http://losevaf.narod.ru/critichzamet.htm

Критические заметки о буржуазной математической логике

А.Ф.Лосев

Публикация А.А.Тахо-Годи,

подготовка рукописи к публикации и примечания

 В.П.Троицкого

Опубликовано:

Историко-математические исследования, вып. 8 (43), 2003, с. 3339–401.

Огромное распространение идей т.н. математической логики или логистики общеизвестно. Теперь это уже перестает быть каким-то одним из методов логики и грозит оттеснить всякую иную логику¹. В последнем американском философском словаре² <...> уже нет вообще никакой другой логики кроме логистики, и в статье «Логика» этого словаря мы находим просто изложение логистики. К логистике тянется логика, но к логистике тянется и математика. С одной стороны, мы наблюдаем мощную линию: А. де Морган (1806–1876) – Г.Буль (1815–1864) – С.Джевонс  (1835–1882) – С.Пирс (1839–1914) – Э.Шредер (1890– 1895) и, особенно D.Hilbert и W.Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logic. Berl. 1928. 1937^2* , которая разрабатывает логику математическими средствами. С другой стороны, мы имеем также мощную магистраль: Г.Фреге (Begriffsschrift. 1879, Grundgesetze der Arithmetik. 1893–1904)  – Г.Пеано (Formulaire de Mathematiques, изд. с 1894 г.) – N.Whithead and B. Russell. Principia mathematica. <(1910–1913)> – D.Hilbert (в ряде трудов), магистраль, обрабатывающую, наоборот, математику логическими средствами. Обе эти линии³ образуют в настоящее время мощную цитадель логистики, от которой весьма заметно отстает наша научная логика, не говоря уже об отставании от нее школьных дисциплин, которые в настоящее время введены или вводятся в среднее и высшее образование.

Может ли логика пройти мимо этой большой отрасли науки, мимо этого сильного и на многое претендующего метода? Можем ли мы остаться безучастными к логистике в наших усилиях создать и разработать логику, соответствующую современному философскому сознанию? Мне казалось бы своевременным обратить внимание на некоторые особенности логистики, вытекающие из ее буржуазной философской сущности и вскрывающие ее конкретное лицо как мощного орудия современной буржуазной мысли. Мне кажется, мы слишком спешим с безоговорочным признанием этого метода и слишком пугаемся этого страшного для многих и гордого названия «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ логика». Точность математики и низкопоклонство перед буржуазной наукой терроризируют здесь мысль, и многие – еще до всякого критического ознакомления с логистикой – уже заранее переносят эту точность и на самую логистику. Так ли это на самом деле, – это нам и хотелось бы вскрыть в настоящих заметках.

§ 1. Черты догматической метафизики в современной логистике

1. Прежде всего, вся эта туча формул логистики, перед которой почтительно никнет головой всякий математически необразованный философ и логик, возможна только в силу длинного ряда догматических предпосылок, воспринятых логистикой из общего лона буржуазной философии ХIХ – ХХ вв., предпосылок, которые здесь сами собой разумеются,  но которые вовсе не обязательны для критического ума, свободного от буржуазных математических предрассудков. Не то, чтобы все эти предпосылки были все обязательно ложны или плохи или противоречивы. Но всякий критический ум, после ознакомления с логистикой, никак не может понять, почему такая логика есть нечто обязательное, абсолютное, почему нужно рассуждать именно так, а не иначе. Есть другие методы, и есть другие области логики. Почему мы должны строить логику именно так, а не иначе? Почему мы должны изгнать всякую другую логику из энциклопедических словарей и в справочных изданиях (которые как раз рассчитаны на всех образованных людей) говорить только о логистике?

Всмотримся в эти догматические предпосылки, лежащие в основе современной математической логики. Тут две линии. Одна – это логика, обрабатываемая математическими средствами; и другая – это математика, обрабатываемая логическими средствами. Эти две точки зрения, в конце концов, сливаются в одну, но до известного предела их можно проводить и врозь. Кроме того, необходимо тут же заметить, что наши наблюдения над логистикой совершенно не ставят никакого принципиального вопроса о взаимоотношения логики и математики, как он ставился бы и решался бы автором этой работы. Мы только ограничимся голым утверждением, что как возможен и нужен перевод логики на язык математики, так возможно и необходимо и применение математики к построению логики. Очень важна для философии логика математики, и очень важна математика логики. Однако мы ни в одной строке не даем своего собственного построения соответствующей системы, и мы хотим только указать, что критика логистики отнюдь еще не означает требования разрыва логики и математики. Наоборот, нам кажется, что в логистике эти науки недостаточно объединены и что более глубокого их объединения можно достигнуть другими, не логистическими методами⁴, хотя, при условии очищения логистики от произвольной метафизики, она также является в этой области весьма мощным орудием. Задача настоящей статьи чисто критическая, а именно вскрытие догматических и метафизических интерпретаций логистики; свои же положительные построения в этой области автор дает в других своих работах.⁵

2. Если под метафизикой понимать абсолютизирование какого-нибудь одного вида или момента бытия и значения в ущерб другим моментам и в ущерб живой цельности человеческого опыта и практики, то логистика в значительной своей части основана на догматической метафизике. Первое, что при изучении логистики бросается в глаза всякому знакомому с основами логики, это – контраст между критическим и напряженно-смысловым характером логики и математики, с одной стороны, и некритическим, бездоказательным догматизмом логистики, с другой. Этот догматизм проявляется как в допущении ряда предрассудков, часто даже плохо осознаваемых, так и во внешней манере выставлять в самом начале ничем не доказанные принципы, затушевывая и далеко запрятывая те основания, по которым эти принципы фактически выдвигаются.

Во-первых, большинство логистиков, считая математику ветвью логики, к сожалению, ставят себе при этом задачу не просто перевода математики на язык логики, но изгнания из математики всякой интуиции. Думают, что при обычном подходе и арифметика и геометрия трактуются как основанные на непосредственных и наглядных представлениях, а вот мы-де, сводя это на логику, докажем, что наглядные представления тут вовсе не при чем. Но это – философская наивность и некритическая метафизика, совершенно не отвечающая действительности. С марксистско-ленинской точки зрения нет совершенно никаких оснований изгонять интуитивное мышление в пользу дискурсивного мышления или изгонять дискурсивное в пользу интуитивного. Для критической логики совершенно нет никакого ни интуитивного, ни дискурсивного мышления, а есть одно цельное и живое мышление (ибо мышление именно таково, когда оно отражает цельную и живую действительность), в котором, именно, ради абстракции и анализа, можно выделять множество разных несамостоятельных моментов и в том числе моменты наглядности и дискурсии. Логистики, по-видимому, думают так, что если в тройке заключено три единицы, то больше ничего в этой тройке и нет. А это как раз – догматическая метафизика. Тройка, во-первых, состоит из трех единиц, а, во-вторых, не состоит из них и есть некая неделимая, абсолютно-целостная индивидуальность. Если бы тройка состояла для нас только из трех изолированных единиц, то мы не могли бы понять, что такое «миллион», потому что понимание миллиона реализуется у нас уже во всяком случае без всякого раздельного представления всего этого миллиона изолированных единиц. Если счет понимать обязательно как дискурсивный вывод (что, конечно, тоже совершенно неправильно), то во всяком случае тройка как целостная индивидуальность дана сразу и без «вывода», без «счета», т.е. чисто наглядно. Всякое число обязательно и состоит и не состоит из отдельных единиц. Какой же может быть смысл понимать числа и операции над ними только вне всяких интуитивных моментов? Это – произвольная метафизика. Зачем философии также добиваться во что бы то ни стало свести геометрию на отвлеченно-логические операции? Что отвлеченно-логические операции налицо в самом наглядном геометрическом мышлении, это ясно. Что их выделять можно и нужно, тоже ясно. Но зачем же обязательно сводить на них всю геометрию? Независимость дискурсии от интуиции – ничем и никак не доказанная догматическая метафизика.

Шкаф состоит из досок, гвоздей, стекла и краски. Можно и нужно говорить об этих отдельных частях шкафа. Но отдельная доска не есть шкаф; и даже все доски, из которых сделан шкаф, не есть шкаф. Гвозди, ни каждый в отдельности, ни все взятые вместе, не есть шкаф. Стекло и стекла тоже не есть шкаф. Где же тут самый-то шкаф? Очевидно, что хотя в шкафе фактически нет ничего кроме всех этих частей, самый шкаф есть некая цельность, которая не делится на эти части без остатка; и учитывать одни только эти части, не учитывая того, что это суть части именно шкафа, это значит утерять и самое представление шкафа. Диалектический материализм учит, как всякая цельность только и состоит из определенных своих частей и не из чего другого и как одновременно с этим никакая цельность не сводима на отдельные ее части без остатка. Это значит, что дискурсивный состав нашего представления о предмете до последней глубины переплетен с наглядной фиксацией данного предмета, и оторвать одно от другого – это значит утерять самый предмет. Абсолютный рационализм или формализм и абстрактный интуитивизм суть одинаково детища буржуазной метафизики, оторванные от живого общения с бытием.

Во-вторых, догматической метафизикой является безусловная уверенность в том, что математика есть дедуктивная наука. Этот предрассудок, владеющий умами с древних времен, остался незыблемым и для логистики. Наоборот, от тут получил еще большее заострение. Логистики формулируют некоторое небольшое количество исходных определений и аксиом и из них «дедуцируют» всю математику. Рассел в 1903 году формулировал 9 неопределенных понятий и 20 недоказуемых положений, из которых у него логически вытекает решительно вся математика. Таким образом, дедуктивизм тут выдвинут еще больше, чем в традиционном предрассудке на эту тему.

1) Едва ли тезис о безусловной дедуктивности математики может быть теперь защищаем полностью. Ясно, прежде всего, что этот тезис не есть результат самой математики, но есть результат определенного теоретизирования  над нею. Совсем не обязательно при нахождении всякой новой теоремы выводить ее из тех или других аксиом. В дальнейшем, когда теорема доказана, можно задаться целью перечислить все положения, без которых это доказательство невозможно. Но это – вопрос той или иной теории, той или иной точки зрения на теорему, того или иного способа изложения теорем и их доказательств, а не самой теоремы в ее логическо-смысловом составе.

2) Однако, допустим, что мы поставили себе целью проанализировать все принципы, использованные в данной теореме. Найти эти принципы еще не значит доказать, что данная теорема только из них одних и выведена. Возьмем то, что обычно считается аксиомой в геометрии: «две точки определяют собою одну и только одну прямую». Допустим, что мы не знаем ни одной плоской фигуры и нам неизвестно, что такое треугольник. Можно ли в таком случае вывести что-нибудь из приведенной аксиомы? Как эта аксиома ни лежала бы «в основе» учения о треугольнике, но если нам неизвестно, что такое треугольник, а известно только, что такое точка и прямая, то эта аксиома ровно ничего нам не даст для учения о треугольниках, и никакой теории треугольников нельзя будет из нее вывести. Допустим, чтобы решать алгебраические уравнения, надо знать элементарные арифметические действия. Значит ли это, что теория алгебраических уравнений «выводится» из четырех действий арифметики?  Правда, этим самым мы ставим под сомнение всякую дедукцию вообще. Однако, она, взятая в столь абстрактном виде, т.е. с исключением всякой индукции, вполне достойна всякого сомнения (так же, как и абстрактно взятая индукция). Невозможно себе представить никакую плоскость, имея только понятие прямой; и ни из какого понятия прямой совершенно невозможно дедуцировать плоскость, хотя плоскость, между прочим, можно рассматривать и  как след движущейся прямой, т.е. как основанную на известного рода наглядном представлении прямой. Еще можно было бы до некоторой степени осмысленно говорить о наглядном выведении образа плоскости из образа прямой; но совершенно бессмысленно говорить о логическом выведении понятия плоскости из понятия прямой. Чистая дедукция есть только выдумка и фикция формально-логических теоретиков. Она есть только метод систематизации (и, в частности, изложения) уже добытого знания, но никак не метод получения самого знания⁶ или, во всяком случае, она есть такой метод получения знания, который неотделим от противоположного ему индуктивного метода. Когда уже есть треугольник и характеризующие его геометрические связи, тогда можно задаться целью определить, что в них общее и что частное. Но пока нет самого треугольника, невозможно вывести из каких-либо общих принципов ни его геометрическую характеристику, ни его самого.

Математика ровно в той же степени дедуктивна, в какой и искусствознание. Откуда можно дедуцировать собор Василия Блаженного, если нет его самого? Но если он уже есть и есть достаточно зрячие глаза, чтобы оценить его структуру, можно и нужно определять те общие принципы, которые лежат в основе этой структуры. Что тут дедуктивного? Ровно ничего. Точно так же законы Кеплера о движении планет, полученные вначале чисто эмпирическим путем и впоследствии выведенные из закона Ньютона о всемирном тяготении, ни в коем случае не могут считаться на этом последнем основании законами дедуктивными: и с самого начала они были получены эмпирически, и впоследствии можно было не только их выводить из закона Ньютона, но и самый закон Ньютона выводить из них. Этим, конечно, нисколько не принижается роль дедукции ни в науке вообще, ни, в частности, в математике. Мы вовсе не отрицаем моментов дедукции в науке, но признаем ее реальную значимость только в ее нераздельном единстве с индукцией.

3) Однако, если бы даже мы и согласились, что математика всерьез выводится из каких-то определенных понятий или аксиом, то даже и в этом случае абстрактно понимаемая дедукция не нашла бы себе здесь прочного места. Если дедукция есть вывод от общего к частному, то в математике сплошь и рядом мы находим выводы вовсе не дедуктивные.

Вспомним доказательство равенства суммы внутренних углов треугольника двум прямым. Оно проводится при помощи приравнения этой суммы углов одному развернутому углу, который всегда равен именно двум прямым углам. Здесь, таким образом, вывод основан на равенствах: А равно В, В равно С; след<овательно>, А равно С. Где же тут дедукция? И А, и В, и С – не больше и не меньше одного другого по количеству. Тут все величины обладают совершенно одинаковой общностью.⁷

Всмотримся пристальнее в этот пример. Защитники непременной дедукции в математике будут в данном случае рассуждать так: сумма углов треугольника есть частный случай двух смежных углов, а два смежных угла есть частный случай двух прямых углов; следовательно, из понятия двух прямых <углов> выводится здесь понятие двух смежных, а из понятия двух смежных выводится понятие суммы углов треугольника; другими словами, тут самый настоящий переход от общего к частному, т.е. самая настоящая дедукция. Все это рассуждение в защиту дедукции в корне неправильно. Два смежных угла ни в коем случае не есть видовое понятие двух прямых углов. Два прямых угла, т.е. 180°, это есть то, что в традиционной логике называется единичным понятием, т.е. для него совершенно нельзя представить себе никакого логического вида, подобно тому как не существует никакого логического вида для Пушкина и нельзя найти никакого видового понятия для Тверского бульвара. Два смежных угла отличаются от двух прямых углов отнюдь не логически и даже не арифметически, а только геометрически, точно так же, как и сумма углов треугольника – от <суммы> двух смежных углов. Геометрическая же фигура, взятая сама по себе, вовсе не есть понятие количественное или, вообще, метрическое и даже вовсе не есть понятие. Единственно о каком подведении здесь может идти речь, – это не подведение двух смежных углов под общее понятие суммы двух прямых углов, но подведение разных способов разбиения числа  180° на два слагаемых. Однако в доказательстве равенства углов треугольника двум прямым совершенно нет никакого упоминания о разных разбиениях этих  180° на два слагаемых, потому что здесь мыслятся какие угодно разбиения, и теорема совершенно не касается никаких конкретных величин обсуждаемых в ней углов. Таким образом, дедуктивность тут мнимая, и отчленить ее от индукции совершенно невозможно.

Однако приводить подобные примеры и анализировать, где в математике дедукция и где ее нет, было бы здесь для нас утомительной и ненужной работой. Уже один этот тип вывода (на основе «две величины, равные порознь третьей, равны между собой»), столь популярный в математике, неопровержимо свидетельствует о том, что математика, по крайней мере, не строго дедуктивная наука, а может быть, и совсем не дедуктивная. А нам пока большего и не надо. Тут важно убедиться, что даже если и выводить все конкретное содержание математики из принципов, то эти выводы отнюдь не всегда оказываются дедуктивными.

4) Итак: 1) дедуктивность математики не есть ее реальный метод, а есть только плод очень абстрактного теоретизирования; 2) если начать теоретизировать, то в математике отнюдь не обязательно выводить конкретное из абстрактного и 3) если, наконец, и выводить, то в математике  это еще не значит дедуцировать.

Поэтому, основная задача логистики – свести математику на исходные понятия и аксиомы – есть не больше, как просто задача привести хаотический материал в известный порядок при помощи соблюдения строгого метода изложения. Это вопрос о способах логического изложения науки, а не о логических основах самой науки. Вопрос этот, конечно, исключительной важности для самой математики, и очень хорошо, что математики хотят привести свои материалы в строго логическую систему. Однако принципиальная и исключительная дедуктивность математики, резко противопоставленная всякой индукции, – ничем и никак не доказанная догматическая метафизика.

В-третьих, в логистике мы встречаемся еще с одним догматическим предрассудком, это – толкование исходных категорий и аксиом как неопределенных, недоказуемых и даже чисто условных, необязательных. Удивительная вещь: с одной стороны, тут огромная тяга к принципам, к аксиомам, к исходным пунктам, к необходимым и наиобщим предпосылкам, а, с другой, здесь мы находим сильнейшую релятивистскую тенденцию, сводящую все эти принципы и общности к чему-то совершенно случайному, относительному, условному. Можно понять Канта, сводившего конкретное многообразие опыта к немногим категориям и основоположениям. Но делалось это у Канта – хорошо ли, плохо ли, другой вопрос, – именно ради обоснования и осмысления этого разнообразия, ради объяснения общности и необходимости, царящей в науке. Здесь же как раз наоборот. Ищется самое общее и первоначальное – только для того, чтобы это общее объявить непонятным, необъяснимым, неопределенным, недоказуемым и даже условным.

1) Можно ли считать исходные понятия и аксиомы математики (и всякой иной науки) неопределимыми и даже неопределенными? Нужно сказать, что это тоже один из застарелых предрассудков традиционной догматической метафизики – считать первоначальное неопределимым и неопределенным.⁸ В самом деле, в основе математики лежит, напр<имер>, понятие числа. Почему мы должны считать его – да еще в логике – неопределимым и неопределенным? Это – очень сложная категория, которую распутать можно и должно и определение которой часто дают сами же логистики. Казалось бы, что более неопределимо, чем единица или нуль? Но уже ближайшее изучение самой логистики показывает, что логистики определяют (правда, очень плохо, как это увидим ниже), и что такое единица, и что такое нуль. Предрассудок традиционной догматической метафизики гласит: во всяком мышлении есть то исходное, что уже недоказуемо, как и во всяком знании есть, напр<имер>, ощущения, которые во всяком случае нельзя никак определить, ибо, как вы определите синий цвет или запах фиалки? На это нужно сказать, что синий цвет можно вполне точно определить и при том с разных точек зрения. Его можно определить физически – через количество колебаний. Его можно определить физиологически – путем анализа соответствующего раздражения. Его можно определить психологически. Наконец, его можно совершенно точно описать феноменологически и объяснить диалектически – путем помещения синего цвета среди других цветов – так, что будет совершенно ясен принцип получения синего цвета из соответствующих явлений белизны, прохождения белого луча через среду, светлости, насыщенности и т.д., и т.д. Это – сложная картина, но вполне достижимая (по крайней мере, принципиально). Почему же вдруг нельзя сказать, что такое «прямая» или «точка»? Можно сказать и нужно сказать. Диалектика точки или прямой – замечательная вещь, не хуже, чем диалектика красного, синего, зеленого. Говорят, нельзя определить понятие «следует», «последующее». Почему? Следование – не настолько уж примитивное представление, чтобы о нем ничего нельзя было сказать. А если бы оно и было предельно простым, то оно нашло бы себе определение путем помещения среди других таких же примитивных представлений. Можно согласиться, что первоначальные исходные понятия неопределимы по признакам. Но они всегда определимы с точки зрения взаимного расположения.  Определения понятия при помощи признаков, вообще, не является ни единственным определением, ни наилучшим, что, конечно, есть очень сложная проблема, которой мы здесь не должны и не хотим заниматься.

2) Также нельзя считать исходные аксиомы математики недоказуемыми и только условными. Гильберт и другие изощряются в построении разных пространств, в которых отсутствует то одна, то другая аксиома геометрии. Можно построить геометрию без аксиомы непрерывности. Можно построить геометрию без аксиомы конгруэнтности. Особенно известны геометрии Лобачевского и Римана, основанные на разных  пониманиях параллельности. Словом, полная-де условность и произвол! Какое пространство хочешь, такое и строй! Чистая условность! Ничего обязательного! Все относительно! Выбирай любые аксиомы и любую их комбинацию – получишь какое угодно пространство!

Это – до чрезвычайности примитивная философия и безнадежнейший догматически-метафизический тупик. Сами же математики устами Кэли–Клейна научили нас переходить вполне точным способом (путем вариаций т<ак> н<азываемой> кривизны) от Римана к Евклиду, от Евклида к Лобачевскому, от Лобачевского к Риману и т.д. Как же после этого можно говорить об условности каждого из этих пространств и соответствующей этим пространствам аксиоматики? Тогда все кривые второго порядка, в том числе самая обыкновенная окружность, тоже должна оказаться пустой условностью и фикцией только потому, что имеется общее уравнение кривых второго порядка. Логистики подошли к аксиоматике с орудием узко-формалистической логики, когда все категории оказываются безнадежно изолированными и дискретными, и потом – сами же удивляются, что формулируемые ими аксиомы ничем между собою не связаны и допускают любую комбинацию. Аксиомы эти, конечно,  между собою строго связаны, ибо каждая из них есть выражение той или иной категории (у Гильберта, напр<имер>, «связь», «порядок», «непрерывность», «подобие» и т.д.), а все категории есть единая и цельная, хотя и развивающаяся система, подобно тому как является живою цельностью сама действительность, отражением которой должны являться и эти категории, и эти аксиомы; и комбинации этих категорий – не бесконечны и не случайны, они вполне исчислимы по своему количеству и на данном этапе развития науки за их определенное количество совершенно некуда выйти. Аксиомы эти вполне доказуемы, раз они есть выражение той или иной логической категории, потому что, с нашей точки зрения, всякая логическая категория оправдана, если она есть отражение развивающегося объективного бытия. Так, если среди наших первых категорий имеется «количество», и  «количество» дорастает до «порядка» (а при рассмотрении <его> как отражения живой цельности бытия оно и не может не дорастать до так или иначе упорядоченного количества), то уже тем самым доказана необходимость аксиом порядка. Если среди наших основных категорий, из которых мы составляем логическое мышление, имеется «непрерывность», то этим самым уже доказана аксиома непрерывности в геометрии, ибо аксиома непрерывности в геометрии, очевидно, есть прямое следствие того, что мышление вообще не совершается без непрерывности, подобно тому как сама непрерывность мышления есть не что иное как специфическое отражение непрерывности самого бытия. Правда, мы можем построить пространства без этой аксиомы, но все равно и тут она будет присутствовать отрицательно, ибо в таком случае непрерывна будет сама прерывность (а если эту последнюю мыслить только прерывно, то и в этом случае прерывные моменты прерывности окажутся непрерывностью). Итак, исходные принципы математики и доказуемы (хотя они в то же время и очевидны), и не суть условные фикции (хотя их можно произвольно комбинировать). То и другое происходит потому, что математические аксиомы коренятся в самом объективном бытии и являются его специфическим отражением, так что никакое их произвольное употребление и комбинирование не в силах разрушить их реального корня в бытии и их «относительность» в силу и в результате человеческой практики всегда может превратиться в абсолютную объективность. Чистая условность математических принципов – ничем и никак не доказанная догматическая метафизика.⁹

А что касается самой произвольности в выборе аксиом и причудливости возникающих при этом типов пространств, то все эти не только причудливые, но и вполне фантастические, вполне патологические пространства есть то невиннейшее развлечение, которое с легким сердцем может разрешить математикам самый свирепый реалист и материалист. Математики на этих развлечениях оттачивают свои научные методы; и эта умственная эквилибристика есть не только вполне невинное удовольствие, но хотя бы и чисто формально служит прогрессу математической науки. О реальности того или иного пространства судит практика, а не сама геометрия. Но в теоретической науке, вообще говоря, построено очень много истин, объективная реальность которых еще не обнаружена в научной практике. Почему же нам запрещать геометрам строить свои патологические пространства? Однако говорить о чистой условности аксиом и о том, что они всецело зависят от произвольного соглашения, это – очень вредная метафизика и ее надо запретить.

Вопрос об аксиомах в логике и математике, конечно, есть вопрос очень сложный, и мы вовсе не имеем в виду ставить его здесь целиком. Мы могли бы здесь привести известное рассуждение Ленина об условности и безусловности познания, об абсолютной объективной истине и бесконечном приближении к ней человеческого знания и другие марксистско-ленинские принципы логики, теории познания и диалектики. Однако, едва ли можно было бы убедить этих релятивистов и субъективистов ссылкой на марксистско-ленинскую теорию; и потому мы только для самих себя должны отдать полный отчет в том, что современная буржуазная логистика разрывает живую цельность человеческого опыта, где условное и безусловное слиты в одну нераздельную цельность, выхватывает отсюда только одну условность и в таком абстрактном виде абсолютизирует ее в качестве единственно возможной для мышления. Это и есть последовательно проводимая догматическая метафизика.

3.   Что же за логика может вырастать при таком подходе к математике?

< 1) >Из математики выхолощена всякая наглядность; математика есть только дискурсивный, формальный вывод из каких-то принципов, и принципы эти – случайны, неопределенны и даже неопределимы, произвольны и вполне относительны. Что это за логика? Уже ясно видно наперед, что это должна быть какая-то очень узкая, очень условная и очень зыбкая логика. И действительно это – какая угодно логика, но только не диалектическая, ибо диалектика связала бы все категории логистики в живую цельность, в которой одна категория без остатка вливалась бы в другую, а здесь это исключено и запрещено раз навсегда. Это – узко-формальная логика, т.е. логика прерывности. Она, как известно, бывает и не только объемной, и логистики всегда давали место в своих работах, напр<имер>, логике отношений. Однако и «логика содержания», и «логика отношений» есть все-таки логика недиалектическая: в основе всего этого лежит прерывная структура схемы, а не непрерывно-целостная структура целого.

2) Однако как ни важна эта методологическая ограниченность логистики, еще важнее для ее характеристики то, что она все время восстает против наглядности. Это не такая простая и невинная вещь, как это может показаться с первого взгляда. Всякая наука живет обобщениями; и в этом не зло, а истина и красота науки. Но бывает общность, которая отражает конкретную наглядность и считается с ней; и бывает общность, заведомо пренебрегающая всем конкретным и наглядным. Если я скажу, что вода – это есть химическое соединение двух частиц водорода и одной кислорода, то это есть оперирование общностями («соединение», «химизм», «частица», «два», «кислород», «водород»), но тут общности имеют своей единственною целью – только понять конкретную наглядность соединений водорода и кислорода в воду. Однако можно сказать так: вода есть отношение между некоторым количеством чего-то и некоторым количеством еще чего-то другого. И при этом можно начать бахвалиться: «Отношение? Какое отношение? Какое хотите. Любое отношение. Некоторое количество? Какое угодно количество! Какое хотите количество, так<ое> и берите. Количество чего-то? Да всего, чего хотите. Что хотите брать, то и берите. Важно только, чтобы нечто было, чтобы оно было взято в каком-нибудь количестве, и – точно так же другое, и чтобы было какое-то отношение между первым и вторым». Так именно поступает логистика, желая дать нам логику математического предмета. Это – несомненно есть операция с общностями. Но ясно, что это обескровленные общности, жалкий скелет живой стихии числа, счета, величин, пространства и т.д. Так что у многих может возникнуть даже вопрос, целесообразно ли вообще заниматься таким пустым предметом.

Следовательно, та логика, которую знает логистика, есть не только узко-формальная, принципиально-недиалектическая логика, но, как логика, принципиально воюющая со всем наглядным, она вообще избегает всякой предметности, не в онтологическом смысле (об этом и говорить нечего), но даже и в логическом смысле, даже по самому смыслу. Другими словами, она тут начинает граничить с беспредметностью почти как с некоторой бессмыслицей. Логистика беспредметна в такой степени, что она не хочет иметь вообще никакого предмета, так что от ее анализа уничтожается то самое, о чем она говорит и что она анализирует. Это превосходит всякий махизм, и с этим не сравнится никакая махистская методика естествознания.¹⁰

Одна оговорка, впрочем, является здесь весьма существенной. Чтобы быть вполне справедливым к современной логистике, надо различать самый метод логистики в его объективном значении и ту его догматически-метафизическую интерпретацию, которую он получает у логистиков. Повторяем, общность сама по себе, правильно отражающая объективную реальность, не только не есть зло, но это есть самая сердцевина, самая душа науки. В таких общностях нет ровно ничего субъективистического, нет ничего релятивистского. Такие общности чем общее, тем они глубже и шире охватывают действительность. И если отбросить в современной логистике ее махистскую интерпретацию, если взять ее обобщения как таковые, то часто нужно не только соглашаться с ними, но и удивляться их оригинальности и невольному реализму.

Если мы видим, что 2 ореха в соединении с 3 орехами то же самое, что 3 ореха в соединении с 2 орехами, и если мы замечаем, что 3 пальца плюс 2 пальца то же самое, что 2 пальца плюс 3 пальца, то наше обобщение, что 2 + 3 = 3 + 2 не только возможно или полезно, но оно существенно необходимо, абсолютно научно и может отсутствовать в мышлении только в условиях его патологического состояния. Однако мы совершенно отказываемся понимать, почему это обобщение условно, почему оно неопределенно или неопределимо, почему в нем нет никакой наглядности, почему оно не соответствует никакой реальности, почему оно возникает только в результате произвольного соглашения и т.д., и т.д. Вся эта разложенческая и гниющая «философия» ни во что не верящей буржуазии не имеет никакого отношения к тому законному обобщению, которое мы сейчас формулировали. И если логистика, вместо того чтобы брать те или иные конкретные отношения между конкретными вещами, берет некое А вообще, некое В вообще, некое С вообще и т.д., а также устанавливает между этими А, В, С тоже некое отношение вообще (так что уже становится неважным, что именно солнце нагревает камень, т.е. неважно, что тут речь идет именно о солнце, именно о нагревании и именно нагревании камня, но важно только то, что здесь некое А вообще имеет некое отношение вообще к некоему В вообще), то такого рода обобщение не может не представлять большой научной ценности, и  очень хорошо, что логистика этим занимается. Однако мы опять-таки начинаем недоумевать, если мы читаем, что такого рода обобщенное отношение не имеет никакого отношения к бытию, что оно не получено из опыта путем бесконечного ряда наблюдений, что оно есть продукт законов субъективного мышления, что оно есть ничего и ни о чем не говорящая условность и пр.

С  точки зрения Ленина, чем обобщение шире и глубже, тем оно больше обнимает фактов, т.е. тем оно конкретнее, реальнее и объективнее. Марксистско-ленинская теория может только приветствовать максимально широкие обобщения при условии соответствия реально наблюдаемым фактам действительности. Очень хорошо, что логистика помогла глубоко вскрыть структуру многих математических понятий и операций, что она углубила и сделала более тонкой теорию множеств и топологию, что она помогла расширить понятие интеграла, установить аксиоматику теории вероятностей, формулировать специфическую логику квантовых процессов (в которой, оказывается, отсутствует дистрибутивный закон для основных логических операций и которая примерно так относится к традиционной логике, как неевклидова геометрия к евклидовой). Но совершенно непостижимо, почему все эти обобщения условны и ненаглядны, почему они не соответствуют никакому бытию и почему это только «знаки», а не сама действительность, и почему эти «знаки» есть результат произвольного соглашения и есть только нечто словесное и фиктивное.

3) Отсюда вытекает и конкретная характеристика метода логистики. Чтобы дать этому методу достойное его название, вдумаемся в то, что тут происходит. Берется математический факт, выбрасывается из него наглядное содержание. Остается его смысловой костяк. Костяк этот анализируется в своем составе. Получаются немногие основные понятия, о значении и смысле которых запрещается говорить; и получаются немногие принципы и аксиомы, которые объявляются недоказуемыми. Что же это такое? Как это возможно? Как возможно доказывать, что дерево не зелено и не большое, не малое, не зная наперед, что такое зелень и что такое размер? Ясно, что опровергать зелень дерева можно только зная, что такое зелень. Дерево зелено, а я вот скажу, что тут «нечто» «включается» в «нечто». Даже формальная логика скажет, что здесь именно «дерево» «включается» в «зелень». Но логистика не хочет говорить и этого. В таком случае на основании чего же она вообще говорит тут о включении некоего А в некое В? Не на основании ли того, что она прекрасно видит именно зеленое дерево? Обобщать тут вы можете сколько угодно; но вы не имеете права говорить, что включение обобщенного А в обобщенное В произошло без наблюдения реальной зелености реальных деревьев.¹¹

По-видимому, основной метод логистики есть не что иное, как сплошное petitio principii, т.е. использование для доказываемого тезиса, именно этого самого тезиса, в качестве основания. Наблюдать, что дерево зелено и потом, на этом основании установить известное отношение между деревом и зеленью, и потом сказать, что для дерева вовсе не характерна зелень, а важно только отношение к чему-то вообще, да заодно выбросить и само дерево и сохранить только «некоторое» отношение неизвестно между чем, это значит совершить petitio principii. Это и есть метод логистики. Так всегда мстит пренебрежение наглядностью и предметностью, ибо сводить наглядность на внутренно-пустой и чисто-рациональный скелет, имея тем самым в виду ее опровергнуть, это можно делать только уже зная, что такое эта наглядность, т.е. тем самым так или иначе ее признавая.

4) Наконец, для метода логистики важно еще одно обстоятельство. Так как логистика здесь есть нечто недиалектическое, т.е. ее категории не находятся в процессе свободного развития¹², отражающего свободное развитие бытия, а отражают только некую уродливую фикцию (т.е. отражают лишенный всякой наглядности, обескровленный математический предмет), то логика, осуществляемая логистикой, оказывается бледной тенью самой же математики и при том в ее максимально формалистской интерпретации. Математика объявлена ветвью логики, но это не значит, что логика у логистиков есть наука, независимая от математики и нечто специфически самостоятельное. Ближайшее ее рассмотрение обнаруживает, что она берет только понятия логические. А связь этих понятий продолжает трактовать чисто математически. Иначе и быть не может. Ведь логистики не знают логики как науки о свободно развивающемся мышлении и бытии, как того требует общечеловеческий опыт и фиксирующая этот опыт марксистско-ленинская теория. Логика для них производна. Но откуда, из чего производна? Никакого свободно развивающегося бытия, отражением которого было бы мышление, они не знают. Они знают только математику. Но их математика есть связь и система неизвестно чего; они «не знают», чего именно это есть связь и чего именно система. Тут можно, говорят они, понимать «все, что угодно». В таком случае, о чем же еще можно говорить в логике, как не о математических же связях неизвестно чего? Чисто логических связей логистики не знают, так как для этого нужен анализ категорий как таковых. Следовательно, нужно только выставить вначале это «неизвестно что», т.е. неопределимые понятия и недоказуемые аксиомы, и из них дедуцировать всю математику. Но как раз дедукция-то эта здесь оказывается меньше всего логической, т.е. самостоятельно-категориальной, и больше всего все той же математической, т.е. числовой и количественной; и если то, откуда здесь дедукция, есть все же, в конце концов, математические  категории, то вся новость логистики по сравнению с конкретной математикой сводится большею частью к систематизации и упорядочению математического материала, который, возникая стихийно у разных исследователей, в разные времена и в разных местах, отличается, конечно, хаотическим характером. Вполне естественна потребность расположить его в более или менее строгом логическом порядке, – напр<имер>, от наиболее общих принципов к более частным; но тут нисколько не больше логики как самостоятельной науки, чем и в каждом научном рассуждении вообще. Ведь всякая наука должна быть логична, но от этого еще далеко до логики данной науки. Сводить частное к общему, значит, рассуждать логически, но это не значит, строить логику данного сведения. Иначе сведение разных видов энергии к общему единству энергии было бы уже логикой физики; и периодическую систему элементов химии, сводящую развитие атомных весов к единому принципу, тоже надо было бы считать логикой химии или химической логикой. Как учение об единстве энергии или о периодичности элементов есть только физика и химия, но никак не логика (хотя учения эти, конечно, как научные, вполне логичны), точно так же и сведение математики на немногие понятия и аксиомы, как оно не логично само по себе, все же еще не есть логика математики или математическая логика, но есть только сама же математика в ее более строгом и стройном изложении, и больше ничего.¹³ Однако иначе и не могло получиться, потому что математика здесь объявляется ветвью логики, но сама логика трактуется здесь не специфически, а опять-таки чисто математически.

С марксистско-ленинской точки зрения не существует никакой чистой и абсолютно-самостоятельной логики, т.е. самостоятельной настолько, чтобы она была независима от опыта, чтобы она не отражала определенной ступени его исторического развития и чтобы она не была результатом научного мышления и научных наблюдений того или иного этапа человеческого развития. Поэтому, рассуждая чисто теоретически и безотносительно, можно только приветствовать, что представители отдельных научных дисциплин стараются осознать логику своего реального мышления в области этих дисциплин и тем самым дают материал и для общей логики. Без осознания опыта отдельных наук, с нашей точки зрения, повторяем, не может быть построено никакой общей логики; и самостоятельность такой общей логики возможна только при условии сознательного использования логики отдельных наук и при условии обобщения того, что эмпирически делается в отдельных науках.

Однако, во-первых, это совершенно не значит, что отдельные науки должны быть ветвями логики. Осознать в обобщенной форме отдельную науку и превратить ее из хаотической массы отдельных наблюдений и законов в строгое и последовательное целое – это совершенно не значит превратить данную науку в логику, т.е. что математика у нас есть ветвь логики, что механика есть тоже логика, что физика есть логика и т.д.

Во-вторых, зависимость общей логики от отдельных наук не означает также и того, что отдельные науки со своей специфической логикой могут претендовать на универсальное значение. Если мы, напр<имер>, изложили геометрию со строгим учетом исходных аксиом и постулатов и с учетом того, к чему обязывает или не обязывает в геометрии каждая такая отдельная аксиома и каждый такой отдельный постулат, то это только логически построенная и изложенная геометрия, а поскольку геометрия, как и всякая наука, должна быть логически последовательной, то аксиоматическая разработка геометрии есть просто сама же геометрия в ее научном виде, и – больше ничего. Это просто хорошая геометрия, геометрия как наука, геометрия как система, а не логика геометрии; и претендовать на какое-нибудь выхождение за собственные пределы такая геометрия никак не может. Однако, если бы мы даже и признали аксиоматику геометрии логикой геометрии, то и в этом случае не будет никаких оснований считать геометрическую логику логикой вообще. Для этого нужны были бы уже негеометрические обобщения геометрии, и своими только одними геометрическими силами геометрия со всей ее аксиоматикой не могла бы создать такого обобщения. Поэтому является весьма провинциальным и доморощенным предприятием именовать книгу «Основами теоретической логики», давая в ней только одну математическую логику. Не существует никакой абсолютно-чистой логики, и марксистско-ленинская теория хотела бы использовать для построения общей логики также и логику математическую наряду с логикой всех отдельных дисциплин, ибо для диалектического материализма истина конкретна. Но математическая логика в ее теперешнем виде слишком абсолютизирует себя, и использовать ее в таком виде совершенно невозможно. Использовать ее можно только после коренной чистки.

Итак, логистика есть логика – 1) антидиалектическая, 2) принципиально беспредметная, 3) использующая для доказательства своих тезисов сами же эти тезисы, 4) с применением чисто-математических же, но не специально логических методов.

4. Нужно ли после этого еще доказывать, какую печальную картину философского разложения представляет собой буржуазная математическая логика. Решительно все утверждения математической логики, и при том не только ложные и недостаточные, но даже и вполне безупречные, вполне научные, пронизаны этим духом буржуазного растления и нигилизма. Казалось бы, что может быть для науки более ценным, чем обобщение? Ведь чем обобщения более широки, тем они глубже, реальнее и научнее. Но что сделала с этими обобщениями математическая логика и во что она их обратила? Она обратила их в мощное орудие борьбы против всякой очевидности, наглядности, предметности, в орудие уничтожения всего реального и материального. Даже когда эти обобщения хороши сами по себе, то уже ввиду постоянной склонности их авторов ненавидеть все материальное, начинаешь им не доверять и пытаешься их ограничивать. Но не лучше обстоит дело у логистиков даже и с оценкой этих самых обобщений. Ну, пусть они ненавидят все материальное. Так, может быть, по крайней мере, хотя бы эти свои обобщения они считают чем-то твердым и реальным? Оказывается, что и эти обобщения, с точки зрения логистиков, есть нечто весьма шаткое и зыбкое, нечто текучее и ненадежное, нечто условное и даже только словесное. Сводили-сводили наглядность на рассудочные формы, а потом оказалось, что и эти рассудочные формы совершенно не отражают никакой действительности, и не отражают даже кантовской априорной стороны сознания. Оказывается, что и здесь все та же труха и текучесть и совершенно нет ничего твердого. Конечно, в истории науки все является более или менее текучим. Все наши знания, конечно, относительны и с каждым днем совершенствуются. Но посмотрите, во что превратили современные буржуазные логистики эту общепонятную и совершенно естественную относительность человеческого знания.  Они превратили <ее> в полный нигилизм и притом нисколько не пассивный, а нигилизм активный, в мощное орудие борьбы против естественной человеческой действительности.

И еще одна черта чрезвычайно важна для обрисовки буржуазной сущности логистики. Вся эта духовная труха, все это неверие в жизнь, все это растление человеческой мысли облечено здесь в тяжелую и мощную броню математической науки, в целые леса заумных формул, в страшную терминологию, пугающую людей, не получивших специального математического образования, так что обычный философ и логик, пожелавшие разобраться в логистике, должен никнуть головой перед этой премудростью и говорить себе: «Какая это глубокая наука и какой же я глупый и невежественный человек!» Этот метод психической атаки есть типично буржуазный метод, потому что прогнивши внутри себя самой, буржуазия устрашает весь свет своей технической мощью и своим потрясающим вооружением. Часто это очень хорошо достигает своей цели, и многие некритически мыслящие люди действительно впадают перед этим в панику. Но советские люди не относятся к числу этих людей; и запугать их мощным вооружением, за которым кроется растление и нигилизм, не удастся.