Основное уравнение центробежных машин Эйлера
В каналах между лопатками рабочего колеса жидкость, двигаясь вдоль лопаток, одновременно совершает вращательное движение вместе с колесом.
Определим полный напор, развиваемый рабочим колесом при перекачивании идеальной жидкости. Допустим, что колесо неподвижно, а жидкость движется по каналам между лопатками с той же относительной скоростью, что и во вращающемся колесе.
1) Абсолютные скорости движения жидкости на входе в колесо c1 и на выходе из колеса с2, являются геометрической суммой относительной и окружной скоростей, поэтому их можно разложить (рис.) на относительные составляющие w1 и w2 (направленные вдоль средней линии канала) и окружные составляющие u1 и u2 соответственно (направленные по касательной к окружности вращения).
2) Принимая за плоскость сравнения плоскость рабочего колеса, составим баланс энергии жидкости при прохождении её через колесо по уравнению Бернулли (z1-z2):
.
3) При вращении колеса жидкость на выходе приобретает дополнительную энергию А, равную работе центробежной силы на пути длиной r1-r2. Тогда
. (1)
4) Если рабочее колесо вращается с угловой скоростью ω, то центробежная сила С, действующая на частицу жидкости массой m, равна
,
где G – вес частицы;
r – текущий радиус вращения частицы.
5) Работа АG, совершаемая центробежной силой при перемещении этой же частицы на пути r2 – r1, составляет
.
Произведение угловой скорости w на радиус вращения r равно окружной скорости u, поэтому
и 
.
Работа АG выразится уравнением
.
6) Удельная работа, отнесённая к единице веса жидкости, равна удельной энергии, приобретаемой жидкостью в насосе. Поэтому
.
7) Подставляя это выражение в уравнение (1), получим
,
откуда
. (2)
8) В соответствии с уравнением Бернулли напоры жидкости на входе во вращающееся колесо H1 и выходе из него H2 составят:
и 
.
Теоретический напор НТ насоса равен разности напоров на входе в колесо и выходе из него:
.
9) Подставив
выражение для
из уравнения (2), получим
. (3)
10) Из параллелограммов скоростей на входе в колесо и выходе из него (см. рис.)
11) Тогда уравнение (3) запишется в виде
. (4)
Уравнение (4) называется основным уравнением центробежных машин и может быть применено к расчёту всех центробежных машин, в том числе турбогазодувок, турбокомпрессоров и вентиляторов. Оно верно в том случае, когда все частицы жидкости движутся в насосе по подобным траекториям. Это возможно лишь при условии, что рабочее колесо имеет бесконечно большое число лопаток и сечение канала для прохода жидкости велико.
12) Обычно жидкость, поступая из всасывающего трубопровода, движется по колесу в радиальном направлении. В этом случае угол между абсолютным значением скорости жидкости на входе в рабочее колесо и окружной скоростью α1 = 90˚ (что соответствует условию безударного ввода жидкости в колесо). Тогда уравнение (4) упрощается:
.
Определение скоростей и учёт конечного числа лопаток
1) Скорость радиальная сr определяется по уравнению неразрывности (расхода) (см. рис. на стр. 3).
,
где Q` - теоретическая подача (производительность) рабо- чего колеса (объёмная);
а) f - площадь сечения потока поверхности вращения
,
где r – текущий радиус окружности, на которой опре- деляется скорость;
b – ширина канала колеса;
k – коэффициент стеснения сечения телом лопа- ток.
б) Коэффициент стеснения k равен отношению сечения потока, свободного от лопастей, к действительному сечению потока
,
где z – число лопаток;
S – их толщина в цилиндрическом сечении.
2) Относительная скорость w из плана скоростей равна
.
3) Окружная скорость u в любом сечении равна
.
4) Обозначая скорости при входе индексом “1”, на выходе – индексом “2”, получим при бесконечном числе лопаток выражения для подсчёта соответствующих скоростей
5 ) После этого нетрудно определить все остальные скорости c1, c1u, c2u.
При отсутствии специальных направляющих аппаратов на входе закручивание потока мало и поэтому α1≈90˚ (С1u≈0) и, как уже говорилось.
6) При выводе уравнений теоретических характеристик центробежных машин (NT и HT) направление относительной составляющей скорости w принималось по касательной к средней линии канала, а окружная скорость на входе колеса считалась постоянной во всех точках, отстоящих от центра на один и тот же радиус.
Такие допущения справедливы только для бесконечно большого количества лопаток, когда движение жидкости в каналах рабочего колеса можно принять струйным, то есть отношение ширины к длине канала мало.
7) Действительное распределение скоростей отличается от схемы при бесконечно большом количестве лопаток. Направление относительной скорости w не совпадает с направлением по касательной к осевой линии канала, величина скорости u не поддерживается строго постоянной во всех точках окружности.