Три измерения

Уравнение в трёх измерениях записывается аналогично, за исключением оператора градиента, включающим в себя частные производные по координатам. В трехмерном случае решение уравнения Шредингера в виде плоских волн будет следующим:

где градиент

где  ,   и   - это единичные векторы для трехмерности, а значит

Это оператор импульса в координатном представлении - частные производные в нем берутся по отношению к пространственным переменным.

Оператор координат

Оператор   в координатном представлении есть сама координата x. В импульсном представлении оператор координаты выражается через производную по импульсу,  .

Свойства:

Оператор координаты не коммутирует с оператором импульса, то есть

Таким образом, для пары наблюдаемых величин x и p выполняется соотношение неопределённостей Гейзенберга:

,

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Согласно каноническому коммутационному соотношению:

и все остальные коммутаторы между   равны 0

Среднее значение координаты для состояния с волновой функцией ψ определяется как

46. Коммутирующие и некоммутирующие операторы

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора   физической величины   на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам  , при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса)   и соответствующей координаты 

47. Измерения в квантовой механике.

Измерение в квантовой механике — концепция, описывающая возможность получения информации о состоянии системы путём проведения физического эксперимента.

Результаты измерения интерпретируются как значения физической величины, которой ставится в соответствие эрмитов оператор физической величины, называемый традиционно наблюдаемой. Сами значения измерений являются собственными значениями этих операторов, а после проведения селективного измерения (то есть измерения, результат которого известен экспериментатору) состояние системы оказывается в соответственном полученному значению собственном подпространстве, что называется редукцией фон Неймана. При идеализированном «абсолютно точном» измерении могут быть получены только лишь такие значения физической величины, которые принадлежат спектру соответствующего этой величине оператора, и никакие другие. Пример: собственными значениями оператора проекции спина частицы со спином 1/2 на произвольное направление являются только величины  , поэтому в эксперименте Штерна — Герлаха пучок таких частиц разделится только на два — не больше и не меньше — пучка с положительной и отрицательной проекцией спина на направление градиента магнитного поля.

Если же результат измерения остался неизвестным экспериментатору (такое измерение называют неселективным), то квантовая система переходит в состояние, которое в общем случае описывается матрицей плотности (даже если исходное состояние было чистым), диагональной в базисе оператора измеренной физической величины, причём величина каждого из диагональных элементов в этом базисе равна вероятности соответствующего исхода измерения.

Вероятность получить то или иное собственное значение как результат измерения равна квадрату длины проекции исходного нормированного на единицу вектора состояния на соответственное собственное подпространство.

В более общей форме среднее значение измеряемой величины равно следу произведения оператора матрицы плотности квантовой системы и оператора соответствующей величины.