Глава XX

Об одиннадцатом великолепном следствии

Если разделить сторону равностороннего шестиугольника в соответ­ствии с нашей пропорцией, то всегда ббльшая ее часть неизбежно будет стороной десятиугольника, вписанного в тот же круг, что и шестиуголь­ник. <...> Отсюда очевидно, что если имеется сторона одного, то легко найти сторону другого и равным образом, имея диаметр круга или его окружность, или ее площадь, или иную его часть, всегда можем найти одно через другое и наоборот. <...>

Глава XXI

О ее двенадцатом трудно вообразимом следствии

Если какая-либо величина разделена согласно нашей пропорции, то всегда корень из суммы квадрата всей величины и квадрата большей части ее будет пропорциональным корню из суммы квадрата всей величины и квадрата меньшей ее части, как сторона куба [пропорциональна] стороне треугольника тела, имеющего двадцать оснований. <...>

Глава XXII о тринадцатом ее великолепном следствии

Тринадцатое следствие вызывает немалое восхищение, так как без его помощи невозможно образовать пятиугольник, то есть фигуру с пятью равными сторонами, как показано выше и будет рассмотрено дальше.

Без пятиугольника, как будет доказано, нельзя ни образовать, ни представить самое благородное тело среди всех правильных тел — двенадцатиугольник, то есть тело с двенадцатью равными гранями и углами, иначе называемое телом с двенадцатью пятиугольными основани­ями. Эту форму, как будет показано выше, божественный Платон приписывает Пятой сущности, то есть небу⁷, на соответствующих основаниях. <...>

Глава XXIII

Как во имя нашего блага завершаются эти следствия

Я не считаю нужным, досточтимый герцог, останавливаться здесь больше на бесконечных следствиях [вытекающих из нашей пропорции].

Среди них мы выбрали только тринадцать из почтения к группе

двенадцати [апостолов] и их священнейшего главы — нашего искупителя Иисуса Христа, поскольку им приписывается божественное имя, и закончить их также нужно ради нашего блага по числу двенадцати статей и двенадцати апостолов [во главе] с нашим спасителем. Полагаю, что ваше герцогское величество питает особое почтение к этой коллегии, о чем свидетельствует священный храм делле Грацие, спроектированный блестя­щим карандашом нашего знаменитого Леонардо⁸. Кроме того, нет необходимости излагать в дальнейшем прочие [следствия], поскольку, как будет показано, невозможно ни образовать, ни вообразить гармонию и должное соотношение между всеми правильными телами и производными от них, с этой целью мы и изложили их здесь, чтобы сделать более очевидным то, что из них вытекает.

Глава XXIV

Как данные следствия участвуют в образовании тел

Итак, досточтимый герцог, высокие свойства и возможности нашей пропорции с ее исключительными следствиями, о которых мы говорили выше, проявляются в образовании и построении тел, как правильных, так и производных. Для лучшего понимания мы будем говорить о них в строгой последовательности: сначала — о пяти главных, которые иначе называются правильными (геби1ап), а затем — о других, достаточно отлич­ных от них производных (ёерепёепй). Но предварительно необходимо пояснить, почему первые называются правильными телами, и, кроме того, нужно доказать, что от природы невозможно образовать шестое [правиль­ное тело]. Итак, указанные тела называют правильными, потому что у них равные стороны, углы и основания и при этом каждое из них содержится в другом, как это будет показано. Они соответствуют пяти простым телам самой природы, то есть земле, воде, воздуху, огню и пятой сущности — небесной силе, которая заключает в себе все прочие [тела].

Подобно тому как природе достаточно этих пяти тел — иначе нужно предположить, что бог либо преувеличил, либо преуменьшил естествен­ную необходимость, что абсурдно, ибо — утверждает философ — бог и природа не совершают ничего понапрасну, а именно не превышают необходимое и не делают менее того, что нужно,—так и форм этих пяти тел, о которых пойдет речь,— их всего пять для украшения вселенной — не может быть больше по причине, о которой дальше. И потому не без основания, как покажем ниже, древний Платон в своем «Тимее»⁹ фигуры этих правильных тел приписывает пяти элементам, о чем было сказано выше, в связи с пятым соответствием между божественным именем и нашей пропорцией. <...>

О пропорциональности правильных тел между собой и между производными от них телами

После того как была доказана достаточность пяти указанных правиль­ных тел и невозможность существования их в количестве более пяти, тогда как производные от них можно перечислять бесконечно, следует рассмотреть пропорции между первыми и вторыми и наоборот, как в отношении их свойств, так и в отношении поверхности, а затем [пропор­ции] при вписывании одного тела в другое и наоборот, и прежде всего—в отношении их площади. Пропорциональность двух тел всегда будет иррациональной, имея в виду нашу описанную выше пропорцию, явля­ющуюся составным элементом при их построении и образовании, как уже говорилось. Исключение составляют тетраэдр, куб и октаэдр, так как строгое соотношение их с диаметром сферы, в которую они вписаны, может быть иногда рациональным, но аналогичное соотношение икосаэдра и додекаэдра никогда не может быть рациональным по указанной причине. <...> Пропорция между додекаэдром и двадцатигранником при условии, что оба вписаны в одну и ту же сферу, должна быть равна отношению всей их поверхности к поверхности тела, образованного их соединением. <...>