43. Стационарные состояния замкнутой системы.

Стационарным состоянием системы называется состояние, при котором параметры системы при взаимодействии с окружающей средой или телами с течением времени не изменятся.

Если система замкнутая и оператор полной энергии не зависит от времени, то для такой системы существуют стационарные состояния с точно определенной энергией, в которых все измеряемые величины не меняются во времени. Стационарные состояния описываются собственными функциями оператора полной энергии где и Е – собственное значение оператора полной энергии или энергия стационарного состояния.

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда   не является функцией времени, можно записать в виде:

где функция   должна удовлетворять уравнению:

44. Стационарные состояния свободной частицы.

Особый интерес представляют стационарные состояния частицы, где ее энергия Е является точно определенной, а все усреднённые с помощью волновой функции динамические характеристики системы не зависят от времени. Стационарные состояния возможны только для замкнутой системы и описываются волновой функцией строго определенного вида

 , Свойства стационарных состояний частицы зависят от ее потенциальной энергии U(r) и геометрии той пространственной области, в которой происходит движение частицы.

Стационарное состояние свободной частицы характеризуется не только точно определенным значением ее кинетической энергии Е, но и точно определенным импульсом  . Это возможно благодаря моту, что операторы кинетической энергии и импульса частицы коммутируют. 

Отметим также, что значения кинетической энергии и импульса связаны между собой классической формулой .

С другой стороны операторы координат не коммутируют с операторами соответствующих компонент импульса, поэтому в соответствии с принципом неопределенностей Гейзенберга пространственное положение частицы полностью неопределенно. Плотность вероятности обнаружения частицы в любом элементе пространства согласно формуле

dP=|ψ|²dV=|c|²dV                                                         

есть величина постоянная

dP/dV=|c|².                                                              

В этом случае говорят, что частица равномерно “размазана” по всему пространству.

http://pnukota.site40.net/L13.htm - полная статья.

45. Операторы координат и импульса частицы. Оператор импульса

Операторы энергии и импульса могут быть построены следующим способом.

Одномерный случай

Решение одномерного уравнения Шредингера в виде плоской волны имеет вид:

Производная первого порядка по координате:

Выражая   из соотношения де Бройля:

формула для производной ψ принимает следующий вид:

Таким образом, получаем:

Величины, которые измеряются в эксперименте, - это собственные значения данного оператора.

Так как частная производная - это линейный оператор, оператор импульса также линеен. Поскольку каждая волновая функция может быть выражена как квантовая суперпозиция состояний, когда этот оператор импульса действует на всю суперпозицию волн, он даёт собственные значения для каждой плоской волны, сумма которых представляет собой результирующий импульс суперпозиции волн.