Співвідношення в прямокутному трикутнику:
Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відповідно пропорційні двом іншим сторонам.
Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним (або середнім геометричним) між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу. Тобто квадрат катета прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на проекцію цього катета на гіпотенузу.
Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним (середнім геометричним) між проекціями катетів на гіпотенузу, тобто квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.
Описане коло багатокутника — коло, що містить всі вершини багатокутника. Центром є точка (прийнято позначати O) перетину серединних перпендикулярів до сторін багатокутника.
Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить на точці перетину серединних перпендикулярів його сторін. Звідси випливає, що коли навколо n-кутника побудоване описане коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола).
Навколо будь-якого правильного багатокутника можна описати коло.
Трикутник
Коло, описане довкола трикутника
Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, до того ж тільки одне. Його центром буде точка перетину серединних перпендикулярів.
У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупокутного - поза трикутником, у прямокутного - на середині гіпотенузи.
Вписане коло трикутника — це найбільше коло, розташоване в трикутнику, яке дотичне до трьох його сторін. Центр вписаного в трикутник кола називають інцентром. Інцентром також називають точку перетину бісектрис трикутника.
Паралелограм
Паралелогра́м — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.
Існує декілька окремих видів паралелограма:
Прямокутник — паралелограм, всі кути якого прямі;
Ромб — паралелограм, всі чотири сторони котрого рівні між собою;
Квадрат — рівнобічний прямокутник.
Властивості паралелограма
Протилежні сторони паралелограма рівні, тобто AB=DC та AD=BC.
Протилежні кути паралелограма дорівнюють один одному: ∠A=∠C та ∠B=∠D.
Діагоналі паралелограма перетинаються та в точці перетину діляться навпіл.
Сума кутів, які торкаються однієї сторони, дорівнює 180°. Загальна сума кутів паралелограма дорівнює 360°.
Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєнній сумі квадратів його сторін (правило паралелограма).
Ромб, його властивості. Квадрат, його властивості
Ще одні представники класу паралелограмів — ромб і квадрат.
Паралелограм, у якого всі сторони рівні, називається ромбом.
Властивості ромба
Протилежні кути ромба рівні.
У ромба сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.
Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.
Діагоналі ромба перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
Ознаки ромба
Якщо в паралелограмі діагоналі перетинаються під прямим кутом, то цей паралелограм є ромбом.
Якщо в паралелограмі діагоналі є бісектрисами його кутів, то цей паралелограм є ромбом.
Якщо в паралелограмі дві суміжні сторони рівні, то цей паралелограм є ромбом.
Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то цей чотирикутник є ромбом.
Якщо в паралелограмі одна з діагоналей є бісектрисою його кута, то цей паралелограм є ромбом.
Якщо в чотирикутнику діагоналі є бісектрисами його кутів і перетинаються під прямим кутом, то цей чотирикутник є ромбом.
Трапеція, її властивості
Чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні, називається трапецією.
Основи трапеції — дві паралельні сторони; бічні сторони — дві інші.
Висотою трапеції називається відрізок, перпендикулярний до прямих, що містять основи трапеції, і з кінцями на цих основах.
Рівнобічна трапеція — це трапеція, у якої бічні сторони рівні.
Прямокутна трапеція — це трапеція, одна бічна сторона якої перпендикулярна її основам. У прямокутної трапеції два кути прямі, один гострий і один тупий. Бічна сторона трапеції, перпендикулярна до її основ, є меншою бічною стороною і дорівнює висоті трапеції.
Властивості трапеції
Сума кутів трапеції, прилеглих до однієї бічної сторони, дорівнює 180°. У рівнобічної трапеції кути при кожній основі рівні.
У рівнобічної трапеції діагоналі рівні і нахилені до основи під однаковими кутами.
Ознаки рівнобічної трапеції
Якщо у трапеції кути при основі рівні, то трапеція рівнобічна.
Якщо у трапеції діагоналі рівні, то трапеція рівнобічна.
Якщо у трапеції діагоналі утворюють з основами рівні кути, то трапеція рівнобічна.
Коло. Круг
Коло — це фігура, що складається з усіх точок площини, рівновіддалених від деякої точки. Дана точка має назву центр кола.
Зверніть увагу! Центр кола не є точкою кола.
Відстань від центра кола до його точок, а також будь-який відрізок, що з'єднує точку кола з його центром, називається радіусом кола.
Хорда — відрізок, що з'єднує дві будь-які точки кола.
Діаметр — хорда, що проходить через центр кола.
Діаметр кола дорівнює двом її радіусам.
Діаметр кола, що перетинає хорду в її середині, є перпендикулярним до неї, і навпаки.
Рівні хорди знаходяться від центра кола на однаковій відстані (рівновіддалені). Рівновіддалені від центра кола хорди є рівними.
Довжина кола дорівнює двом радіусам, помноженим на константу π, що має наближене значення 3,14, або діаметру, помноженому на π.
Довжина кола С = 2πr або С = πd.
Кола, що мають спільний центр, називаються концентричними колами.
Кола, що мають рівні радіуси, є рівними.
Коло поділяє площину на зовнішню і внутрішню її частини.
Коло разом з внутрішньою його частиною площини називають кругом.
Круг має центр, радіус і діаметр ті ж, що й у кола.
Площа кола дорівнює квадрату його радіуса, помноженого на константу π: S = πr2.