1. Знаходження зворотної матриці за допомогою звичайних жорданових виключень.
Розглянемо невироджену матрицю n-го порядку.
Для знаходження зворотної матриці складемо систему лінійних рівнянь, в якій роль вільних членів виконують залежні змінні
Запишемо цю систему/матрицю в таблицю:
-
х1
х2
У2
...
хn
у1
a11
a12
...
a1n
у2
a21
a22
...
a2n
…
…
…
…
…
уn
an1
an2
...
an3
Послідовно над таблицею здійснимо n кроків звичайних жорданових виключень, що складаються з п’яти операцій. В якості ключових елементів бажано брати діагональні елементи. Дозволяють використовувати не тільки діагональні елементи, то після завершення обернена матриці необхідно упорядкувати рядки і стовпці.
|
Y1 |
Y2 У2 |
... |
yn |
x1 |
b11 |
b12 |
... |
b1n |
x2 |
b21 |
b22 |
... |
b2n |
… |
… |
… |
… |
… |
xn |
bn1 |
bn2 |
... |
bn3 |
2. Визначення рангу матриці за допомогою звичайних жорданових виключень
Хай дана прямокутна матриця А, яка складається з m-рядків і n-стовпців.
Складемо систему з m рівнянь, для яких коефіцієнтами при вільних змінних будуть елементи матриці А
Перепишемо цю систему в жорданову таблицю і виконаємо максимальне число кроків звичайних жорданових виключень, замінюючи залежні змінні на незалежні. Ранг матриці рівний числу максимально можливих послідовних кроків жорданових виключень (к), виконаних над жордановою таблицею, причому кожен стовпець і кожен рядок може бути вибраний не більше одного разу.
|
Y1 |
Y2 У2 |
... |
Yk У2 |
Xk+1 У2 |
... |
xn |
x1 |
b11 |
b12 |
... |
b1k |
b1 k+1 |
... |
b1n |
x2 |
b21 |
b22 |
... |
b2k |
b2 k+1 |
... |
b2n |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Xk |
bk1 |
bk2 |
... |
bkk |
bk k+1 |
... |
bkn |
Yk+1 |
b k+11 |
b k+12 |
... |
b k+1k |
0 |
… |
0 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
yn |
bn1 |
bn2 |
... |
bn2 |
0 |
... |
0 |
В даному випадку ранг дорівнює К, так як всі інші головні елементи дорівнюють 0!!!