1. Операції над матрицями

1. Загальні відомості

При розв’язані економічних завдань використовується таблиця значень, системи регресій, які зручно записувати лаконічно, з використанням матричних понять.

Матриця - це прямокутні таблиці елементів, розташовані в рядках і стовпцях.

а₁₁ а₁₂ а_1n

[ А] = а₂₁ а₂₂ а_2n

а_m1 а_m2 а_mn

Матриця [А] називається прямокутною порядку m на n (m - число рядків, n - число стовпців). Елемент, який знаходиться в і-тому рядку і j-му стовпці, позначається через a_ij (і -номер рядки, j - номер стовпця).

Розрізняють: квадратна, вектор-рядок, вектор-стовпець, діагональна, одинична, нульова, симетрична.

Дві матриці А = [а_ij], B = [b_ij] називаються рівними, якщо вони мають один порядок, а відповідні елементи рівні між собою, тобто

а_ij = b_ij (i = 1, m j = 1, n)

Додавання матриць здійснюється тільки для матриць одного порядку. Сумою двох матриць [А] і [В] порядку mxn називається матриця [С], яка має такий же порядок mxn, як і матриці [А] і [В], причому, кожен елемент матриці [С] дорівнює сумі відповідних елементів матриць [А] і [В], тобто

С_ij = а_ij + b_ij (i = 1, m; j = 1, n)

Множення числа а на матрицю [A] порядку mxn називається матриця [С] порядку mхn, кожен елемент якої дорівнює добутку числа а на відповідні елемент матриці [А].

Множення матриці а на матрицю в

Можна здійснювати тоді і тільки тоді, коли число стовпців матриці А відповідає числу рядків матриці В.

За добуток матриць А і В приймається матриця C, елементи якої обчислюються за наступним правилом:

С_ij = a_і1 * b_1j + a_i2*b_2j + a_i3*b_3j +.. .+ a_im*b_jn , i=1,m j=1,p

Щоб отримати елемент С_ij матриці А*В необхідно i-ті рядки матриці А помножити на відповідні елементи j-х стовпців матриці В, а отриманий результат скласти.

А* А² = А²*А

[А] • [Е] = [Е] • [А] = [А]

( [А] • [В] ) • [С] = [А] •( |В] • [С] )

[А| •( [В] + [С] )= [А] • [В] + [А] • [С]

Слід зазначити, що операція множення матриць не комутативна, тобто не завжди А*В = В*А.

Транспонування матриць

Транспонування матриці називається заміна рядків цієї матриці її стовпцями із збереженням їх порядку.

Матриця, отримана таким чином з матриці А називається транспонованою по відношенню до А і позначається [А]^т. Для елементів транспонованих матриць виконується умова а_ij = а_ji^T . Для симетричної матриці виконуються умови А^т =А.

Обернена матриця

Квадратна матриця [А]називається оберненою по відношенню до матриці А того ж порядку, якщо справедлива

Теорема: Для того, щоб матриця [А]^-1 мала зворотну необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою або невласною, тобто det А ≠ 0.

Якщо det А = 0, матриця називається виродженою або особливою.

Зворотня (обернена) матриця обчислюється по правилах:

1. Обчислюється визначник матриці А.

2. Обчислюється союзна матриця, тобто матриця. складена з алгебраїчних доповнень елементів а_іj матриці А:

А₁₁ А₁₂ А_1n

[ А*] = А₂₁ А₂₂ А_2n

А_m1 А_m2 А_mn

3) Транспонується союзна матриця

А₁₁ А₁₂ А_1n

[ А] = А₂₁ А₂₂ А_2n

А_m1 А_m2 А_mn

4) Обчислюється зворотна матриця:

Визначником другого порядку

відповідної матриці А, називається число

побічна і головна діагональ