Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?

Общий алгоритм остаётся прежним, но здесь есть свои особенности, и некоторые участки решения целесообразно выдержать в более строгом академичном стиле:

Пример 6

Найти собственные числа и собственные векторы 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Конечно же, оприходуем сказочный первый столбец:

И, после разложения квадратного трёхчлена на множители:

В результате получены собственные числа  , два из которых кратны.

Найдем собственные векторы:

1) С одиноким солдатом   разделаемся по «упрощённой» схеме:

Из последних двух уравнений четко просматривается равенство  , которое, очевидно, следует подставить в 1-ое уравнение системы:

Лучшей комбинации не найти:  Собственный вектор: 

2-3) Теперь снимаем пару часовых. В случае двух совпавших собственных чисел может получиться либо два, либо один собственный вектор. Невзирая на кратность корней, подставим значение   в определитель  , который приносит нам следующую однородную систему линейных уравнений:

Собственные векторы – это в точности векторы фундаментальной системы решений

Собственно, на протяжении всего урока мы только и занимались тем, что находили векторы фундаментальной системы. Просто до поры до времени данный термин особо не требовался. Кстати, те ловкие студенты, которые в маскхалатах проскочили тему однородных уравнений, будут вынуждены вкурить её сейчас.

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

Единственное действие состояло в удалении лишних строк. В результате получена матрица «один на три» с формальной «ступенькой» посередине.  – базисная переменная,   – свободные переменные. Свободных переменных две, следовательно, векторов фундаментальной системы тоже два.

Выразим базисную переменную через свободные переменные:  . Нулевой множитель перед «иксом» позволяет принимать ему совершенно любые значения (что хорошо видно и из системы уравнений).

В контексте данной задачи общее решение удобнее записать не в строку, а в столбец:

Паре   соответствует собственный вектор:  Паре   соответствует собственный вектор: 

Примечание: искушенные читатели могут подобрать данные векторы и устно – просто анализируя систему  , но тут нужны некоторые знания: переменных – три, ранг матрицы системы – единица, значит, фундаментальная система решений состоит из 3 – 1 = 2 векторов. Впрочем, найдённые векторы отлично просматриваются и без этих знаний чисто на интуитивном уровне. При этом даже «красивее» запишется третий вектор:  . Однако предостерегаю, в другом примере простого подбора может и не оказаться, именно поэтому оговорка предназначена для опытных людей. Кроме того, а почему бы не взять в качестве третьего вектора, скажем,  ? Ведь его координаты тоже удовлетворяют каждому уравнение системы, и векторы    линейно независимы. Такой вариант, в принципе, годен, но «кривоват», поскольку «другой» вектор  представляет собой линейную комбинацию   векторов фундаментальной системы.

Ответ: собственные числа:  , собственные векторы: 

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти собственные числа и собственные векторы

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Следует отметить, что и в 6-ом и в 7-ом примере получается тройка линейно независимых векторов, поэтому исходная матрица представима в каноническом виде  . Но такая малина бывает далеко не во всех случаях:

Пример 8

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

Дальнейшие упрощения проводим согласно рассмотренной методике, избегая многочлена 3-ей степени:  – собственные значения.

Найдем собственные векторы:

1) С корнем   затруднений не возникает:

Не удивляйтесь, помимо комплекта   в ходу также переменные   – разницы тут никакой.

Из 3-го уравнения выразим   – подставим в 1-ое и 2-ое уравнения:

Из обоих уравнений следует: 

Пусть  , тогда:

2-3) Для кратных значений   получаем систему  .

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.

(2) Последние две строки одинаковы, одну из них удалили.

(3) Дальше пошла уместная доводка матрицы методом Жордано-Гаусса: к первой строке прибавили вторую строку.

(4) У первой строки сменили знак.

Переменные   – базисные, переменная   – свободная. Так как свободная переменная одна, то фундаментальная система решений состоит из одного вектора. И мы счастливые наблюдатели случая, когда кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор. Записываем в столбец общее решение системы:  , и, задавая свободной переменной значение  , получаем нашего героя:

Ответ: собственные числа:  , собственные векторы:  .

Исходную матрицу нельзя представить в базисе из собственных векторов   по той простой причине, что такого базиса не существует – хоть трёхмерные векторы-столбцы и линейно независимы, но самих-то их всего лишь два. Недобор.

Шестое чувство мне подсказывает, что многие воодушевились на задание повышенной сложности:

Пример 9

Найти собственные числа и собственные значения матрицы  Можно ли записать данную матрицу в канонической форме?

Не беда, если дело застопорилось, в психотерапевтических целях отложите тетрадь с решением на чёрный день. Когда заест скука – самое то =)

Успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:  – собственные значения. Найдем собственные векторы: 1)  Пусть   – собственный вектор. 2)  Пусть   – собственный вектор. Ответ: собственные значения:  , собственные векторы:  .

Пример 5: Решение: сначала найдем собственные числа. Составим и решим характеристическое уравнение: Определитель раскроем по первой строке:  – собственные значения. Найдем собственные векторы: 1)  Пусть  2)  Пусть  3)  Пусть  Ответ: собственные векторы: 

Пример 7: Решение: составим и решим характеристическое уравнение:  – собственные значения. Найдем собственные векторы: 1-2)  Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: Выразим базисную переменную   через свободные переменные:   и запишем общее решение:  . Найдём векторы фундаментальной системы, которые в данной задаче являются собственными векторами матрицы: Паре   соответствует собственный вектор:  Паре   соответствует собственный вектор:  Примечание: в качестве решения системы линейных уравнений данного пункта напрашивается тройка  , но столбец   линейно выражается через векторы фундаментальной системы. Использование такого и подобных ему решений в качестве одного из собственных векторов корректно, но нестандартно. 3)  Пусть  Ответ: собственные числа:  , собственные векторы: 

Пример 9: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель вычислим понижением порядка. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на –1. К четвёртой строке прибавим вторую строку, умноженную на  : Разложим определитель по 4-му столбцу: К третьей строке прибавим первую строку: Собственные значения:   

Найдем собственные векторы: 1)  Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: (1) Первую и третью строку поменяли местами. (2) Ко 2-ой и 3-ей строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и –2 соответственно. (3) Вторую строку разделили на 2. (4) К 3-ей и 4-ой строкам прибавили вторую строку, умноженную на –1. (5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. У первой строки сменили знак, вторую строку умножили на 2. (6) К первой и второй строкам прибавили третью строку. (7) У первой строки сменили знак, последние две строки разделили на 2. Выразив базисные переменные через свободную, запишем общее решение:  . Придаём свободной переменной значение   и получаем собственный вектор  2-3)  Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: (1) Первая и четвёртая строки одинаковы. Вторая и третья строки одинаковы. Первую и вторую строку удалили из матрицы. Выразим базисные переменные   через свободные переменные  : Таким образом, общее решение:  . Фундаментальная система состоит из двух векторов: при   получаем  ; при   получаем  .

4)  Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: (1) Первую и третью строку поменяли местами. (2) Ко 2-ой и 3-ей строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и 2 соответственно. (3) Вторую строку разделили на 2. (4) К 3-ей и 4-ой строкам прибавили вторую строку. (5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. Вторую строку умножили на –2. (6) К первой и второй строкам прибавили третью строку. (7) Последние две строки разделили на 2. Общее решение:  . Придаём свободной переменной значение   и получаем собственный вектор  .

Ответ: собственные значения:  , собственные векторы: . Перечисленные четыре четырехмерных вектора линейно независимы, поэтому матрицу можно записать в канонической форме   . Но лучше не надо =)

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)