Разрешимость логических программ. Спецификация программ

Разрешимость ЛП и значение ЛП – тесно связанные понятия.

Пусть Р – множество процедур, G- задача: ?g1(t), …, gn(t).

Тогда парой (P, G) обозначим программу.

Определение 6. (P, G) разрешима <=> (Θ) (P |= g1(tΘ), …, gn(tΘ)).

Разрешимость пары (P, G) можно установить либо исполнением программы (P,G), либо анализом спецификаций этой программы.

Определение 7. Спецификация программы (P, G) – это любое множество определений, которое точно задает каждое отношение программы.

Пример. Специфицируем отношение подмножества (X, Y), т.е. X – подмножество Y.

S1: подмножество(X, Y) <=> (U) (U  Y если U  X).

Обозначим S = { S1, …, Sn}, P = { P1, …, Pm, G}.

Доказательство корректности P относительно S и является проверкой правильности программы (верификацией).

Верификация сводится к доказательству того,

1. что вычисленные решения являются правильными,

2. все правильные решения получены данными программы.

Полагаем:

что G представляет только одну цель, только один вызов,

что S непротиворечиво, написано на языке логики предикатов 1 порядка.

Обозначим:

gs – основное специфицируемое отношение,

Rs – множество решений tΘ, которые удовлетворяют соотношению S |= gs(tΘ).

Это интервал целевого утверждения относительно S: Rs = { tΘ | S |= gs(tΘ) }

(если t содержит термы-переменные, то gs(t) выделит некоторую часть отношения gs).

Определение 8. Решение tΘ называется специфицируемым, если tΘ  Rs.

Верификация программы (P, G) должна выяснить, является ли tΘ вычисляемым.

Введем интервал (вычисляемое отношение) R = { tΘ | P |= gs(tΘ) } для определения таких решений, которые порождаются tΘ.

Тогда tΘ – вычисляемое решение задачи G, если tΘ  R.

Замечания.

1. Если кортеж tΘ не содержит переменных, то tΘ  R.

2. Если интервал Rs пуст, то программа не должна иметь решения, то программа неразрешима.

Определение 9. Если программа (P, G) полностью правильная, то:

1. Вычисляемое программой решение правильно относительно S. (частичная правильность)

2. Каждое решение, приписываемое спецификацией S предложению G должно быть вычисляемым программой (P, G). (полнота)

Определение 10. Программа частично правильна <==> выполняется 1 из условий:

1. (Θ) ( (tΘ  R) => (tΘ  Rs)).

2. R  Rs.

3. (Θ) ( (P |= gs(tΘ)) => (S |= gs(tΘ)) ).

Т.е. совсем не требуется, чтобы tΘ вычислялось, а требуется, чтобы вычисляемое решение было специфицируемым.

Замечания.

1. Неразрешимые программы являются частично правильными.

2. Программа, не вычисляющая никакого решения, не может вычислить и правильного решения.

Определение 11. Программа (P, G) полна для G относительно S <==> выполняется 1 из условий:

1. (Θ) ( (tΘ  Rs) => (tΘ  R)).

2. Rs  R.

3. (Θ) ( (S |= gs(tΘ)) => (P |= gs(tΘ)) ).

Т.е. процедур из P достаточно, чтобы вычислить все решения из Rs.

Некоторые множества Р являются полными вне зависимости от G. Их называют полными относительно S.

Определение 12. P полно относительно S <=> (T) ( (S |= gs(T)) => (P |= gs(T)) ) где Т не обязательно имеет вид tΘ.

Определение 13. Программа (P, G) является полностью правильной относительно S <==> выполняется 1 из условий:

1. (Θ) ( (tΘ  Rs) <=> (tΘ  R)).

2. Rs = R.

3. (Θ) ( (S |= gs(tΘ)) <=> (P |= gs(tΘ)) ).

Т.е. вычисляемое и специфицируемое решения совпадают.

Замечание. Если (P, G) не является полностью правильной, то:

1. Либо она вычисляет некоторое неправильное решение, т.к. Р неправильно описывает проблемную область.

2. Либо не может вычислить некоторое правильное решение, т.к. не хватает информации о проблемной области.

Задача. Написать БД, позволяющую осуществить поиск ответов на вопросы:

1. Является ли человек Х студентом?

2. Человек Х успевает?

3. Получает ли человек Х стипендию?

Решение.

1. Возможные спецификации:

S1: студент(Х) <=> (X  студ).

S2: успевающий(Х) <=> (X  усп).

S3: получает-стипендию(Х) <=> (X  студ, X  усп).

S4: ?студент(x) <=> (x  студ) => T1=true.

S5: ?успевающий(x) <=> (x  усп) => T2=true.

S6: ?получает-стипендию(x) <=> (T1=true, T2=true) => T3=true.

S7: студ = { иванов, петров, сидоров }.

S8: усп = { иванов, петров, сидоров }.

Rs = { X=иванов, X=петров, X=сидоров }.

2. Программа (P, G):

P1: студент(иванов).

P2: студент(петров).

P3: студент(сидоров).

P4: успевающий(петров).

P5: успевающий(сидоров).

P6: получает-стипендию(Х) :- студент(Х), успевающий(Х).

R = { X=петров, X=сидоров }.

Вывод программа частично правильна.

Чтобы сделать ее полностью правильной, необходимо добавить предложение

P7: успевающий(иванов).

Замечание. Сформулированные критерии называются минимальными (правильность зависит от G).

Пример. Программа становится неправильной лишь при замене G (P сохраняется).

Р1: сумма(Т, 0, Т).

Р2: сумма(Y, 2, 3).

Р3: сумма(Т, 1, Z) :- сумма(Т, 0, Y), сумма(Y,2, Z).

G: ? сумма(2, 1, Х).

1. Cпецификации:

S1: сумма(T1, T2, T3) <=> T3=T1+T2.

S2: ? сумма(2, 1, X) <=> (X=2+1, X=3).

Rs = { X=3 }.

2. Вычислим решение, составляющее R с помощью стандартной стратегии управления:

S0:  сумма(2, 1, Х).

Р1: сумма(Т, 0, Т).

-----------------------------------------

Θ = .

S0:  сумма(2, 1, Х).

Р2: сумма(Y, 2, 3).

-----------------------------------------

Θ = .

S0:  сумма(2, 1, Х).

Р3: сумма(Т, 1, Z).

-----------------------------------------

Θ = { T:=2, Z:=X }.

S1:  сумма(2, 0, Y).

Р1: сумма(2, 0, 2).

-----------------------------------------

Θ = { T:=2, Z:=X, Y:=2 }.

S2:  сумма(2, 2, X).

Р2: сумма(2, 2, 3).

-----------------------------------------

S3: .

R = { X=3 }.

Изменим целевое утверждение. Обратимся к программе с вопросом:

G: ? сумма(1, 1, Х).

S2': сумма(1, 1, X) <=> (X=1+1, X=2).

Программа вычисляет решение R’s = { X=2 }

Очевидно, что Rs <> R’s.

Поэтому программа не является правильной для данного G.

Объяснение. Использованные критерии правильности являются необходимыми условиями.

Они не накладывают ограничений на отдельные процедуры. Процедура Р2 бессмысленна (она не верна Y<>1). По этой причине на практике пользуются достаточными условиями правильности программ.

Теорема 1. Если S |= P, то (P, G) частично правильная относительно S.

□:

tΘ – произвольно вычисляемое решение для целей. Поэтому

S |= P } P |= gs(tΘ) => S |= gs(tΘ) (в силу транзитивности).

tΘ

Таким образом, выполняется (Θ) ( (P |= gs(tΘ)) => (S |= gs(tΘ)) ).

Следовательно, по определению, (P, G) частично правильная.

■.

Теорема 2. Если Р полно относительно S, то Р полно для цели G относительно S.

□:

В силу того, что Р полно относительно S:

(t) ( (S |= gs(t)) => (P |= gs(t)) )

в силу произвольности t следует, что какую бы подстановку мы не взяли, можно работать с решением:

(Θ) ( (S |= gs(tΘ)) => (P |= gs(tΘ)) ).

Следовательно, Р полно для G относительно S по определению.

■.

Теорема 3. Если S |= P и Р полно относительно S то (P, G) полностью правильная относительно S.

□:

Т.к. S |= P то (P, G) частично правильная относительно S. (теорема 1)

Т.к. Р полно относительно S то (Р, G) полна для цели G относительно S. (теорема 2)■.

Замечания.

1. Условие S |= P не зависит от G. Смысл условия: Р полностью описывает S. На практике неполнота Р может быть оправдана необходимостью вычислений неполного пространства решений программы (Р, G) или негибкостью языка представления процедур Р.

2. Если (Р, G) полна относительно S, то из (Θ) (S |= gs(tΘ)) следует, что (Р, G) разрешима. Обратное неверно.

3. Если (Р, G) частично правильна, (Θ) (S |= gs(tΘ)), то (Р, G) – неразрешима. Обратное неверно.