Как можно отблагодарить автора?

Решение системы при различных способах выбора базиса

Представляю вашему вниманию заключительную статью по теме решения систем линейных уравнений. Материал предназначен для читателей, владеющих техникойэлементарных преобразований на среднем и высоком уровне. Чайникам рекомендую начать с урока метод Гаусса для чайников =), ну а остальным, как людям опытным, предлагаю непосредственно перейти к обсуждению задачи.

Рассмотрим некоторую систему линейных уравнений с пятью неизвестными  . Можно было взять мЕньшее количество переменных, можно бОльшее, суть не в этом. Предположим, данная система совместна и имеет общее решение, в котором базисные переменные   выражаются через свободные переменные  .

Ответим на вопрос, который зародился ещё на уроке Несовместные системы/системы с общим решением и окончательно созрел к занятию Метод Жордано-Гаусса:

А почему, собственно, в роли базисных переменных должны выступать именно  ? Нельзя ли в качестве базиса выбрать, например, набор  ? Действительно, чем  хуже «обычных»  ? 

Примечание: здесь и далее термин «базис» используется в общем алгебраическом смысле, пожалуйста, не ассоциируйте его с аффинным базисом плоскости или пространства.

В данном примере любые три переменные из списка   могут выступать в качестве базисных переменных.

И сегодня мы узнаем, как находить решение системы в различных базисах:

Пример 1

Исследовать систему линейных уравнений на совместность. В случае совместности найти её решение при различных способах выбора базиса.

Решение: надо сказать, задачка не внушает оптимизма, велика вероятность, что система совместна и нам придётся ворочать базисы. Ещё бы – вряд ли в таком контексте условия студент отделается несовместностью системы или единственным решением =)

Но, так или иначе, первая часть предполагает исследование на совместность, которое проводится по типовой схеме с использованием теоремы Кронекера-Капелли. Спросите, зачем тут втиснулось исследование? Я взял пример из конкретной контрольной работы и решил не убирать первую часть (хотя мог бы), поскольку реализм на данном сайте ценится очень высоко.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Первую и вторую строки поменяли местами.

(2) Ко второй, третьей, четвертой строкам прибавили первую строку, умноженную на 2, –3 и –2 соответственно.

(3) Ко второй строке прибавили четвертую строку.

(4) К третьей и четвертой строкам прибавили вторую строку, умноженную на 5 и 2 соответственно.

(5) Третья и четвертая строки пропорциональны, третью строку удаляем. У последней строки меняем знак.

Если не очень понятны какие-нибудь моменты в преобразованиях, то, пожалуйста, отработайте метод Гаусса, благо, примеров я разобрал достаточно много.

Проверка системы на совместность оформляется по шаблону, рассмотренному в последнем параграфе статьи о ранге матрицы:

В результате элементарных преобразований получены эквивалентная исходным матрица системы   и расширенная матрица системы  .

Максимальный порядок ненулевого минора матрицы системы равен 3, например  , следовательно,  .

По этой же причине  .

Вывод:  , значит, по теореме Кронекера-Капелли  система совместна.

Элементарные образования приблизили нас к наиболее традиционному выбору:  – базисные переменные;   – свободная переменная.

Обратный ход метода Гаусса работает без всяких чудес. Из третьего уравнения:  – подставим во второе уравнение:

Подставим   и   в первое уравнение:

Общее решение системы в базисе   можно записать в привычном виде  , но в целях выполнения дальнейших действий его удобнее оформить так:

Запись   обозначает, что свободная переменная принимает произвольные действительные значения, порождая тем самым бесконечно много частных решений.

Выполним стандартную проверку – подставим результат в левую часть каждого уравнения исходной системы:

Получены правые части соответствующих уравнений, таким образом, общее решение найдено верно. Саму систему лучше переписать в тетрадь или распечатать – чтобы посматривать на неё в ходе последующих проверок.

По условию задачи требуется найти решение системы при различных (читай – при всех!)способах выбора базисных переменных. Помимо набора   возможны следующие варианты: Других сочетаний нет.

Не сказать, что задание сильно короткое, но с другой стороны в депрессию тоже не загонит. Начинаем путешествие:

В построенном базисе   переведём неизвестную   в разряд свободных  (  соответственно станет базисной). Переменная   содержится в третьей строке полученного решения  , поэтому нужно взять эту строку и выразить   через  :

Подставим   в оставшиеся выражения:

И, соблюдая порядок переменных, запишем решение системы в базисе 

Для самоконтроля удостоверимся, что в правых частях находятся только свободные переменные (в нашем случае  ) и константы. Запись   обозначает, что свободная переменная принимает произвольные действительные значения.

Общее решение также можно оформить и в обычном виде: .

Понимаю, что неохота, но проходим таможенный контроль:

Проверка: подставим найдённое решение в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части уравнений, что и требовалось проверить.

Осуществим переход к следующему базисному решению:

Поскольку переменная   становится свободной, то из второй строчки текущего решения   нужно выразить:

 – и подставить в оставшиеся выражения (первую и четвертую строки):

Таким образом, решение системы в базисе  :

И снова окидываем результат взглядом – справа у нас должна находиться только свободная переменная   и константы.

Проверка: подставим результат в левую часть каждого уравнения системы: Получены правые части соответствующих уравнений, значит, решение найдено верно.

Каждый раз проверку, конечно, можете и не выполнять, но тут есть одно большое и жирноеНО В рассматриваемом задании часто ошибаются по невнимательности, поэтому настоятельно рекомендую проверять решение на каждом шаге – ведь если пропустить ошибку, всё остальное тоже будет неправильно. Ещё одним аргументом выступает сам естественнонаучный принцип: любое утверждение должно быть обосновано и/или доказано. Проверка реальна? Обязательно проверяем! Кстати, не такой плохой принцип и во многих жизненных ситуациях.

Завершая задание, найдём решение системы в 4-ом базисе. Осуществим переход:

Переменные   и   меняются ролями, а значит, из первой строки текущего решения   следует выразить:

 – подставим в оставшиеся выражения (3-ю и 4-ю строки):

Записываем общее решение системы в базисе  :

Проверка: подставим найденное  решение в левую часть каждого уравнения системы:

ОК.

Желающие могут замкнуть кругосветный круиз переходом  , получив тем самым первоначальное решение.

В соответствии с условием задачи оформляем резюме:

Ответ: система совместна, решение системы при различных способах выбора базиса: 

Если в системе с четырьмя неизвестными   базис состоит из двух переменных (например,   – базисные переменные,   – свободные переменные), то переход от одного решения к другому решению следует осуществлять по тому же алгоритму, и он даже запишется несколько компактнее, чем в разобранной задаче. Правда, самих базисов будет больше:

Количество базисов системы с   переменными,   из которых образуют базис, можно подсчитать с помощью комбинаторной формулы сочетаний  .

Так, в условном примере начала урока с системой, содержащей  пять неизвестных  , три из которых образуют базис, будет уже 10 различных базисных решений.

Однако на практике я не встречал ни того, ни другого случая, видимо, связка 4 переменные – 3 базисные переменные является наиболее разумной с точки зрения объёма работы.

Такое тоже не встречалось, но на всякий пожарный: что делать, если по условию требуется найти конкретный базис, например, решение с базисными переменными   и свободной переменной  ?

При необходимости найти этот базис сразу выручит только метод Жордано-Гаусса, и ваша цель – привести расширенную матрицу системы к виду  . Если же автор задачи не торопит вас с ответом, то кроме первого способа, годится и второй, более длинный путь: получаем «традиционное» решение и «без посредников» осуществляем переход к нужному базису:  .

Очевидно, что путешествовать от базиса к базису можно по разным маршрутам и решение следующей системы служит наглядной иллюстрацией данного факта:

Пример 2

Найти решение системы линейных уравнений при различных способах выбора базиса

В образце первое базисное решение получено методом Жордано-Гаусса, который здесь более выгоден, чем обратный ход метода Гаусса. 

В предложенной системе перебор базисных решений проведён в следующем порядке:

Более стандартна последовательность первого примера, но данный вопрос не принципиален, и для закрепления алгоритма рекомендую попытаться провести решение по альтернативному маршруту, который Птицей счастья завтрашнего дня появляется на экранах ваших мониторов.

Постарайтесь выполнить задание самостоятельно!

Решение: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:  (1) Ко второй и третьей строкам прибавили первую строку, умноженную на –2 и –3 соответственно. (2) Вторую строку разделили на 3, у третьей строки сменили знак. (3) К первой и третьей строкам прибавили вторую строку. (4) Первую строку разделили на 3, третью строку разделили на 4. (5) Ко второй строке прибавили третью строку (6) У второй строки сменили знак. Таким образом, решение системы в базисе  : Проверка: подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы: Получены правые части соответствующих уравнений, что и требовалось проверить.

Найдем решение в базисе  . Переменная   переходит в разряд свободных, поэтому из первой строки текущего решения выразим:  – подставим во вторую и третью строки: В результате, решение в базисе  : Проверка: подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы: Получены правые части соответствующих уравнений, значит, решение найдено правильно.

Осуществим переход к базису  . Переменная   перейдёт в разряд свободных, поэтому из 2-ой строки текущего решения выразим:  – подставим в третью и четвертую строки: Таким образом, решение в базисе  : Проверка: Подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы: Найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Перейдём к базису  . Переменная   уходит в разряд свободных, поэтому из 3-ей строки текущего решения выразим:  – подставим в 1-ую и 4-ую строки: Решение в базисе  : Проверка: Подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы: Полученное  решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Ответ: решение системы при различных способах выбора базиса: 

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)