20. Методика розв’язування задач на знаходження четвертого пропорційного.

Типова складена задача, на знаходження четвертого пропорційного, яка розв’язується способом прямого зведення до одиниці.

- Прочитайте задачу і скажіть, що відомо у даній задачі:

Для вироблення 4 кг масла витратили 100 л молока. Скільки літрів молока потрібно для виготовлення 7 кг масла?

Витрата молока на1 кг масла	Кількість	Загальна витрата молока
Однакова	4 кг масла	100л молока
	7 кг масла	?

Синтетичний спосіб:

- Знаючи, що із 100 л молока виходить 4 кг масла, що можемо визначити? - Скільки витрачається молока на 1 кг масла.

- Знаючи, скільки літрів молока іде на 1 кг масла і потрібно виготовить 7кг масла, при однаковій витраті молока першого і другого разу, що можемо визначити? - Скільки л молока витрачають на виготовлення 7 кг масла.

План розв’язання

1. Скільки літрів молока витратили на 1 кг масла? 100 : 4 = 25(л)

2. Скільки літрів молока потрібно, щоб виготовити 7 кг масла? 25 · 7 = 175(л)

Типова складена задача, на знаходження четвертого пропорційного, яка розв’язується способом оберненого зведення до одиниці.

За 3 години роботи трактор витратив 21 л палива. На скільки годин роботи вистачить йому 63 л палива?

Витрата палива за 1 год.	Час	Загальна витрата палива
Однакова	3	21л
	?	63л

Аналітичний спосіб:

- Що необхідно визначити? – Скільки часу роботи потрібно для витрати 63 л палива.

- Що необхідно знати для цього? – Скільки 1 трактор витрачає за 1 год. роботи і загальну витрату пального.

- Які із цих даних відомо? – Загальна витрата пального – 63 л.

- Що невідомо? – Витрата пального на 1 год.

- Що необхідно знати, щоб визначити скільки трактор витрачає палива за 1 год.? – Час роботи і загальну витрату пального 1 разу.

- Які з даних величин відомі? – Всі.

- Запишіть розв’язання задачі по діях.

1) 21: 3 = 7(л) – за 1 год;

2) 63 : 7 = 9(год.)

Типова складена задача, на знаходження четвертого пропорційного, яка розв’язується способом відношень.

Із 6 кг сирої кави виходить 4 кг смаженої. Скільки смаженої кави вийде з 18 кг сирої кави?

Сира кава	Смажена кава
6 кг	4 кг
18 кг	?

Синтетичний спосіб:

- Знаючи, що першого разу взяли 6 кг сирої кави, а другого разу – 18кг, що можемо визначити за цими даними? – У скільки разів більше взяли кави другого разу, ніж першого.

- Знаючи, що першого разу вийшло 4кг смаженої кави та знаючи, у скільки разів більше взяли сирої кави другого разу, ніж першого, то що можна визначити за цими даними? – Скільки смаженої кави вийде з 18 кг сирої кави.

План розв’язання

1. У скільки разів більше взяли сирої кави другого разу, ніж першого?

18 : 6 = 3 (р.)

2. Скільки смаженої кави вийде із 18 кг сирої кави?

4 · 3 = 12 (кг)

21. Різні трактування поняття «текстова задача». Функції та система текстових задач курсу математики початкової школи. Загальні прийоми роботи над текстовими задачами з молодшими школярами. Прості та складені текстові задачі, їх різні класифікації.

Формування уміння розв’язувати задачі в учнів привертає увагу методистів. Дослідження М.В.Богдановича, Ю.М.Колягіна, А.А.Свєчнікова, Л.М.Скаткіна, Л.М.Фрідмана та ін.показали, що уміння розв’язувати задачу є складними, які складаються з таких етапів роботи над задачею:

- уміння прочитати задачу та усвідомити зміст даної задачі;

- уміння проаналізувати задачу;

- уміння скласти план розв’язання задачі;

- уміння записати розв’язання задачі у відповідності з поставленими вимогами;

- уміння попрацювати над розв’язаною задачею.

У методичній літературі поняття задача трактується по різному. А.А.Свєчніков під математичною задачею розуміє “зв’язну лаконічну розповідь, до якої введено значення деяких величин і пропонується відшукати інші невідомі значення величин, що залежать від даних і пов’язані з ними певними співвідношеннями, вказаними в умові” [С- , 5].

Основними структурними компонентами задачі є:

• умова, в якій описано сюжет задачі, вказані відомі та шукані величини та зв’язки між ними;

• запитання задачі, в якому вказано яку величину необхідно визначити.

Визначальні структурні компоненти:

- розв’язування – це мислитель ний процес встановлення залежностей між шуканими і даними в тексті задачі величинами та обґрунтування вибору арифметичної дії для знаходження значень проміжних і шуканої величин;

- розв’язання – це запис арифметичних дій і результатів, за допомогою яких знаходять значення проміжних і шуканої величин;

- розв’язок – це значення шуканої величини, тобто відповідь на поставлене запитання.

У пояснювальній записці до програми з математики вказано, що курс математики будується на системі доцільно підібраних задач. Вони використовуються і як засіб навчання, і як специфічний об’єкт вивчення.

Функціями задач у курсі математики І-ІУ класів є наступні: 1) освітня або навчальна, сутність якої полягає в тому, що з допомогою задач учні оволодівають визначеним вимогами програми колом математичних знань, умінь і навичок; 2) виховна, сутність якої полягає в тому, що з допомогою сюжету задач і у процесі роботи над ними формуються загальнолюдські цінності (почуття патріотизму, національна свідомість, любов до рідного краю тощо) і такі риси особистості як охайність, працелюбність, вміння довести розпочату справу до закінчення тощо; 3) розвивальна, яка повинна забезпечувати розвиток психологічних якостей особистості (мислення, уява, пам’ять, мовлення, увагу тощо); 4) контрольно-корекційна функція, сутність якої полягає в тому, що з допомогою задач виявляється рівень сформованості математичних знань, умінь і навичок молодших школярів, виправляються і усуваються прогалини у їхніх знаннях.

Система розміщення задач підкоряється ряду методичних принципів, до яких можна віднести принаймні наступні: 1) наростання труднощів, коли задачі забезпечують поступовий перехід від найпростішого до найскладнішого; 2) наступності, згідно з яким повинен реалізовуватися єдиний підхід до формування загального уміння розв’язувати задачу; 3) відмова від групування задач за видами, коли використання задач різних видів і типів створює сприятливі умови для формування уміння розв'язувати будь-яку задачу; 4) урахування того, що уміння розв'язувати задачу є складним умінням, а тому його формування слід проводити як шляхом формування окремих складових умінь, так і шляхом формування цього уміння в комплексі; 5) порівняння, протиставлення і зіставлення різних, але в чомусь і схожих, між собою задач; 6) взаємозв’язку при вивченні арифметичного, алгебраїчного і геометричного матеріалу тощо. Вказані закономірності є загальними теоретико-методичними основами розміщення текстових задач в курсі математики початкових класів, без обізнаності з якими вчителеві буде надзвичайно важко справитися з формуванням у молодших школярів уміння розв'язувати задачу.

Класифікація задач з математики у початкових класах

Аналіз методичної літератури, підручників з математики для початкових класів і методичних посібників для вчителів дозволяє зробити висновок про наявність двох видів текстових задач у курсі математики І-ІУ класів: простих і складених. До першої групи відносять прості задачі, які розв’язуються однією дією. До другої групи входять складені задачі, для розв’язання яких необхідно виконати принаймні дві дії. Така класифікація текстових задач за кількістю дій, які слід виконати, щоб отримати результат, є загальноприйнятою.

Існує дві найбільш використовувані класифікації простих задач курсу математики початкової школи. Так, всі прості текстові задачі початкового курсу математики поділяють на групи залежно від дій, за допомогою яких вони розв'язуються (прості задачі, які розв'язуються додаванням, відніманням, множенням чи діленням), або ж залежно від тих понять, які формуються при їх розв’язуванні (задачі на формування взаємозв’язку між компонентами і результатами арифметичних дій, на формування числових уявлень, на формування взаємозв’язку між величинами). Не зупиняючись на позитивних і негативних рисах названих класифікацій, зазначимо, що у подальшому розгляді будемо дотримуватися першої із них, бо, як свідчать дослідження, вона є найбільш придатною і зрозумілою для вчителів початкових класів в силу їхньої методико-математичної підготовки.

Таким чином, розподілятимемо всі прості задачі на чотири групи. До першої групи віднесемо прості задачі, які розв’язуються дією додавання. Другу групу складають прості текстові задачі, які розв’язуються дією віднімання. До третьої групи простих текстових задач початкового курсу математики віднесемо ті, які розв’язуються дією множення. Четверту групу складатимуть прості текстові задачі, які розв’язуються дією ділення.

Теоретико-методичні основи загальних прийомів роботи над текстовими задачами з молодшими школярами

Роботу над задачею покажемо на прикладі такої задачі:

Задача. У Миколи 5 яблук, а у Наталки на 3 яблука більше, ніж у Миколи. Скільки всього яблук у дітей?

1 етап - ознайомлення із змістом задачі та його усвідомлення.

Ознайомлення дітей з умовою задачі можна проводити так: 1) задачу повідомляє вчитель, розповідаючи або читаючи її; 2) задачу читає один учень, а решта слідкують за підручником; 3) задачу читає кожен учень самостійно (напівголоса) у підручнику. Незважаючи на використовуваний спосіб, при читанні слід дотримуватися наступних вимог: правильне читання слів, темп читання має бути доступним для сприймання учнями, виділення наголосом відомих і шуканих величин, зв’язків між ними, запитання задачі.

Перед тим як читати задачу необхідно поставити запитання, для того, щоб учень одразу працював над нею (уникати потрібно такого запитання: Про що ця задача?).

Щоб допомогти дітям засвоїти умову задачі, вчителями використовуються різноманітні методичні прийоми: короткий запис умови задачі (таблиця №1), запис умови у вигляді таблиці (таблиця №2), запис умови у вигляді схеми тощо.

М икола - 5 яблук ?

Наталка - ?, на 3 яблука більше, ніж

	Кількість яблук	Загальна кількість яблук
Микола	5яблук
Наталка	? ,на 3ябл.більше, ніж	?

М икола

Н аталка

Вчитель не повинен приступати до розв'язування задачі, якщо не перевірить як діти засвоїли задачу. Щоб зробити це, вчителі використовують такі методичні прийоми: 1) кільком дітям пропонується повторити всю задачу, її умову, запитання; 2) учням пропонується відповісти на запитання, які мають бути чіткими і не допускати відповідей, що не стосуються розв'язування задачі (наприклад, вчителі досить часто ставлять перед дітьми запитання: про що йдеться в задачі? – в цьому випадку правильною відповіддю може будь-яка, наприклад: про дітей, про автомобілі, про фрукти тощо); 3) школярам пропонують записати умову задачі коротко; 4) діти складають за задачею таблицю чи схему тощо. Відповідно до індивідуальних особливостей школярів, вчитель повинен використовувати, з одного боку, той методичний прийом, який дає найбільшу результативність, а з іншого – пропонувати учням виконувати ті операції, які у них ще не сформовані.

2 етап – аналіз задачі.

Призначення аналізу для будь-якої текстової задачі полягає в тому, щоб допомогти школярам відшукати шлях до знаходження відповіді на запитання задачі. Існують різні способи аналізу складених задач і різні думки методистів щодо доцільності використання цих способів у формування уміння учнів знаходити шлях розв’язання задачі. Аналіз складеної задачі можна проводити двома способами, по-перше, аналітичним, тобто від запитання до умови, і по-друге, синтетичним, тобто від умови до запитання.

Аналітичним способом проводимо так:

- Що необхідно визначити в задачі? – Скільки всього яблук було у дітей.

- Що необхідно знати, щоб дати відповідь на запитання задачі? – Скільки яблук було у Миколи і скільки яблук було у Наталки.

- Які із цих даних нам відомі? – Скільки яблук у Миколи.

- Які з цих даних нам невідомі? – Скільки яблук було у Наталки.

- Що необхідно знати, щоб визначити, скільки яблук було у Наталки? – Скільки яблук було у Миколки і на скільки яблук більше було у Наталки.

- Чи відомі нам ці дані? – Відомі.

- Чи дали ми відповідь на запитання задачі? – Так.

Синтетичним способом проводимо так:

- Знаючи, що у Миколки було 5 яблук, а у Наталки на 3 яблука більше, що можна визначити? – Скільки яблук було у Наталки.

- Знаючи скільки яблук було у Миколки і скільки яблук було у Наталки, що можна визначити? – Тут можливі три варіанта відповіді дітей: 1) Скільки всього яблук було у дітей? 2) На скільки яблук у Миколки було менше, ніж у Наталки? 3) На скільки яблук було у Наталки більше, ніж у Миколки? Якщо вчитель отримає другу чи третю відповідь, то він повинен запитати: а що ще можна визначити за цими даними? (непоодинокі випадки, коли, отримавши таку відповідь від учня, вчитель говорить: неправильно. Робити цього не можна, бо інакше відіб’ємо здатність учнів розглядати різні можливі варіанти. Адже, якщо учень запропонував зразу перший варіант відповіді, то без додаткової роботи з ним важко стверджувати: перебрав він всі можливі різні варіанти відповіді на поставлене запитання чи вгадав потрібну відповідь). Зазначимо, що аналіз задачі будь-яким способом слід завершувати запитанням: чи дали ми відповідь на запитання задачі?

3 етап – складання плану.

Найпоширенішим недоліком є те, що план розв’язання не виділяється в окремий етап, а складається під час аналізу задачі. Для того, щоб не допускати таких помилок, які створюють додаткові труднощі для учнів, вчитель повинен на цьому етапі роботу проводити приблизно так: що будемо визначати у першій дії? Як це будемо робити? Що будемо визначати у другій дії? тощо, залежно від кількості дій, які слід виконати, щоб отримати відповідь на запитання задачі. Важливо, щоб відповіді дітей на поставлені вчителем запитання були повними та не містили числових даних.

- Що будемо визначати у першій дії? – Кількість яблук у Наталки.

- Як це будемо робити? – До кількості яблук Миколки додамо ту кількість яблук, на скільки їх у Наталки було більше.

- Що будемо визначати у другій дії? – Скільки всього яблук у дітей.

- Як це будемо робити? – До кількості яблук, які у Миколи додамо кількість яблук, які у Наталки.

4 етап – запис розв’язання задачі.

В курсі математики початкових класів існують арифметичний і алгебраїчний способи запису розв’язання текстових задач. Серед арифметичних способів виділяють принаймні чотири: 1) запис розв’язання задачі за діями; 2) запис розв’язання задачі за діями з коротким поясненням; 3) запис розв’язання задачі виразом; 4) запис розв’язання задачі за діями з запитаннями. Кожний із названих арифметичних способів представлено для задачі “У Миколи було 5яблук, а у Наталки на 3 більше. Скільки всього яблук було у дітей?”у таблиці№4.

І спосіб	ІІ спосіб	ІІІ спосіб	ІУ спосіб
1) 5+3=8 (ябл.) 2) 5+8=13 (ябл.) Відповідь: 13 яблук було у дітей.	5+3=8(ябл.) – було у Наталки; 5+8=13 (ябл.) Відповідь: 13 яблук було у дітей.	(5+3)+5=13(ябл.) Відповідь: 13 яблук було у дітей.	1) Скільки яблук було у Наталки?5+3=8 (ябл.) 2)Скільки всього яблук було у дітей?5+8=13 (ябл) Відповідь:13яблук було у дітей.

Алгебраїчний спосіб запису розв’язання задачі: за допомогою рівняння. Наприклад, для попередньої задачі розв’язання за допомогою рівняння можна записати: х=5+(5+3).

5 етап – робота над розв’язаною задачею.

Формуванню загального уміння розв'язувати задачу сприяють різноманітні форми роботи над розв’язаною задачею. Вона може включати: 1) обговорення виконаного розв’язання (чому задача розв’язувалася дією додавання?, Чому ми зуміли відповісти на запитання задачі?); 2) перевірку розв’язання задачі; 3) складання та розв’язання задачі різними способами (якщо це можливо); 4) складання та розв’язання обернених задач з наступним порівнянням з даною задачею; 5) складання та розв’язання аналогічних задач – задачі, які мають однакову математичну структуру, замінюються дані, зміст (наприклад. В одному кошику було 8 груш, а в другому – на 3 груші більше. Скільки всього груш у кошиках?); 6) складання та розв’язання подібних задач – задачі, які мають різні математичні структури, але схожі за сюжетом, числовими даними (наприклад. У Миколи 5 яблук, це на 3 яблука більше, ніж у Наталки. Скільки всього яблук у дітей?); 7) перетворення заданих задач у задачі споріднених їм видів – до задач споріднених видів належать задачі, в яких величини пов’язані однаковою залежністю (наприклад. Задачі на знаходження четвертого пропорційного, на пропорційне ділення і знаходження невідомого за двома різницями).