1. Додавання й віднімання дробових виразів

Щоб додати або відняти дробові вирази з однаковими знаменниками, треба додати або відняти їхні чисельники, а знаменник залишити той самий.

Щоб додати або відняти дробові вирази з різними знаменниками, треба звести їх до найменшого спільного знаменника, після чого додати або відняти чисельники одержаних дробових виразів, а знаменник залишити той самий.

Запам’ятайте!

Щоб звести дробові вирази до найменшого спільного знаменника, треба:

- розкласти знаменники на множники;

- скоротити дані дроби, якщо це можливо;

- обрати в найменший спільний знаменник найменше спільне кратне числових коефіцієнтів і кожен множник зі змінною, що є в знаменниках дробів, узятих у найбільшому степені;

- знайти доповняльні множники для кожного дробового виразу і помножити на них чисельники та знаменники дробів.

2) Множення дробових виразів

Щоб помножити дробові вирази, треба перемножити і їхні чисельники, і їхні знаменники. Перший добуток записати в чисельник добутку, а другий — у знаменник добутку.

3) Ділення дробових виразів

Щоб поділити дробові вирази, треба помножити ділене на дріб, обернений до дільника.

4) Піднесення до степеня дробового виразу

Щоб піднести дробовий вираз до степеня, треба піднести до цього степеня і чисельник, і знаменник. Перший степінь записати в чисельник, а другий — у знаменник.

Відсо́ток або також проце́нт (лат. «pro centum» — сота доля, на сто). Відсотком якого-небудь числа називають соту частину цього числа.

Позначається знаком % і означає соту долю.

.

Відповідно .

Модуль дійсного числа

Модулем числа називається число, яке дорівнює самому числу, якщо воно невід’ємне, і протилежному числу, якщо воно від’ємне. Модуль числа ще називають його абсолютною величиною.

Зверніть увагу! Модуль числа є числом невід’ємним, тобто додатним або нулем.

Геометричним представленням модуля числа на координатній прямій є відстань від початку координат до точки, що зображує дане число.

Модуль числа має такі властивості:

- Корінь квадратний із квадрата будь-якого числа дорівнює модулю цього числа;

- Модуль суми чисел не більший за суму їх модулів;

- Модуль різниці двох чисел не менший від різниці модулів зменшуваного і від’ємника;

- Модуль добутку чисел дорівнює добутку модулів множників;

- Модуль частки двох чисел дорівнює частці їх модулів при умові, що дільник не дорівнює нулю;

- Якщо модуль заданого числа менше або дорівнює деякому додатному числу, то задане число більше або дорівнює протилежному числу, але менше або дорівнює самому цьому числу.

Квадратний корінь з числа x — це таке число (матриця, функція, оператор і т. п.), квадрат якого (результат множення на себе) дорівнює x. Квадратний корінь часто називають просто корінь. Серед чисел, квадрат яких дорівнює додатному числу , обов'язково є додатне число(крім 0). Це число називається арифметичним значенням квадратного кореня і позначається символом або як .

Многочлен (или полином) от n переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

	квадрат суми двох виразів дорівнює квадрат першого виразу додати подвоєний добуток цих виразів додати квадрат другого виразу.
	квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрат першого виразу відняти подвоєний добуток цих виразів додати квадрат другого виразу.
	різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці та суми цих виразів.
	квадрат суми трьох виразів дорівнює квадрат першого виразу додати квадрат другого виразу додати квадрат третього виразу додати подвоєний добуток першого та другого виразу додати подвоєний добуток першого та третього виразу додати подвоєний добуток другого та третього виразу.

Арифмети́чна прогре́сія це послідовність дійсних чисел виду

де  — це перший член прогресії,  — це фіксована різниця між попереднім та наступним. Формула для знаходження -го члена прогресії:

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

Сума перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

.

Сума послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з члена :

;

Сума перших натуральних чисел:

.

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія про те, як Карл Ґаус відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб по-довше зайняти дітей, вчитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — 1+2+...+99+100. Ґаус помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101 і т. д., і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює 5050. Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули , тобто до формули суми перших n чисел натурального ряду. Також арифметична прогресія відноситься до такого розділу з математики, як комбінаторика. Узагальненням арифметичної прогресії є рекурентне співвідношення.

Геометрична прогресія — послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається знаменником прогресії. Знаменник прогресії не дорівнює 1 (одиниці) Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці — прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці — прогресія спадна. У випадку коли знаменник прогресії менше нуля — прогресія знакозмінна.

Приклади:

• послідовність степенів 2 є геометричною прогресією: 2, 4, 8, 16, 32, ….

• геометрична прогресія із першим елементом 3, та знаменником −2: 3, −6, 12, −24, 48, ….

Степінь натурального числа з натуральним показником

Степенем називається добуток кількох рівних множників.

Наприклад,

3•3=3² – другий степінь числа 3, або квадрат числа 3; х•х•х=х³ – третій степінь змінної х, або куб змінної х; с•с•с•с•с=с⁵ – п'ятий степінь змінної с;

Піднести число 2 до третього степеня – означає перемножити три двійки, тобто 2³=2•2•2=8.

Число яке підносять до степеня – основа степеня, число яке показує до якого степеня підноситься основа – показник степеня.  

Першим степенем числа домовились вважати саме це число: а¹ – те саме число, що й а. Показник 1 не прийнято писати.

Степінь дійсного числа з натуральним показником

Поняття степеня натурального числа з натуральним показником узагальнюється на степінь дійсного числа з натуральним показником:

аⁿ = а•а•а…а.

Будь-який степінь додатного числа є число додатне.

Парний степінь від'ємного числа – число додатне.

Непарний степінь від'ємного числа – число від'ємне.

Властивості степеня дійсного числа з натуральним показником

1) Основна властивість степеня:

Яке б не було а і натуральні показники степенів m і n, завжди а^m • аⁿ=а^m+n. З основної властивості степеня випливає

При множенні степенів з однаковою основою показники степенів додають, а основу залишають ту ж саму.

2) При діленні степенів з однаковою основою показники степенів віднімають, а основу залишають ту ж саму.

3) Яке б не було а і натуральні показники степеня m і n, завжди.

Щоб піднести степінь до степеня, потрібно показники степенів перемножити, а основу залишити ту саму.

(аⁿ)^m=а^nm=(а ^m) ⁿ; 4) Щоб піднести добуток до степеня, потрібно кожен з множників піднести до степеня.

(ас) ⁿ=а ⁿ•с ⁿ;

Цю формулу часто застосовують в зворотньому порядку.

Щоб піднести частку до степеня, потрібно кожен з множників піднести до степеня.

5) Один в будь-якому степені дорівнює один.

1ⁿ=1;

6) Будь-яке число в першому степені дорівнює самому числу.

а¹=а; Зауваження.

Розв´язуючи приклади, зручно скорочувати вирази, оскільки це швидше приводить до результату.

Лінійні рівняння з одним невідомим

Рівняння виду , де a і b — деякі числа, а х — невідоме, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Числа a і b називають коефіцієнтами.

Кількість коренів лінійного рівняння

1. Якщо , лінійне рівняння має єдиний корінь: . 2. Якщо , , лінійне рівняння коренів не має, бо рівняння набуває вигляду . 3. Якщо , , лінійне рівняння набуває вигляду , де х — довільне число, і рівняння має безліч коренів

Квадратним тричленом називається многочлен вигляду ax² + bx + c, де x — змінна, a, b і c — деякі числа-коефіцієнти, при цьому a ≠ 0. Коренями квадратного тричлена називаються числа, при яких тричлен дорівнює нулю.

Отже, щоб знайти корені квадратного тричлена, треба скласти відповідне йому квадратне рівняння (у лівій частині даний тричлен, у правій — нуль) і розв’язати його. Корені квадратного рівняння будуть коренями відповідного квадратного тричлена.

Якщо числа x₁ і x₂ є коренями деякого квадратного тричлена, то його можна розкласти на три множники, один із яких є першим коефіцієнтом тричлена при x², а два інші є різницею змінної x і кожного з коренів тричлена: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂).

Якщо квадратний тричлен має один корінь, то його можна розкласти на множники, один із яких є першим коефіцієнтом, а другий є квадратом різниці змінної x і кореня тричлена: ax² + bx + c = a(x - x₁)².

Якщо тричлен коренів не має, то його не можна розкласти на лінійні множники.

Неповні квадратні рівняння

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо , то перетворюється у лінійне рівняння . Якщо хоч один коефіцієнт або дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

• ;

• ;

• .

Розв'язування неповних квадратних рівнянь

• Рівняння виду рівносильне рівнянню і тому завжди має тільки один корінь .

• Рівняння виду розв'язується винесенням за дужки : . Таке рівняння має два корені:

• Квадратне рівняння виду рівносильне рівнянню . Якщо , воно має два дійсних розв'язки, якщо  — жодного дійсного. Отже, якщо знаки коефіцієнтів різні, то додатне і рівняння має два корені. Якщо знаки коефіцієнтів однакові, число від'ємне і не має дійсних коренів. Теорема Вієта: Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток– вільному члену.

Область визначення — множина допустимих значень аргументу функції. Позначається як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).

Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.

Відіграють важливу роль при дослідженні періодичних функцій та багатьох об'єктів. Наприклад, при дослідженні рядів, диференційних рівнянь.

Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.

• синус (sin)

• косинус (cos)

• тангенс (tg = sin / cos)

• котангенс (ctg = cos / sin)

Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник. Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи: Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи: Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета: Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета.

Теорема косинусів: Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними

Теорема синусів: Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів

Основні тригонометричні формули

Формула

tg (30°) = (√3)/3 = 1/√3 tg (45°) = 1 tg (60°) = √3 сos (30°) = (√3)/2 сos (45°) = (√2)/2 = 1/√2 сos (60°) = 1/2 sin (30°) = ½ sin (45°) = (√2)/2 = 1/√2 sin (60°) = (√3)/2

Геометрія

Суміжні та вертикальні кути, їх властивості

Суміжними називаються два кути, одна сторона яких спільна, а дві інші утворюють пряму, тобто є доповняльними променями.

Сума суміжних кутів дорівнює 180 градусам.

Два суміжних кути утворюють розгорнутий кут.

Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути теж рівні.

Кут, суміжний із прямим кутом, є прямим.

Кут, суміжний з гострим кутом, є тупим.

Кут, суміжний з тупим кутом, є гострим.

Будь-який промінь, що виходить із вершини розгорнутого кута і проходить між його сторонами, поділяє його на два суміжні кути.

Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.

Два кути, суміжні з одним і тим же кутом, рівні.

Якщо два суміжні кути рівні, то вони прямі.

Вертикальними називаються два кути, сторони одного з яких є додатковими променями до сторін другого кута.

Вертикальні кути рівні.

При перетині двох прямих утворюються дві пари вертикальних кутів і чотири пари суміжних кутів.

Якщо відомий один із кутів, що утворились при перетині двох прямих, то знайти інші кути можна таким чином: знайти кут, суміжний з даним, враховуючи, що їх сума 180 градусів, після чого знайти кути, вертикальні з відомими, враховуючи, що вертикальні кути рівні.

Трику́тник у евклідовій геометрії — три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізки, що їх сполучають. Трикутник з вершинами A, B, і C позначається ABC. Трикутник є многокутником

Трикутники можна класифікувати в залежності від відносної довжини його сторін:

• В рівносторонньому трикутнику всі сторони мають однакову довжину. Всі кути рівностороннього трикутника також рівні і дорівнюють 60°. Рівносторонній трикутник ще називають правильним.

• В рівнобедреному трикутнику дві сторони мають однакову довжину, третя сторона при цьому називається основою трикутника. Рівнобедрений трикутник також має однакові кути, які знаходяться при його основі.

• Різносторонній трикутник має сторони різної довжини. Внутрішні кути різностороннього трикутника різні.

Також трикутники можна класифікувати відповідно до їх внутрішніх кутів:

• Прямокутний трикутник має один внутрішній кут рівний 90° (прямий кут). Сторона, протилежна до прямого кута, називається гіпотенуза. Інші дві сторони називаються катетами прямокутного трикутника.

• Тупокутний трикутник має один внутрішній кут більший ніж 90°.

• В гострокутному трикутнику всі кути менші за 90°. Рівносторонній трикутник є гострокутним, але не всі гострокутні трикутники рівносторонні.

Теорема 1

Кути біля основи рівнобедреного трикутника рівні між собою

Теорема 2

Медіана в рівнобедреному трикутнику, яку провели до його основи, є також висотою і бісектрисою

Теорема 3

Якщо в трикутнику два кути рівні між собою, то такий трикутник рівнобедрений

Теорема 4

Якщо в будь-якому трикутнику його медіана є також і його висотою, то такий трикутник рівнобедрений

Теорема 5

Якщо три сторони трикутника рівні трьом сторонам іншого трикутника, то ці трикутники рівні.

Рівність фігур

Дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться рухом одна в одну. Теорема. Рівні трикутники (означення дивись у розділі «Геометрія.») є рівними фігурами, тобто суміщаються рухом.

Ознаки рівності трикутників

Теорема 1 (перша ознака рівності трикутників — за двома сторонами й кутом між ­ними). Якщо дві сторони й кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні. Теорема 2 (друга ознака рівності трикутників — за стороною й прилеглими до неї ку­тами). Якщо сторона й прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні. Теорема 3 (третя ознака рівності трикутників — за трьома сторонами). Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.