Как найти ранг матрицы с помощью метода Гаусса?
Параграф рассчитан на читателей, которые уже знакомы с методом Гаусса и мало-мальски набили на нём руку.
С технической точки зрения метод не отличается новизной:
1) с помощью элементарных преобразований приводим матрицу к ступенчатому виду;
2) ранг матрицы равен количеству строк.
Совершенно понятно, что использование метода Гаусса не меняет ранга матрицы, и суть здесь предельно проста: согласно алгоритму, в ходе элементарных преобразований выявляются и удаляются все лишние пропорциональные (линейно зависимые) строки, в результате чего остаётся «сухой остаток» – максимальное количество линейно независимых строк.
Преобразуем старую знакомую матрицу с
координатами трёх коллинеарных
векторов:
(1)
Ко второй строке прибавили первую
строку, умноженную на –2. К третьей
строке прибавили первую строку.
(2) Нулевые строки удаляем.
Таким образом, осталась одна строка, следовательно, . Что и говорить, это гораздо быстрее, чем рассчитать девять нулевых миноров 2-го порядка и только потом сделать вывод.
Напоминаю, что в самой по себе алгебраической
матрице ничего менять
нельзя, и преобразования выполняются
только с целью выяснения ранга! Кстати,
остановимся ещё раз на вопросе, почему
нельзя? Исходная матрица 
несёт
информацию, которая принципиально
отлична от информации матрицы 
и
строки 
.
В некоторых математических моделях
(без преувеличения) разница в одном
числе может быть вопросом жизни и смерти.
…Вспомнились школьные учителя математики
начальных и средних классов, которые
безжалостно срезали оценку на 1-2 балла
за малейшую неточность или отклонение
от алгоритма. И было жутко обидно, когда
вместо, казалось бы, гарантированной
«пятёрки» получалось «хорошо» или того
хуже. Понимание пришло намного позже –
а как иначе доверить человеку спутники,
ядерные боеголовки и электростанции?
Но вы не беспокойтесь, я не работаю в
этих сферах =)
Перейдём к более содержательным заданиям, где помимо прочего познакомимся с важными вычислительными приёмами метода Гаусса:
Пример 3
Найти ранг матрицы с помощью элементарных
преобразований
Решение: дана матрица «четыре на пять», значит, её ранг заведомо не превзойдёт 4-х.
В первом столбце, отсутствует 1 или –1, следовательно, необходимы дополнительные действия, направленные на получение хотя бы одной единицы. За всё время существования сайта мне неоднократно задавали вопрос: «Можно ли в ходе элементарных преобразований переставлять столбцы?». Вот здесь – переставили первый-второй столбец, и всё отлично! В большинстве задач, где используется метод Гаусса, столбцы действительно переставлять можно. НО НЕ НУЖНО. И дело даже не в возможной путанице с переменными, дело в том, что в классическом курсе обучения высшей математике данное действие традиционно не рассматривается, поэтому на такой реверанс посмотрят ОЧЕНЬ криво (а то и заставят всё переделывать).
Второй момент касается чисел. В ходе решения полезно руководствоваться следующим эмпирическим правилом: элементарные преобразования по возможности должны уменьшать числа матрицы. Ведь с единицей-двойкой-тройкой работать значительно легче, чем, например, с 23, 45 и 97. И первое действие направлено не только на получение единицы в первом столбце, но и на ликвидацию чисел 7 и 11.
Сначала полное решение, потом комментарии:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. И до кучи: к 4-ой строке прибавили 1-ую строку, умноженную на –1.
(2) Последние три строки пропорциональны. Удалили 3-ю и 4-ую строки, вторую строку переместили на первое место.
(3) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.
В приведённой к ступенчатому виду матрице две строки.
Ответ:
Теперь ваша очередь мучить матрицу «четыре на четыре»:
Пример 4
Найти ранг матрицы методом Гаусса
Напоминаю, что метод Гаусса не предполагает однозначной жёсткости, и ваше решение, скорее всего, будет отличаться от моего решения. Краткий образец оформления задачи в конце урока.