1. Волновое движение. Волновая функция. Волновое уравнение

Волны – возмущение среды, распространяющееся с конечной скоростью и переносящее энергию без переноса вещества.

Волны более или менее периодические процессы, происходящие в пространстве и во времени.

Волны, распространяющиеся в пространстве, возмущение любой физической природы, в которой описываются функциями:

– Скалярное и векторные волны, соответственно

Скалярные волны не бывают поляризованы, векторная волна обладает поляризацией.

По определению функция поляризации:

Физический смысл волновой функции. Величина | (x,y,z,t)|²dV пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в окрестности точки (x,y,z).     Волновая функция системы невзаимодействующих частиц  (r₁,r₂,...r_n,t) связана с одночастичными волновыми функциями  _i(r_i,t) соотношением

(r₁,r₂,...r_n,t) =  ₁(r₁,t)· ₂(r₂,t)·... _n(r_n,t).

Волновые уравнения математически выводятся из основных законов физики. Например из 2-го з-на Ньютона и з-на Гука выводятся уравнения для механической волны. Или из уравнений Максвелла выводятся уравнения для электромагнитной волны.

V=V(x,t) V-скорость распространения волны.

[1/с^2] [1/м^2]

[а] = м^2/c

Волновое уравнение для электромагнитных волн

N – коэффициент преломления среды

V=c/n

2. Одномерное скалярное волновое уравнение.

Рассмотрим одномерное уравнение для скалярной волны

Можно показать, что решение V обладает свойством:

T – период волны

λ – длина волны

Если источником волны является плоскость,

V(x,t)=Acosᵠ, ᵠ=ωt-kx+

,

k=2π/λ

V – фазовая скорость волны (метр в секунду)

Ω – циклическая частота волны ( радиан в секунду)

К – волновое число

А – амплитуда волны

Если – (минус), то волна распространяется по направлению оси х,

Если + (плюс), то волна распространяется против направления оси х.

Полное название этой функции – плоская скалярная монохроматическая волна

Плоская монохроматическая волна является абстракцией, отсутствующей в природе, потому что она определена для -∞<t<∞ и -∞<х<∞.

V(r,t)=Acosᵠ

ᵠ=wt-kr+

Волна распространяется вдоль волнового вектора К.

3)Скалярные и векторные волны

Гармоническая волна — процесс распространения гармонического колебания в пространстве. Рассматриваются как упругие (акустические) волны так и волны электромагнитные.

Если распространяются колебания скалярной величины, то соответствующая волна — скалярная. Если же волна переносит колебания векторной величины, то такая волна называется векторной.

В звуковой волне, распространяющейся, например, в атмосфере, происходят колебания давления, плотности, температуры воздуха. Всё это скалярные параметры газа, поэтому и волна  скалярная.

Электромагнитная волна относится к классу векторных волн, поскольку в этом процессе претерпевают изменения векторные характеристики волны — напряжённости электрического ( ) и магнитного ( ) полей.

4)Кинематические характеристики плоской скалярной волны

В общем случае уравнение плоской скалярной волны можно записать в виде

S = f (t,x)                                                          (1.7)

Это уравнение означает, что скалярный параметр S в любой заданный момент времени имеет одно и то же значение во всех точках плоскости x = x₁ = const.

Наибольший интерес для нас будет представлять волна, в которой координата (х) и время (t) входят в уравнение (1.7) в виде линейной комбинации

S = f (at - bx).                                                              (1.8)

Здесь   a и b — постоянные,

f — функция, определяющая форму передаваемого сигнала.

Мы будем рассматривать распространение гармонического колебания, когда параметр S меняется во времени и в пространстве по гармоническому закону.

a) Осциллограмма волны: S = f (t).

Рассмотрим зависимость S = f (t) для двух плоскостей x = 0 и x = x₁.

x = 0                S(t,0)= S(at)                                                                            (1.9)

  (1.10)

Сравнение уравнений (1.9) и (1.10) показывает, что изменение параметра S в плоскости x, в точности повторяет изменение этой величины в плоскости x = 0, но с запаздыванием на , где .

b) Фотография волны.

Рассмотрим фотографию волны в плоскости x в моменты времени t = 0 и t = t₁.

                                                          (1.11)

.                          (1.12)

Сопоставляя эти уравнения, приходим к выводу, что волна не меняет своей формы: за время t₁ сигнал перемещается со скоростью  вдоль оси Х на расстояние vt₁. Волна при этом не деформируется.

Вывод:

 — уравнение плоской скалярной, недеформируемой волны, распространяющейся со скоростью  в положительном направлении оси x.

В случае синусоидальной волны f — гармоническая функция координаты и времени.

Путь в плоскости, проходящей через начало координат, происходят колебания с частотой ω (рис. 1.2).

 начальная фаза колебаний.

В плоскости, отстоящей от исходной на расстоянии l, эти колебания повторяются с запаздыванием .Здесь v — скорость распространения волны.

Колебания в точке, определяемой радиус – вектором (рис.1.2):

Мы пришли к уравнению плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении.

                                                              (1.14)

Рис. 1.2

Здесь:  — волновой вектор,

 — волновое число.

 — единичный вектор, совпадающий по направлению с направлением распространения волны.