24. Дифракционная решетка. Угловой размер и интенсивность главных максимумов. Разрешающая способность.

Дифракционная решётка — оптический прибор, действие которого основано на использовании явления дифракциисвета. Представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, выступов), нанесённых на некоторую поверхность.

Виды решёток

Отражательные: Штрихи нанесены на зеркальную (металлическую) поверхность, и наблюдение ведется в отражённом свете

Прозрачные: Штрихи нанесены на прозрачную поверхность (или вырезаются в виде щелей на непрозрачном экране), наблюдение ведется в проходящем свете.

Описание явления

Фронт световой волны разбивается штрихами решётки на отдельные пучки когерентного света. Эти пучки претерпевают дифракцию на штрихах и интерферируют друг с другом. Так как для разных длин волн максимумы интерференции оказываются под разными углами (определяемыми разностью хода интерферирующих лучей), то белый свет раскладывается в спектр.

Формулы

Расстояние, через которое повторяются штрихи на решётке, называют периодом дифракционной решётки. Обозначают буквой d.

Если известно число штрихов ( ), приходящихся на 1 мм решётки, то период решётки находят по формуле:   мм.

Условия интерференционных максимумов дифракционной решётки, наблюдаемых под определёнными углами, имеют вид:

где

 — период решётки,

 — угол максимума данного цвета,

 — порядок максимума, то есть порядковый номер максимума, отсчитанный от центра картинки,

 — длина волны.

Если же свет падает на решётку под углом  , то:

В дифракционной картине имеются главные максимумы (находятся из условия

δ = ,0 π 2, π,... = πm или d sinϕ m = ,0 λ 2, λ,... = mλ ), в которых интерференционный член

(sinNδ/sinδ)² стремится к N². Эти максимумы называют дифракционными максимумами

m-го порядка. Ближайшие к ним минимумы находятся из условия sinNδ = 0 , или

d*sinϕ_{m, min} = (m±1/N)*λ

Считая углы ϕ малыми (sinϕ ≈ ϕ), получим, что угловой размер ∆ϕ_m максимума m-го порядка можно найти, взяв дифференциал по переменным ϕ_m и m при постоянных d и λ:

d⋅d(sinϕ_m ) = dm⋅λ ,

получим: ∆ϕ_m = λ / Nd* cosϕ_{m =} λ / D * cosϕ_m

где D = Nd - ширина дифракционной решетки. Если угол дифракции мал (cosϕ ≈ 1) m, то

для угловой ширины максимума получим привычную для оптики формулу:

∆ϕ_m ≈λ / D.

разрешающая способность

R = λ/ δλ

- это отношение длины волны λ излучения к δλ - наименьшей разности длин волн

двух спектральных линий, при которой эти линии различимы, т.е. наблюдаются раздельно

(рис. 5). В соответствии с критерием Рэлея две линии λ и (λ + ∆λ) разрешены, если

угловое расстояние между главными максимумами одного и того же порядка для этих

длин волн не меньше угловой ширины ∆ϕ_m главного максимума:

ϕ_m,max(λ + ∆λ) − ϕ_m,max(λ)≥ ∆ϕ_m .

Это означает, что в предельном случае максимум m-го порядка для длины волны

(λ + ∆λ) совпадает с минимумом, ближайшим к максимуму того же порядка для длины

волны λ, т.е.

ϕ _m,max(λ + ∆λ) = ϕ _m,min (λ)

В итоге получаем:

m*(λ + ∆λ) = (m +1/N)*λ;

R = λ / ∆λ = m*N = (d*sinϕ/ λ)*N = L* sinϕ/ λ

Интенсивность главных максимумов

Увеличение числа щелей приводит к росту интенсивности главных максимумов и к уменьшению их ширины (интенсивность главного максимума пропорциональна квадрату числа щелей).