Найти матрицу в базисе из собственных векторов

Если собственные векторы матрицы   образуют базис, то она представима в виде:

, где   – матрица составленная из координат собственных векторов,   – диагональная матрица из собственных чисел.

Такое разложение матрицы также называют каноническим или диагональным.

Рассмотрим матрицу   первого примера. Её собственные векторы   линейно независимы и образуют базис. Составим матрицу из их координат:

На главной диагонали матрицы   в соответствующем порядке располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю:

Подчёркиваю важность порядка: перестановка «двойки» и «тройки» недопустима! Точнее, переставить числа можно:  , но тогда и в матрице   следует поменять местами собственные векторы:  .

По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Жордано-Гауссанетрудно получить  . Это не опечатка – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.

Таким образом, матрица   запишется в следующем виде: 

Желающие могут перемножить три матрицы и удостовериться, что произведение равно  .

Каноническое разложение матрицы бывает удобно использовать в ряде задач, поскольку оно значительно упрощает некоторые матричные операции.

Пример 3

Записать матрицу в базисе из собственных векторов

Решение: найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение: – получены кратные собственные числа.

Мысленно либо на черновике подставим   в определитель   и запишемоднородную систему линейных уравнений:

Вторая координата принудительно равна нулю:   (иначе в первом уравнении получится неверное равенство). За «икс» можно принять любое ненулевое значение, в хорошем стиле положим, что  .

Таким образом, кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор  .

! Примечание: в общем случае такое утверждение неверно!

Канонические разложение матрицы имеет вид  , и в нашей ситуации данного разложения не существует. Почему? Потому что невозможно записать матрицу  , которая должна состоять из двух линейно независимых собственных векторов. Размерность вектора равна двум («икс» и «игрек»), но сам-то вектор – один-одинёшенек. Коллинеарный товарищ, например  , в пару не годится (хотя бы по той причине, что   и обратной матрицы   попросту не существует).

Ответ: собственные векторы не образуют базиса, поэтому требуемое разложение неосуществимо.

Обратите внимание на корректность и точность ответа – нас никто не спрашивал о собственных значениях и собственных векторах.

Задача с матрицей «три на три» отличаются бОльшей технической сложностью:

Пример 4

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей 

Решение: немного другая формулировка задачи смущать не должна – генеральная линия партии остаётся прежней. Энтузиасты могут провести самостоятельные выкладки по аналогии с Примером №1, я же ограничусь «рабочим» решением примера.

По условию требуется найти собственные векторы, но алгоритм таков, что в первую очередь всё равно нужно найти собственные числа.

Вычтем «лямбду» из всех чисел главной диагонали матрицы   и составим её характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

На этом месте немного притормозим и познакомимся с очень полезным техническим приёмом, который значительно упростит дальнейшую жизнь. Практически во всех методических пособиях вам будет предложено раскрыть все скобки, получить слева многочлен 3-ей степени, затем подбором найти корень и стать жертвой долгих мытарств, описанных в Примере №1 урока Сложные пределы. За годы практики я отработал рациональную схему, позволяющую избежать этих неприятностей:

Сначала представим в виде произведения «хвост» левой части: Выполненное действие не привело к заметному результату.

Поэтому пробуем разложить на множители квадратный трёхчлен  . Решивквадратное уравнение, получаем  .

Таким образом:

Вынесем   за скобку и проведём дальнейшие упрощения:

Решаем ещё одно квадратное уравнение, в итоге:

Это была самая длинная ветка алгоритма, в большинстве случаев произведение получается значительно быстрее.

Собственные значения всегда стараемся расположить в порядке возрастания:  

Найдем собственные векторы:

1) Мысленно либо на черновике  подставим  значение   в определитель  , с которого «снимем» коэффициенты однородной системы:

Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим:   – подставим во второе уравнение:

Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему  , из каждого уравнения которой следует, что  .

И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости. Если получается только тривиальное решение  , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена/решена система.

Компактные координаты даёт значение 

Собственный вектор: 

Крайне желательно проверить, что найденное решение  удовлетворяет каждому уравнению системы. В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.

2) Для собственного значения   по такому же принципу получаем следующую систему: 

Из 2-го уравнения системы выразим:   – подставим в третье уравнение:

Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему  , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость  .

Пусть 

Проверяем, что решение   удовлетворяет каждому уравнению системы.

Таким образом, собственный вектор:  .

3) И, наконец, собственному значению   соответствует система:

Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим   и подставим в 1-ое и 3-е уравнение:

 

Всё хорошо – выявилась линейная зависимость  , которую подставляем в выражение  :

В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»:  . На практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей, в некоторых случаях удобнее выразить   и   через   либо   и   через  . Или даже «паровозиком» –  например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет»

Положим  , тогда:

Проверяем, что найденное решение   удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор 

Ответ: собственные векторы: 

Если бы по условию требовалось найти каноническое разложение   – то здесь это возможно. Различным собственным числам соответствуют разные линейно независимые собственные векторы: составляем матрицу   из их координат, диагональную матрицу   из соответствующих собственных значений и находим обратную матрицу  .

Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей 

При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-ей степени. Кроме того, ваши решения систем могут отличаться от моих решений – здесь нет однозначности; и векторы, которые вы найдёте, могут отличаться от векторов образца с точностью до пропорциональности их соответствующих координат. Например,   и   . Эстетичнее представить ответ в виде  , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, версия  смотрится уже не очень хорошо.

Примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.