40.Уравнение Шредингера.

 Толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающей движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции  , т.к. именно величина  осуществляет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т.е. в области с координатами x и  , y и  , z и  . Т.к. искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

       Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Шредингером.

 ШредингерЭрвин(1887–1961) – австрийский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики. Основные работы в области статистической физики, квантовой теории, квантовой механики, общей теории относительности, биофизики. Разработал теорию движения микрочастиц – волновую механику, построил квантовую теорию возмущений – приближенный метод в квантовой механике. За создание волновой механики удостоен Нобелевской премии.

       Уравнение Шредингера не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы.

       Уравнение Шредингера в общем виде записывается так:

(4.4.1)

где m – масса частицы,i² – мнимая единица,  – оператор Лапласа   – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ – искомая волновая функция.

       Если силовое поле, в котором движется частица, потенциально, то функция U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два сомножителя, один из которых зависит только от координаты, а другой – только от времени:

.

(4.4.2)

       Здесь E – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Чтобы убедиться в справедливости выражения4.4.2, подставьте его в выражение (4.4.1), и вы получите уравнение Шредингера для стационарных состояний:

 ,

.

(4.4.3)

       Уравнение Шредингера можно записать в виде  .

       В этом уравнении  – оператор Гамильтона, равный сумме операторов  . Гамильтониан является оператором энергии E.

       В квантовой механике другим переменным также и динамическим сопоставляются операторы. Соответственно рассматривают операторы координат, импульса, момента импульса и т.д.

Оператор энергии.

ГАМИЛЬТОНИАН (оператор Гамильтона) - квантовомеханич. оператор, соответствующий Гамильтона функции в классич. механике и определяющий эволюцию квантовой системы. В Шрёдинеера представлении эта эволюция описывается зависимостью от времени вектора состояния  системы, к-рый удовлетворяет Шрёдингераур-нию

где  - гамильтониан. Если классич. ф-ция Гамильтона не зависит явно от времени, то она является интегралом движения и значение её совпадает с энергией системы. Соответственно Г. системы в этом случае является оператором энергии. Ур-ние (1) при этом имеет частные решения в виде стационарных состояний   , где вектор состояния   не зависит от времени и является собств. вектором Г., соответствующим значению энергии  :

Ур-ние (2) определяет спектр энергии системы.

Оператор производной по времени физ. величины f также выражается через коммутатор Г. системы с оператором   данной физ. величины:

Ур-ние (3) используется для описания эволюции системы в Гейзенберга представлении. Оно является квантовомеханич. аналогом ур-ния для классич. ф-ции f, зависящей от координат q_k и импульсов p_k системы:

где   -классич. скобка Пуассона,

(N - число степеней свободы системы). Сравнение ф-л (3) и (4) показывает, что в классич. пределе коммутатор   должен переходить в  .

Аналогичные соотношения должны выполняться для коммутаторов операторов, соответствующих и др. классич. физ. величинам. В согласии с этим Г. физ. системы получается из классич. ф-ции Гамильтона заменой классич. координат и импульсов частиц на соответствующие операторы, подчиняющиеся коммутац. соотношениям. При этом возникает неоднозначность в последовательности записи некоммутирующих операторов в выражениях, отвечающих произведению классич. величин, к-рая устраняется симметризацией этих выражений, напр. q_i р_i заменяется на ).

Приведём Г. для простейших систем:

а) частица массы т во внеш. потенц. поле V(x, у, z):

где   и т. д.;

б)   система n частиц с парным взаимодействием

Аналогично в квантовой теории взаимодействующих полей (т. е. в динамич. системах с бесконечным числом степеней свободы) Г. системы получается из классич. гамильтоновой ф-ции полей заменой классич. величин (напр., амплитуд нормальных колебаний) соответствующими операторами. Возникающая при этом неопределённость в порядке записи произведений некоммутирующих операторов позволяет выбрать такую последовательность (т. н. нормальное произведение ),к-рая естеств. образом определяет физ.вакуум системы (см. Квантовая теория поля).

Если физ. величина f не зависит явно от времени ( =0), то условием её сохранения, согласно (3), является обращение в нуль коммутатора оператора этой величины с Г. системы,  =0, т. е. условие одновременной измеримости данной величины и энергии системы.

Если Г. системы обладает к--л. симметрией, то оператор, осуществляющий преобразования симметрии, коммутирует с Г. Соответственно этому каждой симметрии Г. отвечает закон сохранения определённой величины (см. Нетер теорема). Так, симметрии Г. относительно сдвигов и поворотов системы в пространстве соответствуют законы сохранения импульса и момента импульса системы, симметрии Г. относительно отражения координат частиц - сохранение пространственной чётности системы и т. д. Симметрия Г. приводит, как правило, к вырождению уровней энергии.

Поскольку Г. отвечает физ. величине (ф-ции Гамильтона или энергии), он является эрмитовым оператором. Эрмитовость Г. обеспечивает сохранение нормы вектора состояния (т. е. полной вероятности). Однако для описания процессов с поглощением частиц (напр., процессов рассеяния адронов на ядрах) могут быть использованы комплексные потенциалы, соответствующие неэрмитовым Г. (см. Оптическая модель ядра). Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Квантовая механика, 3 изд., M., 1974; Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Квантовые поля, M., 1980. С. С. Герштейн.

41. ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ - один из наиб. общих принципов физики, устанавливающий допустимые пределы влияния физ. событий друг на друга. П. п. запрещает влияние данного события на все прошедшие события ("событие-причина предшествует по времени событию-следствию", "будущее не влияет на прошлое"). Более сильный релятивистский П. п. исключает также взаимное влияние событий, разделённых пространст-венноподобныминтервалом ,для к-рых сами понятия "раньше", "позже" не абсолютны, а меняются местами с изменением системы отсчёта. Взаимное влияние таких событий было бы возможно лишь с помощью объекта, движущегося со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Поэтому известное утверждение о невозможности сверхсветовых движений в рамках относительности теории вытекает именно из релятивистского П. п.

П. п.- эмпирия, постулат, основанный на обобщении данных эксперимента и общечеловеческой практики и подтверждающийся без к--л. исключений в широком диапазоне масштабов от субъядерных до космологических. Физ. и методология, смысл П. п. тесно связан с философским понятием причинности (взаимной обусловленности, детерминированности последовательности событий): если бы данное событие могло влиять не только на будущее, но и на прошлое, то возникла бы возможность образования замкнутых циклов причинно-следств. связи, т. е. возможность обратного влияния следствия на породившую его причину вплоть до полного её уничтожения и разрыва причинно-следств. связи (так, путешественник в "машине времени" мог бы уничтожить своего предка в добрачном возрасте, т. е. саму причину своего появления на свет). Однако с общим понятием причинности согласуется и П. п. с обратным направлением причинно-следств. связи ("прошлое не влияет на будущее"). Вопрос о причине совпадения направления этой связи с направлением времени относится к числу нерешённых проблем, связанных с П. п.

42. Принцип суперпозиции  для волновых функций является одним из фундаментальных принципов квантовой механики описания состояний с помощью волновых функций. Если квантовомеханическая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями ψ₁, ψ₂, … ψ_n, то физически допустимой будет и суперпозиция этих состояний, т.е. состояние ψ = с₁ψ₁ + с₂ψ₂, +… + с_nψ_n, где с₁, с₂, …, с_nпроизвольные комплексные числа. В квантовой механике волновые функции складываются. Вероятности процессов определяются квадратом модуля волновой функции.