
- •Действия с матрицами
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Как вычислить определитель?
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Свойства определителя. Понижение порядка определителя
- •Эффективные методы вычисления определителя
- •Определитель выгоднее раскрывать по той строке (столбцу), где:
- •Свойства определителя
- •При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется
- •Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами, то определитель сменит знак
- •Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель
- •Если две строки (столбца) определителя пропорциональны (как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю
- •Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю
- •Какие свойства определителей полезно знать?
- •Понижение порядка определителя
- •К строке определителя можно прибавить другую строку, умноженную на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится
- •К столбцу определителя можно прибавить другой столбец, умноженный на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Как найти обратную матрицу?
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Некоторые свойства операций над матрицами. Матричные выражения
- •Некоторые свойства операций над матрицами
- •Можно ли к матрице прибавить число?
- •Как возвести матрицу в квадрат?
- •Немного о некоммутативности матричного умножения и единичной матрице
- •Коммутативность числового множителя относительно умножения матриц
- •Как умножить три матрицы?
- •Как возвести матрицу в куб и более высокие степени?
- •Матричные выражения
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Матричные уравнения. Примеры решений
- •Общие принципы решения матричных уравнений
- •Как решить матричное уравнение?
- •Как выполнить проверку?
- •Распространённый алгоритм решения матричного уравнения
- •Решение матричного уравнения вида
- •Решение матричного уравнения вида
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Как решить систему линейных уравнений?
- •Решение системы линейных уравнений методом подстановки
- •Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Как решить систему линейных уравнений?
- •Решение системы линейных уравнений методом подстановки
- •Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Правило Крамера. Метод обратной матрицы
- •Решение системы по формулам Крамера
- •Решение системы с помощью обратной матрицы
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Примеры решений для чайников
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Решение систем линейных уравнений. Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Как найти ранг матрицы?
- •Что такое ранг матрицы?
- •Как найти ранг матрицы с помощью миноров?
- •Алгоритм нахождения ранга матрицы с помощью миноров
- •Метод окаймляющих миноров
- •Как найти ранг матрицы с помощью метода Гаусса?
- •Какой метод использовать для нахождения ранга матрицы?
- •Как исследовать систему линейных уравнений на совместность?
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Что такое однородная система линейных уравнений?
- •Фундаментальная система решений однородной системы уравнений
- •Взаимосвязь решений неоднородной и соответствующей однородной системы уравнений
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Метод Жордано-Гаусса. Как найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований?
- •Как найти обратную матрицу методом Гаусса?
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Решение системы при различных способах выбора базиса
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Собственные значения (числа) и собственные векторы. Примеры решений
- •Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов?
- •Как найти собственные значения и собственные векторы матрицы?
- •Найти матрицу в базисе из собственных векторов
- •Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?
- •Собственные векторы – это в точности векторы фундаментальной системы решений
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Комплексные числа для чайников
- •Понятие комплексного числа
- •Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
- •Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- •Возведение комплексных чисел в степень
- •Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями
- •Как можно отблагодарить автора?
Как можно отблагодарить автора?
|
Метод Жордано-Гаусса. Как найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований?
Однажды некто Жордано (не путать с
Джордано Бруно) сел решать очередную
систему уравнений. Он любил этим
заниматься и в свободное время
совершенствовал свои навыки. Но вот
настал момент, когда ему наскучили все
методы решения и метод
Гаусса в том числе.
Предположим, дана система с тремя
уравнениями, тремя неизвестными и
записана её расширенная матрица
.
В наиболее распространенном случае
получаются стандартные ступеньки
,
и так каждый день…. Одно и то же – как
беспросветный ноябрьский дождь.
На некоторое время развевает тоску другой
способ приведения матрицы к
ступенчатому виду:
,
причём он совершенно равноценен и может
быть не удобен только по причине
субъективного восприятия. Но всё рано
или поздно приедается…. И подумал тогда
математик – а зачем вообще мучиться с
обратным ходом гауссовского алгоритма?
Не проще ли сразу получить ответ
с
помощью дополнительных элементарных
преобразований?
Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жордано и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:
Метод Гаусса для чайников;
Несовместные системы и системы с общим решением;
Ранг матрицы;
Однородные системы.
Ну, и совсем замечательно, если отработаны элементарные преобразования определителя.
Как все поняли, метод Жордано-Гаусса представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Не мудрствуя лукаво:
Пример 1
Решить систему методом Жордано-Гаусса
Решение: это первое задание
урока Метод
Гаусса для чайников,
где мы 5 раз трансформировали расширенную
матрицу системы и привели её к ступенчатому
виду:
Теперь вместо обратного хода в
игру вступают дополнительные элементарные
преобразования. Сначала нам необходимо
получить нули на этих местах:
,
а
потом ещё один ноль здесь:
.
Идеальный с точки зрения простоты
случай:
(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.
(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.
Не могу удержаться от иллюстрации
итоговой системы:
Ответ:
Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Жордано-Гаусса характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу:
Пример 2
Решить систему линейных уравнений
методом Жордано-Гаусса.
Решение: первая часть задания
хорошо знакома:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.
(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.
(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7
(4) Третью строку разделили на 2.
Очевидно, что система имеет бесконечно
много решений, и наша задача – привести
её расширенную матрицу к виду
.
Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставлять-то их можно, но в этом нет смысла. И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:
Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулючисла, и этими соображениями обусловлено 5-ое преобразование матрицы:
(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:
(6)
Ко второй строке прибавили третью
строку. К первой строке прибавили третью
строку.
(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получитьодинаковые по модулю числа. В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.
(8) К первой строке прибавили вторую.
(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!
В результате элементарных преобразований
получена эквивалентная исходной
система:
Элементарно выражаем базисные переменные
через свободную:
и записываем:
Ответ: общее решение:
В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.
И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением.
Для самостоятельного решения:
Пример 3
Найти базисное решение с помощью
элементарных преобразований
Такая формулировка задачи предполагает
использование метода Жордано-Гаусса,
и в образце решения матрица приводится
к стандартному виду
с
базисными переменными
.
Однако всегда держите на заметке, что в
качестве базисных можно выбрать и другие
переменные. Так, например,
если в первом столбце громоздкие числа,
то вполне допустимо привести матрицу
к виду
(базисные
переменные
),
или к виду
(базисные
переменные
),
или даже к виду
с
базисными переменными
.
Существуют и другие варианты.
Но всё-таки это крайние случаи – не
стОит лишний раз шокировать преподавателей
своими знаниями, техникой решения и уж
тем более не надо выдавать экзотических
жордановсих результатов вроде
.
Впрочем, бывает трудно удержаться от
нетипового базиса, когда в исходной
матрице, скажем, в 4-ом столбце есть два
готовых нуля.
Примечание: термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятиегеометрического базиса здесь не при чём!
Если в расширенной матрице данных
размеров вдруг обнаруживается пара линейно
зависимых строк, то её следует
попытаться привести к привычному
виду
с
базисными переменными
.
Образец такого решения есть в Примере
№7 статьи ободнородных
системах линейных уравнений,
причём там выбран
другой базис.
Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче: