Вопрос 3:

Электростатический потенциа́л (см. также кулоновский потенциал) — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала в Международной системе единиц (СИ) является вольт 1 В = 1 Дж/Кл

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

Напряжённость электростатического поля и потенциал связаны соотношением^[1]

или обратно^[2]:

Здесь  — оператор набла, то есть в правой части равенства стоит минус градиент потенциала — вектор с компонентами, равными частным производным от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.

4 Энергия системы зарядов

Найдем сначала выражение для потенциальной энергии системы двух точечных зарядов   и   , находящихся на расстоянии   . Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют. Положим в этом случае их энергию равной нулю. Сблизим заряды на заданное расстояние   . При этом мы должны будем совершить работу против электрических сил, которая пойдет на увеличение потенциальной энергии системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая   к   либо   к   .Работа переноса заряда   из бесконечности в точку, удаленную от   на 

где   - потенциал, создаваемый зарядом   в той точке, в которую перемещается заряд   . Аналогично работа переноса заряда   из бесконечности в точку, удаленную от   на   , равна

где   - потенциал, создаваемый зарядом   в той точке, в которую перемещается заряд   . Значение работ в обоих случаях одинаковы, и каждое из них выражает энергию системы

Для того чтобы в выражение энергии системы оба заряда входили симметрично, запишем его следующим образом:

Эта формула дает энергию системы двух зарядов. Перенесем из бесконечности еще один заряд   и поместим его в точку, находящуюся на расстоянии   от   и   от   . При этом совершим работу

где   - потенциал, создаваемый зарядами   и   в той точке, в которую мы поместили заряд   . В сумме с   или   работа   будет равна энергии трех зарядов:

Последнее выражение можно привести к виду

Добавляя к системе Зарядов последовательно   и т.д., можно убедиться в том, что в случае n зарядов потенциальная энергия системы равна

(16.1)

где   - потенциал, создаваемый в той точке, где находится   , всеми зарядами, кроме i-го.

5 Связь между

      Итак, электростатическое поле можно описать либо с помощью векторной величины  , либо с помощью скалярной величины φ. Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Найдем ее:

      Изобразим перемещение заряда q по произвольному пути l (Рис. 3.1) в электростатическом поле  .

      Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке dl, можно найти так:

(3.4.1)

      где E_l – проекция  на  ; dl– произвольное направление перемещения заряда.

      С другой стороны, как мы показали, эта работа, если она совершена электростатическим полем, равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl:

,

отсюда

(3.4.2)

      Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции  на оси координат:

(3.4.3)

      По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции, то есть

       – вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции.

      Тогда коротко связь между   и φ записывается так: