Три координаты и три проекции точки

Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x, y, z.. Абсцисса x определяет расстояние от данной точки до плоскости П₃, ордината y - до плоскости П₂ и аппликата z- до плоскости П₁.

Какая-либо точка пространства A, заданная координатами, будет обозначаться так: A (x, y, z). Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки O откладывают отрезки, соответственно равные единицам длины. На этих отрезках (OA_X, OA_Y, OA_Z), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет определять заданную точку A.

Построение параллелепипеда позволяет определить не только точку A, но и все три ее ортогональные проекции.

Лучами, проецирующими точку на плоскости П₁, П₂ и П₃, являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке A.

Рис. 3. – Пространственный макет точки T.

На эпюре, где все плоскости проекций совмещены, проекции A₁ и A₂ окажутся на одном перпендикуляре к оси OX, а проекции A₂ и A₃ - на одном перпендикуляре к оси OZ.

Рис. 4. – Комплексный чертеж точки T.

Структура решения (этапы решения и их взаимосвязь).

1. Преобразования из трехмерных координат в экранные координаты:

   1. координатных осей, координат точек и линий проекций пространственного чертежа.

   2. координат точек и линий проекций для комплексного чертежа.

2. Отрисовка:

   1. пространственного чертежа;

   2. комплексного чертежа.

Обзор и анализ методов решения.

1. Преобразования из трехмерных координат в экранные координаты.

Для изображения проекций точки на пространственном или комплексном чертеже необходимо сначала перевести трехмерные координаты этой точки в двумерные.

1. преобразование координатных осей, координат точек и линий проекций пространственного чертежа.

Даны координаты точки А в трехмерной декартовой системе координат пространства - x, y, z, а также угол α между положительным направлением оси OY и отрицательным направлением оси OX на пространственном макете, ширина и высота чертежа – w и h.

Для построения пространственного чертежа необходимо рассчитать:

1. экранные координаты оси OY;

2. экранные начальные координаты пространственного чертежа;

3. экранные координаты точки А;

4. экранные координаты проекций точки на плоскости - А₁, А₂, А_3;

5. экранные координаты проекций точки на координатные оси – А_X, А_Y, А_Z;

Экранная система координат выглядит следующим образом:

Экранные координаты координатных осей вычисляются по следующим формулам:

ось x

x0 = 0; координаты начала

y0 = h/2; оси OX

x1 = w; координаты конца

y1 = h/2; оси OX

ось y

x4 = 0; координаты начала

y4 = h / 2 - ang; оси OY

x5 = w; координаты конца

y5 = h/2 + ang; оси OY

ось z

x2 = w / 2; координаты начала

y2 = 0; оси OZ

x3 = w / 2; координаты конца

y3 = h; оси OZ

где ang = tg(α) * w / 2);

Начальные координаты находятся следующим образом: x0 = w / 2; y0 = h / 2;

Выведем координаты проекций точки А.

Рассмотрим следующий рисунок.

x₀, y₀– начальные координаты;

x, y, z – координаты точки А;

x_2, y_{2 –} координаты от экранных осей до ближних точек проекций;

Δx, Δy – координаты между проекцией на ось и проекцией на плоскость;

α – угол между положительным направлением OY и отрицательным направлением OX.

Найдем Δx, Δy из треугольников:

∆x = y*cos(α),

∆y = y*sin(α).

Теперь вычислим экранные координаты точек проекций на плоскости и на координатные оси:

АX = x0 – x + y*cos(α) координаты точки А АY = y0 – z + y*sin(α)

Координаты проекций на плоскости: А₁X = x0 – x + y*cos(α) А₁Y = y0 + y*sin(α)

А₂X= x0 – x А₂Y= y0 – z

А₃X = x0 + y*cos(α) А₃Y = y0 – z + y*sin(α)

Координаты проекций на оси:

А_xX = x0 + y*cos(α) А_xY = y0 + y*sin(α)

А_yX = x0 – x А_yY = y0

А_zX = x0 А_zY = y0 – z

2. координат точек и линий проекций для комплексного чертежа.

Даны координаты точки А в трехмерной декартовой системе координат пространства – x, y, z, а также ширина и высота чертежа – w и h. Для построения комплексного чертежа нам необходимо найти:

1. экранные начальные координаты комплексного чертежа;

2. координаты точек комплексного чертежа: A₁, A₂, A₃, A_x, A_y1, A_y2, A_z.

Начальные координаты находятся следующим образом: x0 = w / 2 y0 = h / 2

Рассмотрим следующий рисунок:

Расстояния x, y, z обозначены в соответствии с построением пространственного чертежа.

Из этого рисунка найдем координаты точек проекций на оси и на плоскости:

A₁X = x0 – x A₁Y = y0 + y

A₂X= x0 – x A₂Y= y0 – z

A₃X = x0 + y A₃Y = y0 – z

A_xX = x0 – x A_xY = y0

A_y1X = x0 + y A_y1Y = y0

A_y2X = x0 A_y2Y = y0 + y

A_zX = x0 A_zY = y0 – z

2. Отрисовка.

Для изображения необходимых объектов мы используем различные функции, определенные в C#, типа DrawLine, DrawString, DrawEllipse, DrawArc и т.д. Рисовать будем по вспомогательным координатам, рассчитанным на предыдущем этапе.

При каждом изменении положения одного из ползунков необходимо будет перерисовать чертежи. Во время перерисовки экрана, предыдущий чертеж стирается и рисуется новый.