50. Стационарные состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме прямоугольной формы. Минимальная энергия частицы.

Пространственную локализацию частицы в конечной области пространства можно осуществить с помощью потенциальной энергии взаимодействия. Допустим, что частица массой mсовершает одномерное движение вдоль оси Х, находясь в бесконечно глубокой потенциальной яме прямоугольной формы шириной d. Зависимость потенциальной энергии U от координаты Х приведена на рис.13.1. На границах ямы потенциальная

Р ис. 13.1.

энергия скачком меняется от 0 до ∞.

Для области 0<X<d внутри потенциальной ямы стационарное уравнение Шредингера (13.6) запишется в следующем виде

Eφ = - ћ²/2m d²φ/dx².                                                   (13.14)

За пределами потенциальной ямы частица находиться не может, поскольку это требует бесконечной энергии. В связи с этим

φ≡0,  х<0 или х >d.                                                    (13.15)

В силу непрерывности волновой функции на границах потенциальной ямы должно выполняться граничное условие

φ|_x=0 = φ|_x=d =0 .                                                            (13.16)

Решение граничной задачи (13.14)-(13.16) имеет вид

φ=с sink_nx         0≤x≤d,                                             (13.17)

где

k_nd=πn ,      n=1,2,3…  .                                             (13.18)

Соотношение (13.18) определяет дискретный энергетический спектр частицы в рассматриваемой потенциальной яме. Подставляя функцию φ (13.17) в уравнение (13.14), с учетом (13.18) получим

E_n= ћ²k_n²/2m = π²ћ²/2md²  n²,  n=1,2,3…  .                          (13.19)

Принципиальным является то обстоятельство, что кинетическая энергия частицы в основном состоянии с n=1 отлична от нуля:

E₁=π²ћ²/2md² .                                                      (13.20)

Таким образом, в рамках квантовых законов существует самодвижение частицы без каких-либо внешних воздействий, некая внутренняя активность частиц, что является в некотором смысле аналогом движения по инерции в классической механике. С другой стороны, формула (13.20) показывает, что для локализации частицы требуется определенная энергия, причем величина этой энергии растет с уменьшением линейного размера локализации d как 1/d.

В заключении отметим, что постоянная С волновой функции (13.17) находится из условия нормировки

                (13.21)

или

                                                                      (13.22)

При вычислении интеграла (13.21) использовалось соотношение (13.18).

В случае одномерного гармонического осциллятора потенциальная энергия частицы

 ,                                                                 (13.23)

где K>0 – постоянная, и стационарное уравнение Шредингера принимает вид

 .                                                        (13.24)

Уравнение (13.24) имеет ограниченные решения, удовлетворяющие граничным условиям

                                                              (13.25)

только для дискретных значений энергии

                                                    (13.26)

где  - частота собственных колебаний гармонического осциллятора. Энергия основного состояния гармонического осциллятора отлична от  нуля,

                                                                     (13.26)

т.е. частица не находится в состоянии покоя в точке x=0. Движение частицы в основном состоянии  гармонического осциллятора называется нулевыми колебаниями. Особенность энергетического спектра гармонического осциллятора – его эквидистантность, т.е. разность энергий соседних уровней

                                                               (13.27)

не зависит от номера уровня n.