечом силы F является отрезок ОА. Тогда M₁ = F∙ОА. Поскольку ОА = , то

M₁ = F∙ .

Плечом силы N₁ является отрезок ВС. Тогда M₂ = N₁∙ВС. Поскольку ВС = L Sin α, то

M₂ = N₁ L Sin α.

Следовательно,

F∙ – N₁ L Sin α = 0, откуда

h = . Выражение для N₁ нами было получено при анализе первого условия равновесия (все-таки не зря мы с ним «возились). Напомню, что N₁ = k F. Тогда

h = = k L Sin α tg α.

Ответ: h = k L Sin α tg α.

Задача 5. Однородный стержень АВ массой m опирается концом А на идеально гладкий горизонтальный пол под углом α, а в точках С и D – на два ролика (см. рисунок). Определить величины сил давления F_A, F_C и F_D на пол, нижний ролик и верхний ролик соответственно, если AC = CD = DB. Трением между стержнем и роликами пренебречь.

Дано: m, α, AC = CD = DB.

F_A – ? F_C – ? F_D – ?

Решение.

Стержень взаимодействует с четырьмя объектами: полом, нижним роликом, Землей и верхним роликом. Следовательно, на него действуют четыре силы: R_A – сила реакции со стороны пола, R_C – сила реакции со стороны нижнего ролика, mg – сила тяжести со стороны Земли и R_D – сила реакции со стороны верхнего ролика. Сила R_A перпендикулярна полу (трение между полом и стержнем отсутствует), силы R_C и R_D перпендикулярны поверхности стержня (трение между роликами и стержнем отсутствует), сила mg направлена вертикально вниз (см. рисунок).

Стержень находится в равновесии. Записываем первое условие равновесия стержня.

R_A + R_C + mg + R_D = 0.

Проектируем это векторное равенство на координатные оси X и Y. Направления осей показаны на рисунке.

R_Ax + R_Cx + mg_x + R_Dx = 0,

R_Ay + R_Cy + mg_y + R_Dy = 0.

Находим проекции.

R_Ax = 0, R_Cx = R_C Cos (90⁰ – α) = R_C Sin α, g_x = 0, R_Dx = R_D Cos (90⁰ + α) = – R_D Sin α, R_Ay = R_A, R_Cy = – R_C Cos α, g_y = – g, R_Dy = R_D Cos α.

Тогда

R_C Sin α – R_D Sin α = 0,

R_A – R_C Cos α – mg + R_D Cos α = 0.

Из первого уравнения системы R_C = R_D. Тогда второе уравнение примет вид:

R_A – R_D Cos α – mg + R_D Cos α = 0 или

R_A = mg.

Для нахождения R_C и R_D привлекаем второе условие равновесия стержня.

Пусть ось Z, относительно которой будем определять моменты действующих на стержень сил, проходит через точку А перпендикулярно плоскости рисунка и направлена от нас. Момент силы R_A равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю. Обозначим моменты сил R_C, mg и R_D как M₁, M₂ и M₃ соответственно. Тогда

M₁ + M₂ + M₃ = 0.

Проектируем это векторное равенство на ось Z.

M_1z + M_2z + M_3z = 0. Находим проекции.

Сила R_C стремится повернуть стержень по ходу часовой стрелки относительно оси Z, следовательно, момент M₁ этой силы направлен от нас, то есть так же, как и ось Z. Тогда

M_1z = M₁ Cos 0⁰ = M_1.

Сила mg стремится повернуть стержень также по ходу часовой стрелки относительно оси Z, следовательно, момент M₂ этой силы направлен от нас, то есть так же, как и ось Z. Тогда

M_2z = M₂ Cos 0⁰ = M_2.

Сила R_D стремится повернуть стержень против хода часовой стрелки относительно оси Z, следовательно, момент M₃ этой силы направлен на нас, то есть в сторону, противоположную направлению оси Z. Поэтому

M_3z = M₃ Cos 180⁰ = – M_3.

Тогда

M₁ + M₂ – M₃ = 0.

Находим модули моментов. Плечом силы R_C является отрезок АС, поэтому

M₁ = R_C АС. Поскольку АС = СD = DB = , то M₁ = R_C .

Плечом силы mg является отрезок АN, поэтому

M₂ = mg АN. Так как АN = Cos α, то M₂ = mg Cos α.

Плечом силы R_D является отрезок АD. Поскольку AD = AB, то

M₃ = R_D АD = R_D AB.

Записываем второе условие равновесия стержня с учетом найденных выражений для моментов сил.

R_C + mg Cos α – R_D AB = 0 или 2R_C + 3mg Cos α – 4R_D = 0.

Ранее было выяснено, что R_C = R_D. Тогда

2R_C + 3mg Cos α – 4R_С = 0, откуда легко находим R_С.

R_С = mg Cos α.

По третьему закону Ньютона F_A = R_A, F_C = R_C, F_D = R_D (силы F_A, F_C и F_D на рисунке не показаны). Поэтому F_A = mg, F_C = F_D = mg Cos α.

Ответ: F_A = mg, F_C = F_D = mg Cos α.

Задача 6. Один конец однородного стержня массы m соединен с вертикальной стеной при помощи неподвижного шарнира. Стержень удерживается в равновесии при помощи нити, соединяющей его другой конец с этой же стеной. Угол α между стеной и нитью равен 30⁰. Угол β между стержнем и нитью равен 90⁰. Найти силу натяжения Т нити и силу реакции R шарнира.

Дано: m, α = 30⁰, β = 90⁰.

T – ? R – ?

Решение.

Стержень находится в равновесии, если одновременно выполняются два условия: 1) сумма всех сил, действующих на стержень, равна нулю, 2) сумма моментов этих сил относительно любой оси равна нулю.

Стержень взаимодействует с Землей, нитью и шарниром, следовательно, на него действуют три силы. Это – сила тяжести mg со стороны Земли, сила реакции Q со стороны нити и сила реакции R со стороны шарнира. Направления сил mg и Q очевидны: первая направлена вертикально вниз, а вторая – вдоль нити в сторону стены. А вот направление силы R мы заранее не знаем. В этом случае поступают следующим образом: раскладывают неизвестную силу на составляющие по двум направлениям (обычно по вертикали и по горизонтали). Обозначим как R₁ вертикальную составляющую силы R, и как R₂ – ее горизонтальную составляющую (см. рисунок). Выбранные направления осей показаны на рисунке.

З аписываем первое условие равновесия стержня.

mg + Q + R = 0. Поскольку R = R₁ + R₂, то

mg + Q + R₁ + R₂ = 0.

Дальше поступаем как обычно – проектируем это векторное равенство на выбранные оси.

mg_х + Q_х + R_1х + R_2х = 0,

mg_у + Q_у + R_1у + R_2у = 0.

Находим проекции.

g_х = 0, Q_х = Q Cos (90⁰ – α) = Q Sin α = Q Sin 30⁰ = ,

R_1х = 0, R_2х = – R₂, g_у = – g,

Q_у = Q Cos α = Q Cos 30⁰ = Q, R_1у = R₁, R_2у = 0. Тогда

– R₂ = 0,

– mg + Q + R₁ = 0.

Мы получили систему двух уравнений с тремя неизвестными (R₁, R₂, Q). Необходимое для решения системы третье уравнение даст нам второе условие равновесия стержня.

Обозначим моменты сил mg, Q, R₁, R₂ как М₁, М₂, М₃, М₄ соответственно. Выбираем ось, относительно которой эти моменты будут определяться. Поскольку выбор оси произволен, то ее удобно выбрать так, чтобы она проходила через точку О (в этом случае М₃ = 0 и М₄ = 0). Тогда второе условие равновесия стержня запишется так:

М₁ + М₂ = 0.

Проектируем это векторное равенство на выбранную ось. Обозначим ее как Z и направим перпендикулярно плоскости рисунка, например, на нас (на рисунке эта ось не показана). Тогда

М_1z + М_2z = 0.

Момент М₁ стремится повернуть стержень против хода часовой стрелки. Значит (по правилу буравчика), он направлен на нас, то есть так же, как и ось Z. Следовательно, угол между направлением оси Z и М₁ равен нулю. Тогда

М_1z = М₁ Cos 0⁰ = М₁.

Момент М₂ стремится повернуть стержень по ходу часовой стрелки. Значит (по правилу буравчика), он направлен от нас и составляет с направлением оси Z угол 180⁰. Тогда

М_2z = М₂ Cos 180⁰ = – М₂.

Имеем:

М₁ – М₂ = 0.

Теперь найдем модули этих моментов. Плечом силы mg является OD. Тогда

М₁ = mg OD.

OD = BC = OB Cos α. Поскольку OB = (стержень однородный и его сила тяжести приложена к середине стержня), то

М₁ = = = .

Плечом силы Q является OA. Тогда

М₂ = Q OA.

Второе условие равновесия стержня принимает вид:

– Q OA = 0, откуда Q = или Q = 0,43 mg. Подставив полученное выражение для Q в первое уравнение первого условия равновесия, получим:

R₂ = или R₂ = 0,22 mg.

Подставив полученное выражение для Q во второе уравнение первого условия равновесия, получим R₁ = mg или R₁ = 0,63 mg.

Модуль силы реакции стены R =

Подставив числа, получим:

R = 0,67 mg.

Обратите внимание, что в условии задачи требуется найти не величины сил натяжения нити и реакции шарнира. В условии сказано: «Найти силу натяжения Т нити и силу реакции R шарнира». Напомню, что под словом «сила» подразумевается вектор. Вектор же характеризуется не только величиной, но и направлением. К сожалению, многие авторы решений подобных задач почему-то об этом забывают и ограничиваются нахождением только модулей указанных сил, хотя в условии задачи говорят о нахождении сил.

Начнем с силы натяжения нити. Она, конечно, приложена к нити (иначе, как бы она натянула нить?). В соответствии с третьим законом Ньютона величина силы натяжения нити равна величине силы ее реакции, то есть Т = Q. Следовательно,

Т = 0,43 mg.

В соответствии с тем же законом направления сил Т и Q противоположны. Таким образом, с силой натяжения нити мы полностью разобрались (и с величиной и с направлением). На рисунке сила натяжения Т нити показана пунктиром. Теперь займемся силой R.

Величину этой силы мы уже нашли. Направление же можно найти, например, по тангенсу угла γ, который составляет вектор R с вертикалью.

tg γ = . Подставив числа, получим tg γ = 0,35. Тогда γ 19,5⁰.

Можно было бы для нахождения направления этого вектора воспользоваться и другой тригонометрической функцией, например, синусом .

И последнее, на что надо обратить внимание при решении этой и подобных ей задач. Направления векторов R₁ и R₂, которые являются компонентами вектора R, могут выбираться либо в направлении соответствующих координатных осей, либо – противоположно им. Так, например, мы могли бы направить вектор R₁ вертикально вниз, а R₂ – горизонтально вправо. На числовом значении модулей сил R₁, R₂ и R это не отразится. Узнать, правильно ли выбраны направления R₁ и R₂ можно по знаку модуля, который получится в результате решения задачи. Если модуль окажется со знаком минус, то, значит, направление данной составляющей выбрано неверно. В данном же решении направления R₁ и R₂ угаданы правильно, и изменять их направления на рисунке нет необходимости.

Ответ: Т = 0,43 mg. Вектор Т направлен вдоль нити от стены, R = 0,67 mg. Вектор R направлен под углом γ 19,5⁰ к вертикали.

Задача 7. Однородная гладкая балка массы m = 100 кг и длины L = 10 м, закрепленная в точке А при помощи неподвижного шарнира, опирается в точке В на стену. Определить величины сил реакций R_A и R_B, действующих на балку в точках А и В соответственно. Балка составляет с горизонтом угол α = 45⁰, высота стены h = 5 м (см. рисунок).

Дано: m = 100 кг, L = 10 м, α = 45⁰, h = 5 м.

R_A – ? R_B – ?

Решение.

Балка взаимодействует с Землей, шарниром А и стеной, следовательно, на нее действуют три силы. Это – сила тяжести mg со стороны Земли, сила реакции R_A со стороны шарнира и сила реакции R_B со стороны стены. Балка находится в равновесии. Записываем первое условие равновесия.

mg + R_А + R_В = 0.

Направления сил mg и R_В нам известны. Первая направлена вертикально вниз, а вторая – перпендикулярно к балке. Силу R_А (на рисунке не показана), направление которой нам заранее неизвестно, раскладываем на две составляющие. Одна из составляющих R₁ направлена вдоль оси Y, а другая R₂ – вдоль оси X. Направления координатных осей показаны на рисунке.

Следовательно,

R_А, = R₁ + R₂, и

mg + R₁ + R₂ + R_В = 0.

Проектируем последнее уравнение на выбранные оси.

mg_х + R_1х + R_2х + R_Вх = 0,

mg_y + R_1y + R_2y + R_Вy = 0.

Находим проекции.

g_х = 0, R_1х = 0, R_2х = R₂, R_Вх = R_В Cos (90⁰ + α) = – R_В Sin α, g_y = – g, R_1y = R₁,

R_2y = 0, R_Вy = R_В Cos α. Тогда

R₂ + – R_В Sin α = 0,

– mg + R₁ + R_В Cos α = 0.

Получили систему, состоящую из двух уравнений с тремя неизвестными (R₁, R₂, R_B). Необходимое третье уравнение даст нам второе условие равновесие балки.

Обозначим моменты сил mg, R₁, R₂ и R_В как М₁, М₂, М₃ и М₄ соответственно. Моменты будем определять относительно оси Z, перпендикулярной плоскости рисунка, проходящей через точку А (в этом случае М₁ = 0, и М₂ = 0) и направленной от нас. Тогда

М₁ + М₄ = 0.

Проектируем последнее равенство на ось Z.

М_1z + М_4z = 0.

Момент М₁ силы mg стремится повернуть балку по ходу часовой стрелки, значит (по правилу буравчика), он направлен от нас, то есть так же, как и ось Z. Тогда

М_1z = М₁ Cos 0⁰ = М₁.

Момент М₄ силы R_В стремится повернуть стержень против хода часовой стрелки, следовательно, в соответствии с правилом буравчика, он направлен к нам, то есть противоположно направлению оси Z. Тогда

М_4z = М₄ Cos 180⁰ = – М₄. Следовательно, второе условие равновесия принимает вид:

М₁ – М₄ = 0.

Найдем модули этих моментов. Плечом силы mg является АЕ. Поскольку

АЕ = Cos α, то

М₁ = mg Cos α.

Плечом силы R_В является АВ. Поскольку АВ = = , то

М₄ = R_В . Тогда

mg Cos α – R_В = 0, откуда сразу находим R_В.

R_В = mg Sin α Cos α. Так как 2Sin α Cos α = Sin 2α, то

R_В = mg Sin 2α.

Подставляем это выражение в уравнения первого условия равновесия балки.

R₂ + – mg Sin 2α Sin α = 0,

– mg + R₁ + mg Sin 2α Cos α = 0.

Из этих уравнений легко находим:

R₂ = mg Sin 2α Sin α,

R₁ = mg – mg Sin 2α Cos α = mg .

Подставив числа, найдем:

R_В = 500 Н,

R₁ = 647 Н,

R₂ = 354 Н.

Поскольку R_A = , то с учетом числовых значений R_A = 737 Н.

Ответ: R_А = 737 Н, R_В = 500 Н.

Задача 8. Вагонетка массой m = 100 кг удерживается на наклонной плоскости канатом, параллельным этой плоскости (см. рисунок). Определить величины сил давления F_A и F_B колес вагонетки на плоскость в точках А и В соответственно и величину силы Т натяжения каната, если центр тяжести вагонетки находится в точке С, AD = DB = a = 0,75 м, CE = b = 0,3 м. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30⁰.

Дано: m = 100 кг, a = 0,75 м, b = 0,3 м, α = 30⁰.

F_А – ? F_В – ? T – ?

Решение.

На вагонетку действуют четыре силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, Q₁ – сила реакции каната, направленная вдоль каната, Q_A и Q_B – силы реакции плоскости, действующие на колеса вагонетки в точках А и В соответственно и направленные перпендикулярно плоскости.

Записываем первое условие равновесия вагонетки.

mg + Q₁ + Q_A + Q_B = 0.

Проектируем это векторное равенство на координатные оси X и Y, направления которых показано на рисунке.

mg_x + Q_1x + Q_Ax + Q_Bx = 0,

mg_y + Q_1y + Q_Ay + Q_By = 0.

Находим проекции.

g_x = g Cos (90⁰ – α) = g Sin α, Q_1x = – Q₁, Q_Ax = 0, Q_Bx = 0,

g_y = g Cos (180⁰ – α) = – g Cos α, Q_1y = 0, Q_Ay = Q_A, Q_By = Q_B. Тогда

m g Sin α – Q₁ = 0,

– m g Cos α + Q_A + Q_B = 0.

Получили систему двух уравнений с тремя неизвестными (Q₁, Q_A, и Q_B). Для их нахождения необходимо еще одно уравнение, которое нам даст второе условие равновесия.

Обозначим моменты сил mg, Q₁, Q_A и Q_B как М₁, М₂, М₃, М₄ соответственно. Тогда

М₁ + М₂ + М₃ + М₄ = 0.

Будем определять моменты по отношению к оси Z, проходящей через точку Е перпендикулярно плоскости рисунка и направленную на нас.

Проектируем последнее уравнение на выбранную ось.

М_1z + М_2z + М_3z + М_4z = 0.

Момент М₁ силы mg стремится повернуть вагонетку по ходу часовой стрелки, следовательно, он направлен от нас, то есть в сторону, противоположную направлению оси Z. Тогда

М_1z = М₁ Cos 180⁰ = – М₁.

Момент М₂ силы Q₁ равен нулю, поскольку равно нулю плечо этой силы. Следовательно, М_2z = 0.

Момент М₃ силы Q_А стремится повернуть вагонетку по ходу часовой стрелки, следовательно, он направлен от нас, то есть в сторону, противоположную направлению оси Z. Тогда

М_3z = М₃ Cos 180⁰ = – М₃.

И, наконец, момент М₄ силы Q_В стремится повернуть вагонетку против хода часовой стрелки, следовательно, он направлен на нас, то есть так же, как и ось Z. Тогда

М_4z = М₄ Cos 0⁰ = М₄.

Таким образом, – М₁ – М₃ + М₄ = 0.

Теперь находим модули этих моментов. Плечом силы mg является ЕК. Поскольку ЕК = b Sin α, то

М₁ = mg b Sin α.

Плечом силы Q_А является отрезок, равный по величине AD, поэтому

М₃ = Q_А а.

Плечом силы Q_В является отрезок, равный по величине DВ, поэтому

М₄ = Q_В а. Тогда

– mg b Sin α – Q_А а + Q_В а = 0.

Выражаем Q_В из последнего уравнения.

Q_В = .

Подставляем это выражение во второе уравнение системы для первого условия равновесия вагонетки.

– m g Cos α + Q_A + = 0.

Отсюда после несложных преобразований находим Q_A.

Q_A = .

Подставив числа, получим Q_A = 3,3 кН, Q_В = 5,3 кН. Реакцию Q₁ находим из первого уравнения системы для первого условия равновесия вагонетки.

Q₁ = m g Sin α. Подставив числа, получим Q₁ = 5 кН.

По третьему закону Ньютона Q_A = – F_A, Q_A = F_A = 3,3 кН.

Также Q_В = – F_В, Q_В = F_В = 5,3 кН.

И, наконец, Q₁ = – Т, Q₁ = Т = 5 кН. Силы F_A, F_В и Т на рисунке не показаны. Можете дорисовать их сами.

Ответ: F_A = 3,3 кН, F_В = 5,3 кН, Т = 5 кН.

Задача 9. Однородный шар массой m = 60 кг опирается на гладкую вертикальную стенку и гладкий стержень ОВ, шарнирно связанный со стеной в точке О (см. рисунок). Определить величину F вертикальной силы, которую надо приложить к стержню в точке В, чтобы система шар – стержень была в равновесии. Найти величину R реакции шарнира и величину F_д1 силы давления шара на стену и величину F_д2 силы давления шара на стержень. Угол между стержнем и стеной α = 60⁰, ОА = 2 м, ОВ = 4 м. Массой стержня пренебречь.

Дано: m = 60 кг, r = 0,15 м, α = 60⁰, ОА = 2 м, ОВ = 4 м.

F – ? R – ? F_д1 – ? F_д2 – ?

Решение.

В данной задаче в равновесии находятся и шар и стержень. Рассмотрим в отдельности равновесие каждого из этих объектов. Поскольку для равновесия твердого тело необходимо выполнение двух известных условий, то в нашем распоряжении имеются четыре уравнения: два уравнения, описывающие равновесие шара и два уравнения, описывающие равновесие стержня. Будем иметь это в виду, хотя нередко какое-то из этих уравнений может нам и не понадобиться. Вначале займемся шаром.

Шар взаимодействует с тремя телами: стенкой, стержнем и Землей, значит, на него действуют три силы. Стенка по отношению к шару является связью, и на шар со стороны стенки действует сила реакции Q₁. Эта сила перпендикулярна стенке в точке касания стенки и шара. Стержень тоже является для шара связью и на шар со стороны стержня действует сила реакции Q₂. Эта сила перпендикулярна стержню в точке касания стержня и шара. Со стороны Земли на шар действует сила тяжести mg, направленная вертикально вниз (см. рисунок).

Записываем первое условие равновесия шара.

Q₁ + Q₂ + mg = 0.

Проектируем это векторное уравнение на выбранные оси X и Y (направления осей показаны на рисунке).

Q_1x + Q_2x + mg_x = 0,

Q_1y + Q_2y + mg_y = 0.

Находим проекции.

Q_1x = Q₁, Q_2x = Q₂ Cos (180⁰ – α) = – Q₂ Cos α, g_x = 0, Q_1y = 0,

Q_2y = Q₂ Cos (90⁰ – α) = Q₂ Sin α, g_y = – g. Тогда

Q₁ – Q₂ Cos α = 0,

Q₂ Sin α – mg = 0.

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными (Q₁ и Q₂). Решая эту систему, получим:

Q₂ = , Q₁ = mg Ctg α. Подставив числа, получим Q₂ = 693 Н, Q₁ = 346 Н.

По третьему закону Ньютона F_д1 = – Q₁, F_д1 = Q₁, и F_д2 = – Q₂, F_д2 = Q₂. Следовательно, F_д1 = 346 Н, F_д2 = 693 Н.

Применять второе условие равновесия шара нет необходимости, ничего нового мы там не найдем. Поэтому переходим к стержню.

Стержень взаимодействует с тремя объектами: шарниром, шаром и каким-то телом, поддерживающим систему в состоянии равновесия (со стороны этого тела на стержень действует сила F). Взаимодействие с Землей не учитываем, поскольку массой стержня пренебрегаем в соответствии с условием задачи. Значит, на стержень действуют три силы. Шарнир по отношению к стержню является связью, и на стержень со стороны шарнира действует сила реакции R. Ни величину, ни направление этой силы мы заранее не знаем, поэтому, как обычно, раскладываем ее на составляющие. Вертикальную составляющую обозначим как R₁, а горизонтальную – как R₂. Предполагаем, что они направлены вдоль осей так, как показано на рисунке. Шар тоже является для стержня связью (он ограничивает движение стержня) и на стержень со стороны шара действует сила реакции, которая и является силой давления F_Д2 шара на стержень. Эта сила перпендикулярна стержню в точке касания стержня и шара. И, наконец, на стержень действует указанная выше сила F.

Записываем первое условие равновесия стержня.

R + F_Д2 + F = 0. Поскольку R = R₁ + R₂, то

R₁ + R₂ + F_Д2 + F = 0

Проектируем это векторное уравнение на оси X и Y.

R_1x + R_2x + F_Д2x + F_x = 0,

R_1y + R_2y + F_Д2y + F_y = 0.

Находим проекции.

R_1x = 0, R_2x = - R₂, F_Д2x = F_Д2 Cos α, F_x = 0,

R_1y = R₁, R_2y = 0, F_Д2y = F_Д2 Cos (90⁰ + α) = – F_Д2 Sin α, F_y = F. Тогда

– R₂ + F_Д2 Cos α = 0,

R₁ – F_Д2 Sin α + F = 0.

Получили систему двух уравнений с тремя неизвестными: R₁, R₂ и F (F_Д2 мы уже нашли ранее). Для нахождения неизвестных требуется еще одно уравнение, поэтому необходимо воспользоваться вторым условием равновесия. Обозначим моменты сил R₁, R₂ F_Д2 и F как М₁, М₂, М₃ и М соответственно. Тогда

М₁ + М₂ + М₃ + М = 0.

Ось Z, на которую будем проектировать это векторное уравнение, выбираем так, чтобы она проходила через точку О, в этом случае М₁ и М₂ равны нулю, поскольку плечи сил R₁ и R₂ равны нулю. Ось Z перпендикулярна плоскости рисунка, и пусть она будет направлена от нас. Тогда

М_3z + М_z = 0. Находим проекции.

Сила F_Д2 стремится повернуть стержень по ходу часовой стрелки, поэтому М₃ направлен от нас (по правилу буравчика). Значит, угол между направлением оси Z и М₃ равен нулю. Следовательно,

М_3z = М₃ Cos 0⁰ = М₃.

Сила F стремится повернуть стержень против хода часовой стрелки, поэтому М направлен на нас (по правилу буравчика). Значит, угол между направлением оси Z и М равен 180⁰. Следовательно,

М_z = М Cos 180⁰ = – М. Тогда

М₃ – М = 0.

Находим модули М₃ и М.

Плечом силы F_Д2 является ОА, поэтому

М₃ = F_Д2 ОА.

Плечом силы F является ОD. Так как ОD = ОВ Cos (90⁰ – α) = ОВ Sin α, то

М = F ОВ Sin α. Тогда

F_Д2 ОА – F ОВ Sin α = 0. Из последнего уравнения

F = F_Д2 . Подставив числа, получим F = 400 Н.

Из второго уравнения системы для первого условия равновесия стержня

R₁ = F_Д2 Sin α – F. С учетом числовых значений R₁ = 200 Н.

Из первого уравнения той же системы

R₂ = F_Д2 Cos α. С учетом числовых значений R₂ = 346 Н.

Величину R силы R находим по формуле R = . Подставив числа, получим

R = 400 Н.

Ответ: F = 400 Н, R = 400 Н, F_д1 = 346 Н, F_д2 = 693 Н.

Задача 10. Определить координату x_с центра тяжести штанги, состоящей из однородного цилиндрического стержня массой m_стер = 10 кг и трех насаженных на стержень однородных дисков D₁, D₂ и D₃ с массами m₁ = 20 кг, m₂ = 15 кг и m₃ = 30 кг соответственно (см. рисунок, где A = 2 м, B = 0,4 м).

Дано: m_стер = 10 кг, m₁ = 20 кг, m₂ = 15 кг, m₃ = 30 кг, A = 2 м, B = 0,4 м.

x_с – ?

Решение.

Штанга состоит из трех симметричных однородных элементов: стержня и трех дисков, поэтому координата ее центра тяжести определяется формулой

х_с = , где х_стер, х₁, х₂, х₃ – координаты центров тяжести стержня, первого, второго и третьего дисков соответственно. Выбираем ось Х так, чтобы она совпадала с осью симметрии стержня, а начало оси совместим с координатой центра тяжести первого диска (см. рисунок).

Находим координаты указанных центров тяжести. Стержень имеет ось симметрии. Кроме того, он является однородным телом, следовательно, координатой центра тяжести стержня будет являться точка, расположенная в середине его оси симметрии, то есть

х_стер = .

Центры тяжести дисков D₁, D₂ и D₃ находятся в точках их геометрических центров, то есть в точках х₁, х₂ и х₃ соответственно. Таким образом,

х₁ = 0, х₂ = А, х₃ = А + В. Тогда

х_с = . Подставив числа, получим х_с = 1,5 м.

Ответ: х_с = 1,5 м.

Задача 11. Найти координаты x_c и y_c центра тяжести С плоской фигуры, изображенной на рисунке. Там же представлены размеры, необходимые для решения задачи.

Решение.

Мысленно разбиваем фигуру на три прямоугольника: I, II и III. Координаты центров тяжести С₁, С₂ и С₃ легко находятся по представленным на рисунке размерам.

Для прямоугольника I: х₁ = 0,5 м, y₁ = 1,6 м.

Для прямоугольника II: х₂ = 1,6 м, y₂ = 0,3 м.

Для прямоугольника III: х₃ = 2,7 м, y₃ = 0,8 м.

Легко находятся и площади указанных прямоугольников.

Для прямоугольника I: S₁ = 3,2 м².

Для прямоугольника II: S₂ = 0,7 м².

Для прямоугольника III: S₃ = 1,6 м².

Общая площадь фигуры S = S₁ + S₂ + S₃ = (3,2 + 0,7 + 1,6) м² = 5,5 м².

Абсциссу х_с и ординату y_с центра тяжести данной плоской фигуры находим по формулам

х_с = ,

y_с = .

Подставив числовые значения, получим

х_с = 1,3 м, y_с = 1,2 м.

На рисунке хорошо видно, что центр тяжести находится вне фигуры.

Ответ: х_с = 1,3 м, y_с = 1,2 м.

Задача 12. Определить положение центра тяжести тела, состоящего из однородной цилиндрической колонны и однородного фундамента, представляющего собой куб, в случаях: 1) колонна и фундамент изготовлены из одного и того же материала; 2) плотность материала колонны в два раза больше плотности материала фундамента. Колонна и фундаменти имеют одну ось симметрии. Высота колонны H = 4 м, ее радиус R = 0,5 м. Ребро фундамента а = 2 м.

Дано: H = 4 м, R = 0,5 м, а = 2 м.

z_c – ?

Решение.

1. Центр тяжести однородного тела (представляющего собой в данном случае колонну с фундаментом), имеющего ось симметрии, лежит на этой оси. Обозначим данную ось как Z, ее начало О выбираем в точке пересечения диагоналей основания фундамента.

Мысленно разбиваем данное тело на две части: куб и цилиндр. Центры тяжести этих частей совпадают с серединами их высот. Следовательно, координата центра тяжести куба z₁ = . Координата центра тяжести цилиндра z₂ = а + . С учетом числовых значений z₁ = 1 м, z₂ = 4 м (см. рисунок).

Н аходим объемы куба и цилиндра. Объем куба a³, V₁ = 8 м³. Объем цилиндра

V₂ = π R²Н. Подставив числа, получим V₂ = 3,1 м³.

Теперь легко найти координату центра тяжести всего тела. Для этого применяем формулу

z_с = . Подставив найденные числовые значения входящих в формулу величин, получим z_с = 1,8 м.

2. Применяем общую формулу для нахождения центра тяжести тела:

z_с = , где m₁ – масса фундамента, m₂ – масса колонны.

Масса фундамента m₁ = ρ₁ V₁ (ρ₁ – плотность материала фундамента). Масса колонны m₂ = ρ₂ V₂ (ρ₂ – плотность материала фундамента). Поскольку ρ₂ = 2 ρ₁, то m₂ = 2 ρ₁ V₂. Тогда общая формула для нахождения центра тяжести тела принимает вид:

z_с = или z_с = .

В последней формуле коэффициент 2 – это отношение плотности материала колонны к плотности материала фундамента. Легко видеть, что если отношение плотностей равно 1 (то есть, когда ρ₁ = ρ₂), то выражение переходит в выражение , которое мы применяли в первом случае.

Подставив числа, получим для второго случая z_с = 2,3 м.

Ответ: 1) z_с = 1,8 м; 2) z_с = 2,3 м.

Задача 13. Определить координаты центра тяжести плоской однородной прямоугольной пластины с круглым отверстием (см. рисунок). Необходимые для решения задачи размеры, представлены на рисунке. Радиус отверстия r = 0,5 м.

Дано: а = 5 м, b = 2 м, c = 1 м, r = 0,5 м.

х_с – ? y_с – ?

Решение.

Особенностью решения задач, в которых фигурируют тела с отверстиями той или иной формы, является то, что массы вырезанных из тела частей считаются отрицательными. Если при расчете координат центра тяжести тела массы выражены через площади и поверхностные плотности или через объемы и объемные плотности, отрицательными считаются вырезанные поверхности или объемы. Каких-то других особенностей решения данные задачи не имеют.

Как обычно, мысленно разбиваем тело на такие части, координаты центров тяжести которых легко находятся. В данном случае этими частями являются пластина и вырезанный из нее круг. Систему координат, в которой будем решать задачу, выбираем так, как показано на рисунке.

Находим координаты центра тяжести пластины. При этом считаем пластину сплошной, про вырезанный из нее фрагмент «забываем». Очевидно, что центром тяжести пластины будет являться точка пересечения диагоналей прямоугольника, то есть геометрический центр пластины. Обозначим координаты центра тяжести как x₁ и y₁. Таким образом,

x₁ = . С учетом числовых значений x₁ = 2,5 м.

y₁ = . С учетом числовых значений y₁ = 1 м.

Площадь пластины S₁ = a b, S₁ = 10 м².

Теперь находим координаты центра тяжести круга, которые обозначим как x₂ и y₂. Очевидно, что

x₂ = . С учетом числовых значений x₂ = 1 м.

y₂ = . С учетом числовых значений y₂ = 1 м.

Площадь круга S₂ = π r², S₂ = 0,8 м².

И, наконец, применяем формулы для определения координат центра тяжести тела. При этом, как уже говорилось выше, площадь вырезанного круга будет браться с отрицательным знаком.

х_с = ,

y_с = .

Подставив числа, получим х_с = 2,6 м, y_с = 1 м.

Ответ: х_с = 2,6 м, y_с = 1 м.

Задача 14. Определить координаты центра тяжести круглой однородной плоской пластины с круглым и квадратным отверстиями, расположение которых понятно из рисунка. Радиус пластины R = 2 м, радиус круглого отверстия r = 1 м, сторона квадратного отверстия а = 1 м.

Дано: R = 2 м, r = 1 м, а = 1 м.

x_c – ? y_c – ?

Решение.

Решаем задачу в системе координат, показанной на рисунке.

Разбиваем тело на три части, которыми являются сама круглая пластина без вырезов, вырезанный круг и вырезанный квадрат. Находим координаты центров тяжести этих частей.

Для пластины x₁ = 0, y₁ = 0. Площадь пластины S₁ = π R², S₁ = 12,6 м².

Для вырезанного круга x₂ = r = 1м, y₂ = 0. Площадь S₂ = π r², S₂ = 3,1 м².

Для вырезанного квадрата x₃ = – = – 0,5м, y₃ = – = – 0,5м. Площадь

S₃ = a² = 1 м².

Теперь применяем формулы для определения координат центра тяжести тела. При этом площади вырезанных круга и квадрата будут браться с отрицательным знаком.

х_с = ,

y_с = .

Подставляем числа.

х_с = = – 0,3 м,

y_с = = 0,1 м.

Ответ: х_с = – 0,3 м, y_с = 0,1 м.

Задача 15. Найти координаты центра тяжести плоского однородного треугольника.

Решение.

Разобьем треугольник на узкие полоски, параллельные стороне АВ. Центры тяжести каждой полоски лежат на ее середине. При переходе от одной полоски к другой их центры тяжести образуют медиану DE. Разбив треугольник на полоски, параллельные другой стороне, например, стороне DB, получим вторую медиану AF, точка пересечения которой с первой медианой и определит положение центра тяжести треугольника.

Таким образом, центр тяжести С треугольника находится в точке пересечения его медиан.

Из геометрии известно, что длина части медианы от точки пересечения медиан до соответствующей стороны составляет треть всей медианы. Например, для медианы DE (см. рисунок слева) СЕ = DE.

Полезно знать, что кратчайшее расстояние от точки пересечения медиан (то есть, от центра тяжести треугольника) до стороны равно трети соответствующей высоты (это легко доказывается в геометрии, мы не будем приводить это доказательство). Например, кратчайшее расстояние СМ от центра тяжести С равно DN, где DN – высота, опущенная из вершины D треугольника на сторону АВ. Аналогично и для других высот. Отсюда следует, что если треугольник прямоугольный, то его центр тяжести расположен от каждого катета на расстоянии, равном одной трети длины другого катета (см. рисунок справа).

Задача 16. Найти координату центра тяжести однородного тела, изображенного на рисунке. Считать, что а = 0,8 м, b = 0,4 м, с = 0,6 м.

Дано: а = 0,8 м, b = 0,4 м, с = 0,6 м.

x_c – ?

Решение.

Представленное однородное тело имеет ось симметрии ОХ, следовательно, его центр тяжести лежит на этой оси. Примем ось симметрии за ось координат с началом в точке О (см. рисунок).

Мысленно разбиваем тело на две части: прямоугольник и треугольник. Координата центра тяжести прямоугольника x₁ = . Площадь прямоугольника

S₁ = a b. Координата центра тяжести треугольника x₂ = а + с. Площадь треугольника S₂ = . С учетом числовых значений x₁ = 0,4 м, S₁ = 0,32 м²,

x₂ = 1 м, S₂ = 0,12 м².

Координату центра тяжести всего тела находим по формуле х_с = .

Подставив числа, получим х_с = 0,6 м.

Ответ: х_с = 0,6 м.

Задача 17. Дан плоский однородный квадрат ABCD, сторона которого равна а. Определить положение точки Е, которая расположена внутри квадрата так, что является центром тяжести тела, полученного в результате вырезания из квадрата равнобедренного треугольника AED (см. рисунок).

Дано: а.

y_E – ?

Решение.

Центр тяжести Е лежит на оси симметрии, с которой удобно совместить координатную ось OY. Начало оси располагаем в середине стороны AD. Мысленно расчленяем тело на две части: однородный квадрат (без выреза) и треугольник, который вырезали из квадрата (см. рисунок).

Находим координаты центров тяжести и площади этих частей. Координата центра тяжести квадрата у₁ = . Площадь квадрата S₁ = a². Координата центра тяжести треугольника равна ОЕ. Но по условию задачи ОЕ = у_Е – это координата у_с центра тяжести тела, которое образовалось после того, как из квадрата вырезали треугольник,

то есть ОЕ = у_Е = у_с. Тогда координата центра тяжести треугольника у₂ = у_с. Площадь треугольника S₂ = AD∙OE. Или S₂ = a∙у_с.

Координату у_с находим по формуле

у_с = .

Подставляем в эту формулу полученные выше выражения для у₁, S₁, y₂,S₂.

у_с = .

Выполнив простые преобразования, получим следующее квадратное уравнение:

2 Решив это уравнение, будем иметь

у_с = Первое значение координаты (когда перед корнем стоит знак плюс) отбрасываем, так как ее величина оказывается равной 2,4 а, то есть в этом случае точка Е будет находится вне тела. При отрицательном знаке перед корнем

у_с = 0,6 а. Таким образом, у_Е = у_с = 0,6 а

Ответ: у_Е = 0,6 а.