1.3. Плоское деформированное состояние анизотропного тела
Теоретические исследования таких процессов обработки металлов давлением, как прокатка листов, осадка призматических заготовок с большим отношением длины к ширине, вытяжка с утонением, волочение и выдавливание полых осесимметричных деталей и труб с большим отношением диаметра к толщине, проводятся на основе уравнений плоского деформированного состояния.
Пусть координатные оси , , совпадают с главными осями анизотропии.
Выбираем такое состояние плоской деформации, чтобы главная ось анизотропии была нормальна к плоскости течения. В этом случае деформация вдоль оси отсутствует, т.е.
.
(1.14)
С учетом зависимостей между напряжениями и приращениями деформаций (1.2), отнесенных к главным осям анизотропии, и условия (2.15) найдем
.
(1.15)
Подставляя
значение
из (1.15) в условие текучести для анизотропного
тела (1.1) и принимая во внимание, что для
рассматриваемого случая
,
получим
.
(1.16)
Введя
обозначения
и
:
;
(1.17)
,
(1.18)
условие текучести (1.16) приводится к виду
,
(1.19)
где
- сопротивление материала пластическому
деформированию при сдвиге по отношению
к осям
и
;
- характеристика анизотропии тела в
условиях плоской деформации;
.
Для
материала изотропного и
трансверсально-изотропного
.
Условие текучести (1.19) для плоского деформированного состояния в главных осях напряжений имеет вид:
,
(1.20)
где
- угол между первым главным направлением
напряжения
и осью анизотропии
.
1.4 Математические модели упрочнения анизотропного материала
Среди математических моделей, описывающих упрочнения материала, следует выделить модель изотропного упрочнения, когда поверхность нагружения изотропно расширяется пропорционально одному параметру упрочнения во всех направлениях в пространстве напряжений, модель трансляционного упрочнения, связанного с перемещением поверхности нагружения в пространстве напряжений, как жесткого целого, и модель комбинированного упрочнения, когда поверхность нагружения одновременно изотропно расширяется и перемещается в пространстве напряжений. Последние две модели отражают деформационное анизотропное упрочнение материала и учитывают эффект Баушингера. Они разработаны для малых упруго-пластических деформаций.
Выбор
предложенных выше моделей упрочнения
для исследуемого листового материала
осуществляется следующим образом.
Рассматривается простейшая модель
упрочнения анизотропного материала -
изотропного упрочнения. Если величины
коэффициентов анизотропии
в опытах на простейшее растяжение
изменяются менее чем на 5% в пределах
равномерной деформации, то эта модель
закладывается в основу расчета процессов
пластического формоизменения. Если это
условие не выполняется, то анализируется
однопараметрическая модель анизотропного
упрочнения, предусматривающая
использование кривых упрочнения в
направлениях главных осей анизотропии
и
.
Если же рассчитанные величины коэффициентов
анизотропии
с учетом выражений (1.3) и (1.8) отличаются
от экспериментальных более чем на 5% в
пределах равномерной деформации, то
необходимо переходить на более сложную
модель - анизотропного упрочнения
(многопараметрическую).
Предполагаем, что изменение сопротивления материала пластическому деформированию подчиняется зависимостям
(1.21)
где
,
,
,
,
-
константы материала;
и
- пределы текучести материала в
направлениях главных осей анизотропии
,
,
и при сдвиге в главных осях анизотропии;
- величина интенсивности деформаций;
- компоненты тензора деформаций.