Тема 7. Аппроксимация экспериментальных данных

1. Построить функцию, наилучшим образом отражающую данную зависимость и спрогнозировать значение у(6):

X1	1,0	1,5	2	2,5	3,00	3,5	4	4,5	5,0	5,5	6
У	1,25	1,4	1,45	1,45	1,5	1,55	1,7	1,75	2,1	2,25	?

Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или экспоненциальная дает наилучшую зависимость У(х1,х2) если:

X2

10,0

15

20

25

30

40

45

50

60

70

80

2. В 80-е годы уровень дефицита бюджета в СССР и США складывался следую­щим образом:

Страна	1980	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987	1988	1990
СССР США	2,9 2,8	2,3 2,6	3,1 4,1	2,2 6,3	2,0 5,0	2,7 5,4	6,5 5,3	8,0 3,4	9,1 3,2	?

Построить функции, наилучшим образом отражающие зависимости дефицита бюджета от времени в СССР

Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или логарифмическая дает наилучшую зависимость времени от дефицита бюджета от в обеих странах.

3. Количество вложенных в производство средств и полученная в результате при­быль соотносятся следующим образом:

X1	1,6	2,0	2,5	3,0	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	7,0
У	8,5	9,0	11,0	13,0	19,0	27	35	45	58	70,0

Запишите аналитическую зависимость между х1 и у. Проанализируйте получен­ный ответ. Каковы перспективы предприятия? Какая будет прибыль, если вло­жить 10,0 единиц?

Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или полиномиальная(второго порядка) дает наилучшую зависимость У(х1,х2) если:

X2

0

1

1

1,5

1,5

2

2,5

2,50

2,5

2,5

4. Источник радиоактивного излучения помещен в жидкость. Датчики расположены на расстоянии (х₁) от источника. Измерения интен­сивности излучения (у, мРн) проводились через (х₂) суток после установ­ки источника. Результаты измерений (у) приведены в таблице:

X1	X2	Y
20	1	61,2
50	1,5	33,6
100	3	12,3
20	4	43,6
50	4,5	24
100	5	8,8
20	6	28,3
50	7	15,6
100	12	5,7

Найти параметры аппроксимирующего уравнения у(х2)и оценить его точность.

Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или логарифмическая дает наилучшую зависимость У(х1,х2).

Найти расчетные значения интенсивности излучения для следующих значений х₁ и х₂:

Х1	0	200
Х2	0	15

5. Застройщик оценивает стоимость группы небольших офисных зданий в традиционном деловом районе. Оценку цены офисного здания в заданном райо­не застройщик предполагает осуществлять на основе следующих переменных: у - оценочная цена здания под офис, х₁ — общая площадь в квадратных мет­рах, х₂ — количество офисов, х₃ — количество входов, х₄— время эксплуата­ции здания в годах. Предполагается, что существует линейная зависимость между каждой независимой переменной (х₁, х₂, х₃ и х₄) и зависимой перемен­ной (у), то есть ценой здания под офис в данном районе. Застройщик наугад выбирает 11 зданий из имеющихся 1500 и получает следующие данные:

X1	Х2	Х3	Х4	У
2310	2	2	20	142000
2333	2	2	12	144000
2356	3	1	33	151000
2379	3	1,5	43	150000
2402	2	2	53	139000
2425	4	3	23	169000
2448	2	2	99	126000
2471	2	1,5	34	142900
2494	3	2	23	149000
2517	4	3	55	169000
2540	2	4	22	163000

Здесь «полвхода» (1/2) означает вход только для доставки корреспонденции. Найти параметры аппроксимирующего уравнения У(х1).

Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или экспоненциальная дает наилучшую зависимость У(х1, х2, х3, х4).

Определить оценочную стоимость здания под офис в том же районе, которое имеет площадь 2500 квадратных метров, три офиса, два входа, зданию 25 лет.

6. Имеются ежемесячные данные наблюдений за состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков.

Число ясных дней	Количество посетителей музея	Количество посетителей парка
8	495	132
14	503	348
15	465	541
20	380	643
20	348	743
25	305	865
5	?

Необходимо определить, существует ли взаимосвязь между состоянием погоды и посещаемостью музея.

Пусть х1 - Число ясных дней, х2 - Количество посетителей музея, у -- Количество посетителей парка. Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или полиномиальная (третьего порядка) дает наилучшую зависимость У(х1, х2).

7. Имеются результаты восьмимесячных наблюдений реализации путевок двух туристских маршрутов тура А и тура В.

Месяц	Тур А	Тур В
март	100	15
апрель	120	20
Май	121	15
июнь	105	18
июль	92	16
август	113	19
сентябрь	90	16
октябрь	80	15

Необходимо определить, имеется ли взаимосвязь между количеством продаж путевок маршрута А от месяца.

Можно ли установить зависимость обоих маршрутов и месяца, проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или степенная дает зависимость У(х1, х2).

8. Имеются результаты наблюдений интересующихся туристическими путевками и реализацией путевок двух туристских маршрутов тура А и тура В.

Интерес	Тур А	Тур В
130	80	15
145	90	16
150	100	15
175	120	20
175	121	15
200	125	25
200	125	30
250	113	20

Необходимо определить, имеется ли взаимосвязь между количеством продаж путевок маршрута В и интересующимися.

Можно ли установить зависимость обоих маршрутов и интересующимися, проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или полиномиальная (второго порядка) дает зависимость У(х1, х2).

9. Приведена статистика рождаемости(х2) и смертности(у) (количество на 1000 человек) в Санкт-Петербурге( х1 – Годы):

Годы	Рождаемость	Смертность
1991	9,3	12,5
1992	7,4	13,5
1993	6,6	17,4
1994	7,1	17,2
1995	7,0	15,9
1996	6,6	14,2
	8	?

Определите, имеется ли взаимосвязь между рождаемостью(х2) и смертностью (у)

Можно ли установить зависимость у(х1,х2)? Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или степенная дает зависимость У(х1, х2).

10. Данны ежегодные наблюдения за определенный период времени (годовой уровень инфляции (%), ставка рефинансирования (%) и курс доллара (руб./$), по:

Уровень инфляции	Ставка рефинансирования	Курс доллара
84 45 56 34 23	85 55 65 40 28	6,3 14 20 28 29

Построить функцию, наилучшим образом отражающую зависимость у(х1) и спрогнозировать значение у(50):

Определите, имеется ли взаимосвязь между годовым уровнем инфляции (х1), ставкой рефинансирования (х2) и курсом доллара (руб./$) (у)? Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или экспоненциальная дает зависимость У(х1, х2).

11. В отделе снабжения гостиницы имеется информация об изменении стоимости стирального порошка за длительный период времени. Сопоставляя его с изменениями курса доллара за этот же период времени, можно построить регрессионное уравнение. Ниже приведены стоимость пачки стирального порошка (в руб.) и соответствующий курс доллара (pyб./USD).

N	Порошок	Курс
1	5	6,3
2	7	9
3	9	12
4	12	15
5	15	19
6	16	21
7	20	25
8	25	29,3

Необходимо на основании этих данных построить регрессионное уравнение, позволяющее по курсу доллара определять предполагаемую стоимость пачки стирального порошка.

Необходимо на основании этих данных и данных инфляции построить регрессионное уравнение (если это возможно), позволяющее по уровню инфляции и курсу доллара определять предполагаемую стоимость пачки стирального порошка, Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или логарифмическая дает зависимость У(х1, х2)

инфляция

2

2,4

3

3,6

4,8

5,4

6

6,9

12. В таблице приведены данные наблюдений в течение 15 месяцев изменений уровня заболеваемости органов дыхания (Y) в зависимости от содержания в воздухе двуокиси углерода (X₁) и степени запыленности (Х₂).

X1	Х2	Y
1	1,3	1160
1	1,3	1155
1,1	1,4	1158
1,1	1,4	1157
1,1	1,5	1160
1,1	1,5	1161
1	1,4	1157
1	1,5	1159
1,2	1,6	1256
1,2	1,7	1260
0,6	1	1040
0,6	1	1039
0,7	1,1	1039
0,7	1,15	1040
0,75	1,2	1040

Построить регрессионную модель для предсказания изменений уровня заболеваемости органов дыхания (Y) в зависимости от содержания в воздухе двуокиси углерода (X₁).

Построить регрессионную модель для предсказания изменений уровня заболеваемости органов дыхания (Y) в зависимости от содержания в воздухе двуокиси углерода (X₁) и степени запыленности (Х₂). Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или степенная дает зависимость У(х1, х2)

13. Постройте зависимость зарплаты (руб.) от возраста сотрудника гостиницы по следующим данным:

Стаж работы	Возраст	Зарплата
1 10 10 7 3 5	20 50 45 40 25 30	800 2500 2500 2000 1200 1800

Постройте зависимость зарплаты (руб.) от возраста сотрудника гостиницы и стажа работы в гостинице. Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или экспоненциальная дает зависимость У(х1, х2)

14. Даны статистические данные жизненной емкости легких в литрах (Y), рост в метрах (X₁) и возраст в годах (Х₂) для группы мужчин:

X1	X2	Y
1,68	21	4,5
1,7	24	5,1
1,73	19	4,8
1,75	20	4,8
1,76	18	4,7
1,77	22	5,1
1,8	25	5,7
1,81	23	5,6
1,85	18	5,4

Постройте зависимость жизненной емкости легких в литрах (Y) от роста в метрах (X₁). Постройте зависимость жизненной емкости легких в литрах (Y) от роста в метрах (X₁) и возраста в годах (Х₂) для группы мужчин. Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или логарифмическая дает зависимость У(х1, х2)

Определите должное значение жизненной емкости легких для мужчины возраста 22 лет и роста 183 см из регрессионного уравнения.

15. Имеются данные о цене на нефть х1 (ден. ед.) и уровне инфляции х2 (ус. ед) и индексе акций нефтяных компаний у (усл. ед.):

X1	X2	Y
17,28	1,5	537
17,05	1,2	534
18,30	1,9	550
18,80	2,1	555
19,20	2,3	560
18,50	2	552
	0	?

Постройте зависимость Y от X₂.

Постройте зависимость Y от X₁ и Х₂. Проверьте какая из функций линейная, логарифмического приближения или полиномиальная (третьего порядка) дает зависимость У(х1, х2)